山东省菏泽市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类(含答案)

这是一份山东省菏泽市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类(含答案)，共35页。试卷主要包含了解不等式组，，其对称轴为x＝﹣，，连接AC、BC，两点，交y轴于点C等内容，欢迎下载使用。

山东省菏泽市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．分式方程的应用（共1小题）
1．（2022•菏泽）某健身器材店计划购买一批篮球和排球，已知每个篮球进价是每个排球进价的1.5倍，若用3600元购进篮球的数量比用3200元购进排球的数量少10个．
（1）篮球、排球的进价分别为每个多少元？
（2）该健身器材店决定用不多于28000元购进篮球和排球共300个进行销售，最多可以购买多少个篮球？
二．解一元一次不等式组（共1小题）
2．（2023•菏泽）解不等式组．
三．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
3．（2023•菏泽）如图，已知坐标轴上两点A（0，4），B（2，0），连接AB，过点B作BC⊥AB，交反比例函数y＝在第一象限的图象于点C（a，1）．
（1）求反比例函数y＝和直线OC的表达式；
（2）将直线OC向上平移个单位，得到直线l，求直线l与反比例函数图象的交点坐标．

4．（2021•菏泽）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在坐标轴上，且OA＝2，OC＝4，连接OB．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过线段OB的中点D，并与AB、BC分别交于点E、F．一次函数y＝k2x+b的图象经过E、F两点．
（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式；
（2）点P是x轴上一动点，当PE+PF的值最小时，点P的坐标为 　 　．

四．二次函数综合题（共3小题）
5．（2023•菏泽）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，4），其对称轴为x＝﹣．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点D是线段OC上的一动点，连接AD，BD，将△ABD沿直线AD翻折，得到△AB′D，当点B'恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D的坐标；
（3）如图2，动点P在直线AC上方的抛物线上，过点P作直线AC的垂线，分别交直线AC，线段BC于点E，F，过点F作FG⊥x轴，垂足为G，求FG+FP的最大值．

6．（2022•菏泽）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C（0，4），连接AC、BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）将△ABC沿AC所在直线折叠，得到△ADC，点B的对应点为D，直接写出点D的坐标，并求出四边形OADC的面积；
（3）点P是抛物线上的一动点，当∠PCB＝∠ABC时，求点P的坐标．


7．（2021•菏泽）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，交y轴于点C．

（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P为第四象限内抛物线上一点，连接PB，过点C作CQ∥BP交x轴于点Q，连接PQ，求△PBQ面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，将抛物线y＝ax2+bx﹣4向右平移经过点（，0）时，得到新抛物线y＝a1x2+b1x+c1，点E在新抛物线的对称轴上，在坐标平面内是否存在一点F，使得以A、P、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
参考：若点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），则线段P1P2的中点P0的坐标为（，）．
五．三角形综合题（共1小题）
8．（2022•菏泽）如图1，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，在DA上取点E，使DE＝DC，连接BE、CE．
（1）直接写出CE与AB的位置关系；
（2）如图2，将△BED绕点D旋转，得到△B′E′D（点B′、E′分别与点B、E对应），连接CE′、AB′，在△BED旋转的过程中CE′与AB′的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是否一致？请说明理由；
（3）如图3，当△BED绕点D顺时针旋转30°时，射线CE′与AD、AB′分别交于点G、F，若CG＝FG，DC＝，求AB′的长．


六．平行四边形的性质（共1小题）
9．（2023•菏泽）如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，CF平分∠BCD，交AD于点F．求证：AE＝CF．

七．四边形综合题（共1小题）
10．（2021•菏泽）在矩形ABCD中，BC＝CD，点E、F分别是边AD、BC上的动点，且AE＝CF，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在点G处，点D落在点H处．
（1）如图1，当EH与线段BC交于点P时，求证：PE＝PF；
（2）如图2，当点P在线段CB的延长线上时，GH交AB于点M，求证：点M在线段EF的垂直平分线上；
（3）当AB＝5时，在点E由点A移动到AD中点的过程中，计算出点G运动的路线长．

八．圆的综合题（共1小题）
11．（2023•菏泽）如图，AB为⊙O的直径，C是圆上一点，D是的中点，弦DE⊥AB，垂足为点F．
（1）求证：BC＝DE；
（2）P是上一点，AC＝6，BF＝2，求tan∠BPC；
（3）在（2）的条件下，当CP是∠ACB的平分线时，求CP的长．

九．相似形综合题（共1小题）
12．（2023•菏泽）（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．
【问题解决】
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC到点H，使CH＝DE，连接DH．求证：∠ADF＝∠H．
【类比迁移】
（3）如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长．

一十．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
13．（2023•菏泽）无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量大楼的高度BC，无人机在空中点P处，测得点P距地面上A点80米，点A处的俯角为60°，楼顶C点处的俯角为30°，已知点A与大楼的距离AB为70米（点A，B，C，P在同一平面内），求大楼的高度BC（结果保留根号）．

一十一．频数（率）分布直方图（共1小题）
14．（2023•菏泽）某班学生以跨学科主题学习为载体，综合运用体育、数学、生物学等知识，研究体育课的运动负荷．在体育课基本部分运动后，测量统计了部分学生的心率情况，按心率次数x（次/分钟），分为如下五组：A组：50≤x＜75，B组：75≤x＜100，C组100≤x＜125，D组：125≤x＜150，E组：150≤x＜175．其中A组数据为：73，65，74，68，74，70，66，56．
根据统计数据绘制了不完整的统计图（如图所示），请结合统计图解答下列问题：

（1）A组数据的中位数是 　 　，众数是 　 　；在统计图中B组所对应的扇形圆心角是 　 　度；
（2）补全学生心率频数分布直方图；
（3）一般运动的适宜心率为100≤x＜150（次/分钟），学校共有2300名学生，请你依据此次跨学科研究结果，估计大约有多少名学生达到适宜心率？
一十二．列表法与树状图法（共1小题）
15．（2021•菏泽）2021年5月，菏泽市某中学对初二学生进行了国家义务教育质量检测，随机抽取了部分参加15米折返跑学生的成绩，学生成绩划分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，学校绘制了如下不完整的统计图．根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）请把条形统计图补充完整；
（2）合格等级所占百分比为 　 　%；不合格等级所对应的扇形圆心角为 　 　度；
（3）从所抽取的优秀等级的学生A、B、C…中，随机选取两人去参加即将举办的学校运动会，请利用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到A、B两位同学的概率．

山东省菏泽市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．分式方程的应用（共1小题）
1．（2022•菏泽）某健身器材店计划购买一批篮球和排球，已知每个篮球进价是每个排球进价的1.5倍，若用3600元购进篮球的数量比用3200元购进排球的数量少10个．
（1）篮球、排球的进价分别为每个多少元？
（2）该健身器材店决定用不多于28000元购进篮球和排球共300个进行销售，最多可以购买多少个篮球？
【答案】（1）篮球的进价为每个120元，排球的进价为每个80元；
（2）最多可以购买100个篮球．
【解答】解：（1）设排球的进价为每个x元，则篮球的进价为每个1.5x元，
依题意得：﹣＝10，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是方程的解，
1.5x＝1.5×80＝120．
答：篮球的进价为每个120元，排球的进价为每个80元；
（2）设购买m个篮球，则购买（300﹣m）个排球，
依题意得：120m+80（300﹣m）≤28000，
解得：m≤100，
答：最多可以购买100个篮球．
二．解一元一次不等式组（共1小题）
2．（2023•菏泽）解不等式组．
【答案】x≤．
【解答】解：，
解不等式①，得：x＜2.5，
解不等式②，得：x≤，
∴该不等式组的解集是x≤．
三．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
3．（2023•菏泽）如图，已知坐标轴上两点A（0，4），B（2，0），连接AB，过点B作BC⊥AB，交反比例函数y＝在第一象限的图象于点C（a，1）．
（1）求反比例函数y＝和直线OC的表达式；
（2）将直线OC向上平移个单位，得到直线l，求直线l与反比例函数图象的交点坐标．

【答案】（1）；；
（2）或（2，2）．
【解答】解：（1）如图，过点C作CD⊥x轴于点D，
∴∠BDC＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠BDC＝∠AOB，
∵BC⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBD＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠CBD＝∠BAO，
∴△CBD∽△BAO，
∴，
∵A（0，4），B（2，0），C（a，1），
∴AO＝4，BO＝2，CD＝1，
∴，
∴BD＝2，
∴OD＝BO+BD＝4，
∴a＝4，
∴点C的坐标是（4，1），
∵反比例函数过点C，
∴k＝4×1＝4，
∴反比例函数的解析式为；
设直线OC的解析式为y＝mx，
∵其图象经过点C（4，1），
∴4m＝1，
解得，
∴直线OC的解析式为；
（2）将直线OC向上平移个单位，得到直线l，
∴直线l的解析式为，
由题意得，，
解得，，
∴直线l与反比例函数图象的交点坐标为或（2，2）．

4．（2021•菏泽）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在坐标轴上，且OA＝2，OC＝4，连接OB．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过线段OB的中点D，并与AB、BC分别交于点E、F．一次函数y＝k2x+b的图象经过E、F两点．
（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式；
（2）点P是x轴上一动点，当PE+PF的值最小时，点P的坐标为 　（，0）　．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵四边形OABC为矩形，OA＝BC＝2，OC＝4，
∴B（4，2）．
由中点坐标公式可得点D坐标为（2，1），
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过线段OB的中点D，
∴k1＝xy＝2×1＝2，
故反比例函数表达式为y＝．
令y＝2，则x＝1；令x＝4，则y＝．
故点E坐标为（1，2），F（4，）．
设直线EF的解析式为y＝k2x+b，代入E、F坐标得：
，解得：．
故一次函数的解析式为y＝．
（2）作点E关于x轴的对称点E'，连接E'F交x轴于点P，则此时PE+PF最小．如图．
由E坐标可得对称点E'（1，﹣2），
设直线E'F的解析式为y＝mx+n，代入点E'、F坐标，得：
，解得：．
则直线E'F的解析式为y＝，
令y＝0，则x＝．
∴点P坐标为（，0）．
故答案为：（，0）．

四．二次函数综合题（共3小题）
5．（2023•菏泽）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，4），其对称轴为x＝﹣．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点D是线段OC上的一动点，连接AD，BD，将△ABD沿直线AD翻折，得到△AB′D，当点B'恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D的坐标；
（3）如图2，动点P在直线AC上方的抛物线上，过点P作直线AC的垂线，分别交直线AC，线段BC于点E，F，过点F作FG⊥x轴，垂足为G，求FG+FP的最大值．

【答案】（1）y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1）抛物线与y轴交于点C（0，4），
∴c＝4，
∵对称轴为 ，
∴，b＝﹣3，
∴抛物线的解析式为 y＝﹣x2﹣3x+4；

（2）如图，过 B'作x轴的垂线，垂足为H，

令﹣x2﹣3x+4＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣4，
∴A（﹣4，0），B（1，0），
∴AB＝1﹣（﹣4）＝5，
由翻折可得AB′＝AB＝5，
∵对称轴为 ，
∴，
∴AB'＝AB＝5＝2AH，
∴∠AB'H＝30°，∠B'AB＝60°，
∴，
在Rt△AOD中，，
∴；

（3）设BC所在直线的解析式为 y1＝k1x+b1，
把B、C坐标代入得：，
解得：，
∴y1＝﹣4x+4，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝45°，
∵∠AEB＝90°，
∴直线PE与x轴所成夹角为 45°，
设 P（m，﹣m2﹣3m+4），
设PE所在直线的解析式为：y2＝﹣x+b2，
把点P代入得 ，
∴，
令 y1＝y2，则﹣4x+4＝﹣x﹣m2﹣2m+4，
解得 ，
∴FG＝，
，
∴，
∵点P在直线AC上方，
∴﹣4＜m＜0，
∴当m＝时，FG+FP的最大值为．
6．（2022•菏泽）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C（0，4），连接AC、BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）将△ABC沿AC所在直线折叠，得到△ADC，点B的对应点为D，直接写出点D的坐标，并求出四边形OADC的面积；
（3）点P是抛物线上的一动点，当∠PCB＝∠ABC时，求点P的坐标．


【答案】（1）y＝﹣+x+4；（2）D（﹣8，8），24；（3）（6，4）或（，﹣）．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C（0，4），
∴，
解得：．
∴抛物线的表达式为y＝﹣+x+4；
（2）点D的坐标为（﹣8，8），理由：
将△ABC沿AC所在直线折叠，得到△ADC，点B的对应点为D，如图，

过点D作DE⊥x轴于点E，
∵A（﹣2，0）、B（8，0），C（0，4），
∴OA＝2，OB＝8，OC＝4．
∵，，
∴．
∵∠AOC＝∠COB＝90°，
∴△AOC∽△COB，
∴∠ACO＝∠CBO．
∵∠CBO+∠OCB＝90°，
∴∠ACO+∠OCB＝90°，
∴∠ACB＝90°，
∵将△ABC沿AC所在直线折叠，得到△ADC，点B的对应点为D，
∴点D，C，B三点在一条直线上．
由轴对称的性质得：BC＝CD，AB＝AD．
∵OC⊥AB，DE⊥AB，
∴DE∥OC，
∴OC为△BDE的中位线，
∴OE＝OB＝8，DE＝2OC＝8，
∴D（﹣8，8）；
由题意得：S△ACD＝S△ABC，
∴四边形OADC的面积＝S△OAC+S△ADC
＝S△OAC+S△ABC
＝OC•OA+AB•OC
＝4×2+10×4
＝4+20
＝24；
（3）①当点P在BC上方时，如图，

∵∠PCB＝∠ABC，
∴PC∥AB，
∴点C，P的纵坐标相等，
∴点P的纵坐标为4，
令y＝4，则﹣+x+4＝4，
解得：x＝0或x＝6，
∴P（6，4）；
②当点P在BC下方时，如图，

设PC交x轴于点H，
∵∠PCB＝∠ABC，
∴HC＝HB．
设HB＝HC＝m，
∴OH＝OB﹣HB＝8﹣m，
在Rt△COH中，
∵OC2+OH2＝CH2，
∴42+（8﹣m）2＝m2，
解得：m＝5，
∴OH＝3，
∴H（3，0）．
设直线PC的解析式为y＝kx+n，
∴，
解得：．
∴y＝﹣x+4．
∴，
解得：，．
∴P（，﹣）．
综上，点P的坐标为（6，4）或（，﹣）．
7．（2021•菏泽）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，交y轴于点C．

（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P为第四象限内抛物线上一点，连接PB，过点C作CQ∥BP交x轴于点Q，连接PQ，求△PBQ面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，将抛物线y＝ax2+bx﹣4向右平移经过点（，0）时，得到新抛物线y＝a1x2+b1x+c1，点E在新抛物线的对称轴上，在坐标平面内是否存在一点F，使得以A、P、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
参考：若点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），则线段P1P2的中点P0的坐标为（，）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题意得：，解得，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣3x﹣4；

（2）由抛物线的表达式知，点C（0，﹣4），
设点P的坐标为（m，m2﹣3m﹣4），
设直线PB的表达式为y＝kx+t，
则，解得，
∵CQ∥BP，
故设直线CQ的表达式为y＝（m+1）x+p，
该直线过点C（0，﹣4），即p＝﹣4，
故直线CQ的表达式为y＝（m+1）x﹣4，
令y＝（m+1）x﹣4＝0，解得x＝，即点Q的坐标为（，0），
则BQ＝4﹣＝，
设△PBQ面积为S，
则S＝×BQ×（﹣yP）＝﹣××（m2﹣3m﹣4）＝﹣2m2+8m，
∵﹣2＜0，故S有最大值，
当m＝2时，△PBQ面积为8，
此时点P的坐标为（2，﹣6）；

（3）存在，理由：
将抛物线y＝ax2+bx﹣4向右平移经过点（，0）时，即点A过该点，即抛物线向右平移了+1＝个单位，
则函数的对称轴也平移了个单位，即平移后的抛物线的对称轴为直线x＝+＝3，故设点E的坐标为（3，m），
设点F（s，t），
①当AP是边时，
则点A向右平移3个单位向下平移6个单位得到点P，
同样点F（E）向右平移3个单位向下平移6个单位得到点E（F）且AE＝PF（AF＝PE），
则或，
解得或，
故点F的坐标为（0，）或（6，﹣4）；
②当AP是对角线时，
由中点坐标公式和AP＝EF得：，
解得或，
故点F的坐标为（﹣2，﹣3﹣）或（﹣2，﹣3）；
综上，点F的坐标为（0，）或（6，﹣4）或（﹣2，﹣3﹣）或（﹣2，﹣3）．
五．三角形综合题（共1小题）
8．（2022•菏泽）如图1，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，在DA上取点E，使DE＝DC，连接BE、CE．
（1）直接写出CE与AB的位置关系；
（2）如图2，将△BED绕点D旋转，得到△B′E′D（点B′、E′分别与点B、E对应），连接CE′、AB′，在△BED旋转的过程中CE′与AB′的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是否一致？请说明理由；
（3）如图3，当△BED绕点D顺时针旋转30°时，射线CE′与AD、AB′分别交于点G、F，若CG＝FG，DC＝，求AB′的长．


【答案】（1）CE⊥AB；
（2）在△BED旋转的过程中CE′与AB′的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是一致，理由见解析过程；
（3）5．
【解答】解：（1）如图1，延长CE交AB于H，

∵∠ABC＝45°，AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∠ABC＝∠DAB＝45°，
∵DE＝CD，
∴∠DCE＝∠DEC＝∠AEH＝45°，
∴∠BHC＝∠BAD+∠AEH＝90°，
∴CE⊥AB；
（2）在△BED旋转的过程中CE′与AB′的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是一致，
理由如下：如图2，延长CE'交AB'于H，

由旋转可得：CD＝DE'，B'D＝AD，
∵∠ADC＝∠ADB＝90°，
∴∠CDE'＝∠ADB'，
又∵＝1，
∴△ADB'∽△CDE'，
∴∠DAB'＝∠DCE'，
∵∠DCE'+∠DGC＝90°，
∴∠DAB'+∠AGH＝90°，
∴∠AHC＝90°，
∴CE'⊥AB'；
（3）如图3，过点D作DH⊥AB'于点H，

∵△BED绕点D顺时针旋转30°，
∴∠BDB'＝30°，B'D＝BD＝AD，
∴∠ADB'＝120°，∠DAB'＝∠AB'D＝30°，
∵DH⊥AB'，
∴AD＝2DH，AH＝DH＝B'H，
∴AB'＝AD，
由（2）可知：△ADB'∽△CDE'，
∴∠DCE'＝∠DAB'＝30°，
∵AD⊥BC，CD＝，
∴DG＝1，CG＝2DG＝2，
∴CG＝FG＝2，
∵∠DAB'＝30°，CE'⊥AB'，
∴AG＝2GF＝4，
∴AD＝AG+DG＝4+1＝5，
∴AB'＝AD＝5．
六．平行四边形的性质（共1小题）
9．（2023•菏泽）如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，CF平分∠BCD，交AD于点F．求证：AE＝CF．

【答案】证明见解析．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD，
∵AE平分∠BAD，交BC于点E，CF平分∠BCD，交AD于点F，
∴∠BAE＝∠FCD，
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF．
七．四边形综合题（共1小题）
10．（2021•菏泽）在矩形ABCD中，BC＝CD，点E、F分别是边AD、BC上的动点，且AE＝CF，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在点G处，点D落在点H处．
（1）如图1，当EH与线段BC交于点P时，求证：PE＝PF；
（2）如图2，当点P在线段CB的延长线上时，GH交AB于点M，求证：点M在线段EF的垂直平分线上；
（3）当AB＝5时，在点E由点A移动到AD中点的过程中，计算出点G运动的路线长．

【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：如图1中，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB，
由翻折变换可知，∠DEF＝∠PEF，
∴∠PEF＝∠PFE，
∴PE＝PF．

（2）证明：如图2中，连接AC交EF于O，连接PM，PO．

∵AE∥CF，
∴∠EAO＝∠FCO，
∵AE＝CF，∠AOE＝∠COF，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴OE＝OF，
∵PE＝PF，
∴PO平分∠EPF，
∵AD＝BC，AE＝FC，
∴ED＝BF，
由折叠的性质可知ED＝EH，所以BF＝EH，
∴PE﹣EH＝PF﹣BF，
∴PB＝PH，
∵∠PHM＝∠PBM＝90°，PM＝PM，
∴Rt△PMH≌Rt△PMB（HL），
∴PM平分∠EPF，
∴P．M，O共线，
∵PO⊥EF，OE＝OF，
∴点M在线段EF的垂直平分线上．

（3）如图3中，由题意，点E由点A移动到AD中点的过程中，点G运动的路径是图中弧BC．

在Rt△BCD中，tan∠CBD＝＝，
∴∠CBD＝30°，
∴∠ABO＝∠OAB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OD＝OB＝OC＝AB＝5，∠BOC＝120°，
∴点G运动的路径的长＝＝π．
故答案为：π．
八．圆的综合题（共1小题）
11．（2023•菏泽）如图，AB为⊙O的直径，C是圆上一点，D是的中点，弦DE⊥AB，垂足为点F．
（1）求证：BC＝DE；
（2）P是上一点，AC＝6，BF＝2，求tan∠BPC；
（3）在（2）的条件下，当CP是∠ACB的平分线时，求CP的长．

【答案】（1）见解答；
（2）tan∠BPC＝；
（3）7．
【解答】（1）证明：∵D是 的中点，
∴，
∵DE⊥AB且AB为⊙O的直径，
∴，
∴，
∴BC＝DE；
（2）解：连接OD，

∵，
∴∠CAB＝∠DOB，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠DFO＝90°，
∴△ACB∽△OFD，
∴，
设⊙O的半径为r，
则 ，
解得r＝5，经检验，r＝5是方程的根，
∴AB＝2r＝10，
∴，
∴，
∵∠BPC＝∠CAB，
∴；
（3）解：如图，过点B作BG⊥CP交CP于点G，

∴∠BGC＝∠BGP＝90°，
∵∠ACB＝90°，CP是∠ACB 的平分线，
∴∠ACP＝∠BCP＝45°，
∴∠CBG＝45°，
∴，
∴，
∴，
∴．
九．相似形综合题（共1小题）
12．（2023•菏泽）（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．
【问题解决】
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC到点H，使CH＝DE，连接DH．求证：∠ADF＝∠H．
【类比迁移】
（3）如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长．

【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析；
（3）3．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠ADE＝90°，
∴∠CDF+∠DFC＝90°，
∵AE⊥DF，
∴∠DGE＝90°，
∴∠CDF+∠AED＝90°，
∴∠AED＝∠DFC，
∴△ADE∽△DCF；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，AD∥BC，∠ADE＝∠DCF＝90°，
∵AE＝DF，
∴Rt△ADE≌Rt△DCF（HL），
∴DE＝CF，
∵CH＝DE，
∴CF＝CH，
∵点H在BC的延长线上，
∴∠DCH＝∠DCF＝90°，
又∵DC＝DC，
∴△DCF≌△DCH（SAS），
∴∠DFC＝∠H，
∵AD∥BC，
∴∠ADF＝∠DFC，
∴∠ADF＝∠H；
（3）解：如图3，延长BC至点G，使CG＝DE＝8，连接DG，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝DC，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DCG，
∴△ADE≌△DCG（SAS），
∴∠DGC＝∠AED＝60°，AE＝DG，
∵AE＝DF，
∴DG＝DF，
∴△DFG是等边三角形，
∴FG＝DF＝11，
∵CF+CG＝FG，
∴CF＝FG﹣CG＝11﹣8＝3，
即CF的长为3．
一十．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
13．（2023•菏泽）无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量大楼的高度BC，无人机在空中点P处，测得点P距地面上A点80米，点A处的俯角为60°，楼顶C点处的俯角为30°，已知点A与大楼的距离AB为70米（点A，B，C，P在同一平面内），求大楼的高度BC（结果保留根号）．

【答案】30m．
【解答】解：如图所示：

过P作 PH⊥AB于H，过C作CG⊥PH于Q，而 CB⊥AB，
则四边形 CQHB是矩形，
∴QH＝BC，BH＝CQ，
由题意可得：AP＝80，∠PAH＝60°，∠PCQ＝30°，AB＝70，
∴PH＝APsin60°＝80×＝40，AH＝AP cos60°＝40，
∴CQ＝BH＝70﹣40＝30，
∴PQ＝CQ•tan30°＝10，
∴BC＝QH＝40﹣10＝30，
∴大楼的高度BC为30m．
一十一．频数（率）分布直方图（共1小题）
14．（2023•菏泽）某班学生以跨学科主题学习为载体，综合运用体育、数学、生物学等知识，研究体育课的运动负荷．在体育课基本部分运动后，测量统计了部分学生的心率情况，按心率次数x（次/分钟），分为如下五组：A组：50≤x＜75，B组：75≤x＜100，C组100≤x＜125，D组：125≤x＜150，E组：150≤x＜175．其中A组数据为：73，65，74，68，74，70，66，56．
根据统计数据绘制了不完整的统计图（如图所示），请结合统计图解答下列问题：

（1）A组数据的中位数是 　69　，众数是 　74　；在统计图中B组所对应的扇形圆心角是 　54　度；
（2）补全学生心率频数分布直方图；
（3）一般运动的适宜心率为100≤x＜150（次/分钟），学校共有2300名学生，请你依据此次跨学科研究结果，估计大约有多少名学生达到适宜心率？
【答案】（1）69，74，54；
（2）见解答；
（3）1725名．
【解答】解：（1）把A组数据从小到大排列为：56，65，66，68，70，73，74，74，
故A组数据的中位数是：＝69，众数是74；
由题意得，样本容量为：8÷8%＝100，
在统计图中B组所对应的扇形圆心角是：360°×＝54°．
故答案为：69，74，54；
（2）C组频数为：100﹣8﹣15﹣45﹣2＝30，
补全学生心率频数分布直方图如下：

（3）2300×（30%+）＝1725（名），
答：估计大约有1725名学生达到适宜心率．
一十二．列表法与树状图法（共1小题）
15．（2021•菏泽）2021年5月，菏泽市某中学对初二学生进行了国家义务教育质量检测，随机抽取了部分参加15米折返跑学生的成绩，学生成绩划分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，学校绘制了如下不完整的统计图．根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）请把条形统计图补充完整；
（2）合格等级所占百分比为 　30　%；不合格等级所对应的扇形圆心角为 　36　度；
（3）从所抽取的优秀等级的学生A、B、C…中，随机选取两人去参加即将举办的学校运动会，请利用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到A、B两位同学的概率．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）抽取的学生人数为：12÷40%＝30（人），
则优秀的学生人数为：30﹣12﹣9﹣3＝6（人），
把条形统计图补充完整如下：

（2）合格等级所占百分比为：9÷30×100%＝30%，
不合格等级所对应的扇形圆心角为：360°×＝36°，
故答案为：30，36；
（3）优秀等级的学生有6人，为A、B、C、D、E、F，
画树状图如图：

共有30种等可能的结果，恰好抽到A、B两位同学的结果有2种，
∴恰好抽到A、B两位同学的概率为＝．