山东省泰安市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-01选择题知识点分类(含答案)

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山东省泰安市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-01选择题知识点分类
一．倒数（共1小题）
1．（2023•泰安）的倒数为（　　）
A． B． C． D．
二．有理数大小比较（共1小题）
2．（2021•泰安）下列各数：﹣4，﹣2.8，0，|﹣4|，其中比﹣3小的数是（　　）
A．﹣4 B．|﹣4| C．0 D．﹣2.8
三．有理数的乘法（共1小题）
3．（2022•泰安）计算（﹣6）×（﹣）的结果是（　　）
A．﹣3 B．3 C．﹣12 D．12
四．科学记数法—表示较大的数（共2小题）
4．（2023•泰安）2023年1月17日，国家航天局公布了我国嫦娥五号月球样品的科研成果．科学家们通过对月球样品的研究，精确测定了月球的年龄是20.3亿年，数据20.3亿年用科学记数法表示为（　　）

A．2.03×108年 B．2.03×109年
C．2.03×1010年 D．20.3×109年
5．（2022•泰安）2022年北京冬奥会国家速滑馆“冰丝带”屋顶上安装的光伏电站，据测算，每年可输出约44.8万度的清洁电力．将44.8万度用科学记数法可以表示为（　　）
A．0.448×106度 B．44.8×104度
C．4.48×105度 D．4.48×106度
五．完全平方公式（共2小题）
6．（2023•泰安）下列运算正确的是（　　）
A．2a+3b＝5ab B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．（ab2）3＝a3b5 D．3a3•（﹣4a2）＝﹣12a5
7．（2022•泰安）下列运算正确的是（　　）
A．6x﹣2x＝4 B．a﹣2•a3＝a﹣6
C．x6÷x3＝x3 D．（x﹣y）2＝x2﹣y2
六．平方差公式（共1小题）
8．（2021•泰安）下列运算正确的是（　　）
A．2x2+3x3＝5x5 B．（﹣2x）3＝﹣6x3
C．（x+y）2＝x2+y2 D．（3x+2）（2﹣3x）＝4﹣9x2
七．由实际问题抽象出二元一次方程组（共1小题）
9．（2023•泰安）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两．根据题意得（　　）
A．
B．
C．
D．
八．根的判别式（共1小题）
10．（2021•泰安）已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣ B．k＜ C．k＞﹣且k≠0 D．k＜且k≠0
九．由实际问题抽象出一元二次方程（共1小题）
11．（2022•泰安）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（　　）
A．3（x﹣1）x＝6210 B．3（x﹣1）＝6210
C．（3x﹣1）x＝6210 D．3x＝6210
一十．反比例函数的图象（共1小题）
12．（2023•泰安）一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（　　）
A． B．
C．​ D．
一十一．二次函数图象与几何变换（共1小题）
13．（2021•泰安）将抛物线y＝﹣x2﹣2x+3向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过（　　）
A．（﹣2，2） B．（﹣1，1） C．（0，6） D．（1，﹣3）
一十二．抛物线与x轴的交点（共1小题）
14．（2022•泰安）抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x
﹣2
﹣1
0
1
y
0
4
6
6
下列结论不正确的是（　　）
A．抛物线的开口向下
B．抛物线的对称轴为直线x＝
C．抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0）
D．函数y＝ax2+bx+c的最大值为
一十三．平行线的性质（共2小题）
15．（2023•泰安）把一块直角三角板和一把直尺如图放置，若∠1＝35°，则∠2的度数等于（　　）

A．65° B．55° C．45° D．60°
16．（2021•泰安）如图，直线m∥n，三角尺的直角顶点在直线m上，且三角尺的直角被直线m平分，若∠1＝60°，则下列结论错误的是（　　）

A．∠2＝75° B．∠3＝45° C．∠4＝105° D．∠5＝130°
一十四．全等三角形的判定与性质（共1小题）
17．（2022•泰安）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为BC的中点，连接EO并延长交AD于点F，∠ABC＝60°，BC＝2AB．下列结论：①AB⊥AC；②AD＝4OE；③四边形AECF是菱形；④S△BOE＝S△ABC，其中正确结论的个数是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
一十五．等腰三角形的性质（共1小题）
18．（2022•泰安）如图，l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝BC，∠C＝25°，∠1＝60°．则∠2的度数是（　　）

A．70° B．65° C．60° D．55°
一十六．平行四边形的性质（共1小题）
19．（2021•泰安）如图，在平行四边形ABCD中，E是BD的中点，则下列四个结论：
①AM＝CN；
②若MD＝AM，∠A＝90°，则BM＝CM；
③若MD＝2AM，则S△MNC＝S△BNE；
④若AB＝MN，则△MFN与△DFC全等．
其中正确结论的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
一十七．矩形的性质（共1小题）
20．（2022•泰安）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝4，点P是线段BC上一动点，点M为线段AP上一点，∠ADM＝∠BAP，则BM的最小值为（　　）

A． B． C．﹣ D．﹣2
一十八．圆周角定理（共2小题）
21．（2023•泰安）如图，AB是⊙O的直径，D，C是⊙O上的点，∠ADC＝115°，则∠BAC的度数是（　　）

A．25° B．30° C．35° D．40°
22．（2022•泰安）如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝∠CAB，AD＝2，AC＝4，则⊙O的半径为（　　）

A．2 B．3 C．2 D．
一十九．圆内接四边形的性质（共1小题）
23．（2021•泰安）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝90°，∠BCD＝120°，AB＝2，CD＝1，则AD的长为（　　）

A．2﹣2 B．3﹣ C．4﹣ D．2
二十．三角形的外接圆与外心（共1小题）
24．（2023•泰安）如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为4，连接OB，OC，OA，若∠CAO＝40°，∠ACB＝70°，则阴影部分的面积是（　　）

A．π B．π C．π D．π
二十一．切线的性质（共1小题）
25．（2021•泰安）如图，在△ABC中，AB＝6，以点A为圆心，3为半径的圆与边BC相切于点D，与AC，AB分别交于点E和点G，点F是优弧GE上一点，∠CDE＝18°，则∠GFE的度数是（　　）

A．50° B．48° C．45° D．36°
二十二．扇形面积的计算（共1小题）
26．（2022•泰安）如图，四边形ABCD中，∠A＝60°，AB∥CD，DE⊥AD交AB于点E，以点E为圆心，DE为半径，且DE＝6的圆交CD于点F，则阴影部分的面积为（　　）

A．6π﹣9 B．12π﹣9 C．6π﹣ D．12π﹣
二十三．轴对称图形（共1小题）
27．（2022•泰安）下列图形：

其中轴对称图形的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
二十四．旋转的性质（共1小题）
28．（2021•泰安）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝5，点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为（　　）

A． B． C． D．3
二十五．中心对称图形（共1小题）
29．（2023•泰安）小亮以四种不同的方式连接正六边形的两条对角线，得到如图四种图形，则既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
二十六．坐标与图形变化-旋转（共1小题）
30．（2023•泰安）如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，点A的坐标为（﹣6，4）；Rt△COD中，∠COD＝90°，OD＝4，∠D＝30°，连接BC，点M是BC中点，连接AM．将Rt△COD以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段AM的最小值是（　　）

A．3 B．6﹣4 C．2﹣2 D．2
二十七．黄金分割（共1小题）
31．（2023•泰安）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠A＝36°．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点F，交BC于点G，分别以点F和点G为圆心，大于FG的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线BH交AC于点D；分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN交AB于点E，连接DE．下列四个结论：①∠AED＝∠ABC；②BC＝AE；③ED＝BC；④当AC＝2时，AD＝﹣1．其中正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
二十八．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
32．（2021•泰安）如图，为了测量某建筑物BC的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度i＝1：2.4．根据小颖的测量数据，计算出建筑物BC的高度约为（参考数据：≈1.732）（　　）

A．136.6米 B．86.7米 C．186.7米 D．86.6米
二十九．由三视图判断几何体（共1小题）
33．（2021•泰安）如图是由若干个同样大小的小正方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（　　）

A． B． C． D．
三十．条形统计图（共1小题）
34．（2021•泰安）为了落实“作业、睡眠、手机、读物、体质”等五项管理要求，了解学生的睡眠状况，调查了一个班50名学生每天的睡眠时间，绘成睡眠时间条形统计图如图所示，则所调查学生睡眠时间的众数，中位数分别为（　　）

A．7h 7h B．8h 7.5h C．7h 7.5h D．8h 8h
三十一．折线统计图（共1小题）
35．（2022•泰安）某次射击比赛，甲队员的成绩如图，根据此统计图，下列结论中错误的是（　　）

A．最高成绩是9.4环
B．平均成绩是9环
C．这组成绩的众数是9环
D．这组成绩的方差是8.7环2
三十二．方差（共1小题）
36．（2023•泰安）为了解学生的身体素质状况，国家每年都会进行中小学生身体素质抽测．在今年的抽测中，某校九年级二班随机抽取了10名男生进行引体向上测试，他们的成绩（单位：个）如下：
7，11，10，11，6，14，11，10，11，9．
根据这组数据判断下列结论中错误的是（　　）
A．这组数据的众数是11 B．这组数据的中位数是10
C．这组数据的平均数是10 D．这组数据的方差是4.6

山东省泰安市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-01选择题知识点分类
参考答案与试题解析
一．倒数（共1小题）
1．（2023•泰安）的倒数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：的倒数为．
故选：A．
二．有理数大小比较（共1小题）
2．（2021•泰安）下列各数：﹣4，﹣2.8，0，|﹣4|，其中比﹣3小的数是（　　）
A．﹣4 B．|﹣4| C．0 D．﹣2.8
【答案】A
【解答】解：∵|﹣4|＝4，
∴﹣4＜﹣3＜﹣2.8＜0＜|﹣4|，
∴其中比﹣3小的数是﹣4．
故选：A．
三．有理数的乘法（共1小题）
3．（2022•泰安）计算（﹣6）×（﹣）的结果是（　　）
A．﹣3 B．3 C．﹣12 D．12
【答案】B
【解答】解：原式＝+（6×）
＝3．
故选：B．
四．科学记数法—表示较大的数（共2小题）
4．（2023•泰安）2023年1月17日，国家航天局公布了我国嫦娥五号月球样品的科研成果．科学家们通过对月球样品的研究，精确测定了月球的年龄是20.3亿年，数据20.3亿年用科学记数法表示为（　　）

A．2.03×108年 B．2.03×109年
C．2.03×1010年 D．20.3×109年
【答案】B
【解答】解：20.3亿年＝2030000000年＝2.03×109年，
故选：B．
5．（2022•泰安）2022年北京冬奥会国家速滑馆“冰丝带”屋顶上安装的光伏电站，据测算，每年可输出约44.8万度的清洁电力．将44.8万度用科学记数法可以表示为（　　）
A．0.448×106度 B．44.8×104度
C．4.48×105度 D．4.48×106度
【答案】C
【解答】解：44.8万＝44.8×104＝4.48×105，
故选：C．
五．完全平方公式（共2小题）
6．（2023•泰安）下列运算正确的是（　　）
A．2a+3b＝5ab B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．（ab2）3＝a3b5 D．3a3•（﹣4a2）＝﹣12a5
【答案】D
【解答】解：A、2a与3b不是同类项，没法合并，故选项A不正确；
B、由完全平方公式得（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故选项B不正确；
C、由积的乘方和幂的乘方得，（ab2）3＝a3（b2）3＝a3b6，故选项C不正确；
D、单项式乘以单项式，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式，故选项D正确．
故选：D．
7．（2022•泰安）下列运算正确的是（　　）
A．6x﹣2x＝4 B．a﹣2•a3＝a﹣6
C．x6÷x3＝x3 D．（x﹣y）2＝x2﹣y2
【答案】C
【解答】解：A选项，原式＝4x，故该选项不符合题意；
B选项，原式＝a，故该选项不符合题意；
C选项，原式＝x3，故该选项符合题意；
D选项，原式＝x2﹣2xy+y2，故该选项不符合题意；
故选：C．
六．平方差公式（共1小题）
8．（2021•泰安）下列运算正确的是（　　）
A．2x2+3x3＝5x5 B．（﹣2x）3＝﹣6x3
C．（x+y）2＝x2+y2 D．（3x+2）（2﹣3x）＝4﹣9x2
【答案】D
【解答】解：A选项，2x2与3x3不是同类项，不能合并，故该选项计算错误，不符合题意；
B选项，原式＝﹣8x3，故该选项计算错误，不符合题意；
C选项，原式＝x2+2xy+y2，故该选项计算错误，不符合题意；
D选项，原式＝22﹣（3x）2＝4﹣9x2，故该选项计算正确，符合题意；
故选：D．
七．由实际问题抽象出二元一次方程组（共1小题）
9．（2023•泰安）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两．根据题意得（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解答】解：∵甲袋中装有黄金9枚，乙袋中装有白银11枚，称重两袋相等，
∴9x＝11y；
∵两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两，
∴（10y+x）﹣（8x+y）＝13．
根据题意可列方程组．
故选：C．
八．根的判别式（共1小题）
10．（2021•泰安）已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣ B．k＜ C．k＞﹣且k≠0 D．k＜且k≠0
【答案】C
【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝（2k﹣1）2﹣4k•（k﹣2）＞0，
解得k＞﹣且k≠0．
故选：C．
九．由实际问题抽象出一元二次方程（共1小题）
11．（2022•泰安）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（　　）
A．3（x﹣1）x＝6210 B．3（x﹣1）＝6210
C．（3x﹣1）x＝6210 D．3x＝6210
【答案】A
【解答】解：∵这批椽的数量为x株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，
∴一株椽的价钱为3（x﹣1）文．
依题意得：3（x﹣1）x＝6210．
故选：A．
一十．反比例函数的图象（共1小题）
12．（2023•泰安）一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（　　）
A． B．
C．​ D．
【答案】D
【解答】解：A、一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、三象限，则a＞0，b＞0，所以ab＞0，则反比例y＝应该位于第一、三象限，故本选项不可能；
B、一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，则a＜0，b＞0，所以ab＜0，则反比例y＝应该位于第二、四象限，故本选项不可能；
C、一次函数y＝ax+b的图象经过第一、三、四象限，则a＞0，b＜0，所以ab＜0，则反比例y＝应该位于第二、四象限，故本选项不可能；
D、一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，则a＜0，b＞0，所以ab＜0，则反比例y＝应该位于第二、四象限，故本选项有可能；
故选：D．
一十一．二次函数图象与几何变换（共1小题）
13．（2021•泰安）将抛物线y＝﹣x2﹣2x+3向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过（　　）
A．（﹣2，2） B．（﹣1，1） C．（0，6） D．（1，﹣3）
【答案】B
【解答】解：y＝﹣x2﹣2x+3
＝﹣（x2+2x）+3
＝﹣[（x+1）2﹣1]+3
＝﹣（x+1）2+4，
∵将抛物线y＝﹣x2﹣2x+3向右平移1个单位，再向下平移2个单位，
∴得到的抛物线解析式为：y＝﹣x2+2，
当x＝﹣2时，y＝﹣（﹣2）2+2＝﹣4+2＝﹣2，故（﹣2，2）不在此抛物线上，故A选项不合题意；
当x＝﹣1时，y＝﹣（﹣1）2+2＝﹣1+2＝1，故（﹣1，1）在此抛物线上，故B选项符合题意；
当x＝0时，y＝﹣02+2＝0+2＝2，故（0，6）不在此抛物线上，故C选项不合题意；
当x＝1时，y＝﹣12+2＝﹣1+2＝1，故（1，﹣3）不在此抛物线上，故D选项不合题意；
故选：B．
一十二．抛物线与x轴的交点（共1小题）
14．（2022•泰安）抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x
﹣2
﹣1
0
1
y
0
4
6
6
下列结论不正确的是（　　）
A．抛物线的开口向下
B．抛物线的对称轴为直线x＝
C．抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0）
D．函数y＝ax2+bx+c的最大值为
【答案】C
【解答】解：由表格可得，
，
解得，
∴y＝﹣x2+x+6＝﹣（x﹣）2+＝（﹣x+3）（x+2），
∴该抛物线的开口向下，故选项A正确，不符合题意；
该抛物线的对称轴是直线x＝，故选项B正确，不符合题意，
∵当x＝﹣2时，y＝0，
∴当x＝×2﹣（﹣2）＝3时，y＝0，故选项C错误，符合题意；
函数y＝ax2+bx+c的最大值为，故选项D正确，不符合题意；
故选：C．
一十三．平行线的性质（共2小题）
15．（2023•泰安）把一块直角三角板和一把直尺如图放置，若∠1＝35°，则∠2的度数等于（　　）

A．65° B．55° C．45° D．60°
【答案】B
【解答】解：∵∠A＝30°，∠1＝35°，
∴∠EDF＝65°，
∵DF∥EG，
∴∠BEG＝65°，
∵∠B＝60°，
∴∠2＝180°﹣∠B﹣∠BEG＝180°﹣60°﹣65°＝55°．
故选：B．

16．（2021•泰安）如图，直线m∥n，三角尺的直角顶点在直线m上，且三角尺的直角被直线m平分，若∠1＝60°，则下列结论错误的是（　　）

A．∠2＝75° B．∠3＝45° C．∠4＝105° D．∠5＝130°
【答案】D
【解答】解：如图，

∵三角尺的直角被直线m平分，
∴∠6＝∠7＝45°，
∴∠4＝∠1+∠6＝45°+60°＝105°，
∵m∥n，
∴∠3＝∠7＝45°，∠2＝180°﹣∠4＝75°，
∴∠5＝180°﹣∠3＝180°﹣45°＝135°，
故选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意，
故选：D．
一十四．全等三角形的判定与性质（共1小题）
17．（2022•泰安）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为BC的中点，连接EO并延长交AD于点F，∠ABC＝60°，BC＝2AB．下列结论：①AB⊥AC；②AD＝4OE；③四边形AECF是菱形；④S△BOE＝S△ABC，其中正确结论的个数是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【解答】解：∵点E为BC的中点，
∴BC＝2BE＝2CE，
又∵BC＝2AB，
∴AB＝BE，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE＝∠BEA＝60°，
∴∠EAC＝∠ECA＝30°，
∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝90°，
即AB⊥AC，故①正确；
在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，AO＝CO，
∴∠CAD＝∠ACB，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AB⊥AC，点E为BC的中点，
∴AE＝CE，
∴平行四边形AECF是菱形，故③正确；
∴AC⊥EF，
在Rt△COE中，∠ACE＝30°，
∴OE＝CE＝BC＝AD，故②正确；
在平行四边形ABCD中，OA＝OC，
又∵点E为BC的中点，
∴S△BOE＝S△BOC＝S△ABC，故④正确；
正确的结论由4个，
故选：A．
一十五．等腰三角形的性质（共1小题）
18．（2022•泰安）如图，l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝BC，∠C＝25°，∠1＝60°．则∠2的度数是（　　）

A．70° B．65° C．60° D．55°
【答案】A
【解答】解：如图，

∵AB＝BC，∠C＝25°，
∴∠C＝∠BAC＝25°，
∵l1∥l2，∠1＝60°，
∴∠BEA＝180°﹣60°﹣25°＝95°，
∵∠BEA＝∠C+∠2，
∴∠2＝95°﹣25°＝70°．
故选：A．
一十六．平行四边形的性质（共1小题）
19．（2021•泰安）如图，在平行四边形ABCD中，E是BD的中点，则下列四个结论：
①AM＝CN；
②若MD＝AM，∠A＝90°，则BM＝CM；
③若MD＝2AM，则S△MNC＝S△BNE；
④若AB＝MN，则△MFN与△DFC全等．
其中正确结论的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵E是BD的中点，
∴BE＝DE，
在△MDE和△NBE中，
，
∴△MDE≌△NBE（ASA），
∴DM＝BN，
∴AM＝CN，
故①正确；
②若MD＝AM，∠A＝90°，
则平行四边形ABCD为矩形，
∴∠ADC＝∠A＝90°，
在△BAM和△CDM中，
，
∴△BAM≌△CDM（SAS），
∴BM＝CM，
故②正确；
③过点M作MG⊥BC，交BC于G，过点E作EH⊥BC，交BC于H，

由①易得四边形MBND是平行四边形，E为BD中点，
∴MG＝2EH，
又∵MD＝2AM，BN＝MD，AM＝NC，
∴S△MNC＝NC•MG＝•BN•2EH＝BN•EH＝S△BNE，
故③正确；
④∵AB＝MN，AB＝DC，
∴MN＝DC，
又∵AD∥BC，
∴四边形MNCD是等腰梯形或平行四边形，
如果四边形MNCD是等腰梯形，
∴∠MNC＝∠DCN，
在△MNC和△DCN中，
，
∴△MNC≌△DCN（SAS），
∴∠NMC＝∠CDN，
在△MFN和△DFC中，
，
∴△MFN≌△DFC（AAS），
如果是平行四边形，由平行四边形的性质可以得到△MFN≌△DFC，
故④正确．
∴正确的个数是4个，
故选：D．
一十七．矩形的性质（共1小题）
20．（2022•泰安）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝4，点P是线段BC上一动点，点M为线段AP上一点，∠ADM＝∠BAP，则BM的最小值为（　　）

A． B． C．﹣ D．﹣2
【答案】D
【解答】解：如图，取AD的中点O，连接OB，OM．

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝4，
∴∠BAP+∠DAM＝90°，
∵∠ADM＝∠BAP，
∴∠ADM+∠DAM＝90°，
∴∠AMD＝90°，
∵AO＝OD＝2，
∴OM＝AD＝2，
∴点M在以O为圆心，2为半径的⊙O上，
∵OB＝＝＝，
∴BM≥OB﹣OM＝﹣2，
∴BM的最小值为﹣2．
故选：D．
一十八．圆周角定理（共2小题）
21．（2023•泰安）如图，AB是⊙O的直径，D，C是⊙O上的点，∠ADC＝115°，则∠BAC的度数是（　　）

A．25° B．30° C．35° D．40°
【答案】A
【解答】解：如图，连接OC，

∵∠ADC＝115°，
∴优弧所对的圆心角为2×115°＝230°，
∴∠BOC＝230°﹣180°＝50°，
∴∠BAC＝∠BOC＝25°，
故选：A．
22．（2022•泰安）如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝∠CAB，AD＝2，AC＝4，则⊙O的半径为（　　）

A．2 B．3 C．2 D．
【答案】D
【解答】解：方法一：
连接CO并延长CO交⊙O于点E，连接AE，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠ACD＝∠CAB，
∴∠ACD＝∠ACO，
∴AE＝AD＝2，
∵CE是直径，
∴∠EAC＝90°，
在Rt△EAC中，AE＝2，AC＝4，
∴EC＝＝2，
∴⊙O的半径为．
方法二：连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ACD＝∠CAB，
∴＝，
∴AD＝BC＝2，
在Rt△ABC中，AB＝＝2，
∴圆O的半径为．
故选：D．


一十九．圆内接四边形的性质（共1小题）
23．（2021•泰安）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝90°，∠BCD＝120°，AB＝2，CD＝1，则AD的长为（　　）

A．2﹣2 B．3﹣ C．4﹣ D．2
【答案】C
【解答】解：延长AD、BC交于E，
∵∠BCD＝120°，
∴∠A＝60°，
∵∠B＝90°，
∴∠ADC＝90°，∠E＝30°，
在Rt△ABE中，AE＝2AB＝4，
在Rt△CDE中，DE＝＝，
∴AD＝AE﹣DE＝4﹣，
故选：C．

二十．三角形的外接圆与外心（共1小题）
24．（2023•泰安）如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为4，连接OB，OC，OA，若∠CAO＝40°，∠ACB＝70°，则阴影部分的面积是（　　）

A．π B．π C．π D．π
【答案】C
【解答】解：∵OA＝OC，∠CAO＝40°，
∴∠CAO＝∠ACO＝40°，
∴∠AOC＝180°﹣∠40°﹣40°＝100°，
∵∠ACB＝70°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝140°，
∴∠BOC＝360°﹣100°﹣140°＝120°，
∴阴影部分的面积是＝π．
故选：C．
二十一．切线的性质（共1小题）
25．（2021•泰安）如图，在△ABC中，AB＝6，以点A为圆心，3为半径的圆与边BC相切于点D，与AC，AB分别交于点E和点G，点F是优弧GE上一点，∠CDE＝18°，则∠GFE的度数是（　　）

A．50° B．48° C．45° D．36°
【答案】B
【解答】解：连接AD，∵BC与⊙A相切于点D，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵AB＝6，AG＝AD＝3，
∴AD＝AB，
∴∠B＝30°，
∴∠GAD＝60°，
∵∠CDE＝18°，
∴∠ADE＝90°﹣18°＝72°，
∵AD＝AE，
∴∠AED＝∠ADE＝72°，
∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝180°﹣72°﹣72°＝36°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝60°+36°＝96°，
∴∠GFE＝GAE＝96°＝48°，
故选：B．

二十二．扇形面积的计算（共1小题）
26．（2022•泰安）如图，四边形ABCD中，∠A＝60°，AB∥CD，DE⊥AD交AB于点E，以点E为圆心，DE为半径，且DE＝6的圆交CD于点F，则阴影部分的面积为（　　）

A．6π﹣9 B．12π﹣9 C．6π﹣ D．12π﹣
【答案】B
【解答】解：过点E作EG⊥DF交DF于点G，
∵∠A＝60°，AB∥CD，DE⊥AD交AB于点E，
∴∠GDE＝∠DEA＝30°，
∵DE＝EF，
∴∠EDF＝∠EFD＝30°，
∴∠DEF＝120°，
∵∠GDE＝30°，DE＝6，
∴GE＝3，DG＝3，
∴DF＝6，
阴影部分的面积＝﹣×6×3＝12π﹣9，
故选：B．

二十三．轴对称图形（共1小题）
27．（2022•泰安）下列图形：

其中轴对称图形的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解答】解：（1）是轴对称图形；
（2）是轴对称图形；
（3）不是轴对称图形；
（4）是轴对称图形；
故选：B．
二十四．旋转的性质（共1小题）
28．（2021•泰安）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝5，点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为（　　）

A． B． C． D．3
【答案】A
【解答】解：如图，以AB为边向右作等边△ABF，作射线FQ交AD于点E，过点D作DH⊥QE于H．

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABP＝∠BAD＝90°，
∵△ABF，△APQ都是等边三角形，
∴∠BAF＝∠PAQ＝60°，BA＝FA，PA＝QA，
∴∠BAP＝∠FAQ，
在△BAP和△FAQ中，
，
∴△BAP≌△FAQ（SAS），
∴∠ABP＝∠AFQ＝90°，
∵∠FAE＝90°﹣60°＝30°，
∴∠AEF＝90°﹣30°＝60°，
∵AB＝AF＝5，AE＝AF÷cos30°＝，
∴点Q在射线FE上运动，
∵AD＝BC＝5，
∴DE＝AD﹣AE＝，
∵DH⊥EF，∠DEH＝∠AEF＝60°，
∴DH＝DE•sin60°＝×＝，
根据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，DQ的值最小，最小值为，
故选：A．
二十五．中心对称图形（共1小题）
29．（2023•泰安）小亮以四种不同的方式连接正六边形的两条对角线，得到如图四种图形，则既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：A、原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
二十六．坐标与图形变化-旋转（共1小题）
30．（2023•泰安）如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，点A的坐标为（﹣6，4）；Rt△COD中，∠COD＝90°，OD＝4，∠D＝30°，连接BC，点M是BC中点，连接AM．将Rt△COD以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段AM的最小值是（　　）

A．3 B．6﹣4 C．2﹣2 D．2
【答案】A
【解答】 解：取OB中点N，连接MN，AN．
在Rt△OCD中，OD＝4，∠D＝30°，
∴OC＝4，
∵M、N分别是BC、OB的中点，
∴MN＝OC＝2，
在△ABN中，AB＝4，BN＝3，
∴AN＝5，
在△AMN中，AM＞AN﹣MN；当M运动到AN上时，AM＝AN﹣MN，
∴AM≥AN﹣MN＝5﹣2＝3，
∴线段AM的最小值是3，
故选：A．

二十七．黄金分割（共1小题）
31．（2023•泰安）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠A＝36°．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点F，交BC于点G，分别以点F和点G为圆心，大于FG的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线BH交AC于点D；分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN交AB于点E，连接DE．下列四个结论：①∠AED＝∠ABC；②BC＝AE；③ED＝BC；④当AC＝2时，AD＝﹣1．其中正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解答】解：由题意可知，BD是∠ABC的平分线，MN是线段BD的中垂线，
∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝＝72°，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝36°＝∠A，
∴AD＝BD，
在△BCD中，∠C＝72°，∠CBD＝36°，
∴∠BDC＝180°﹣36°﹣72°＝72°＝∠C，
∴BD＝BC，
∴AD＝BD＝BC，
∵MN是BD的中垂线，
∴EB＝ED，
∴∠BDE＝∠ABD＝36°＝∠CBD，
∴DE∥BC，
∴∠AED＝∠ABC，
因此①正确，
∴AE＝AD＝BD＝BC，
因此②正确；
由于DE不是△ABC的中位线，
因此③不正确；
∵∠CBD＝∠BAC＝36°，∠BCD＝∠ACB＝72°，
∴△BCD∽△ABC，
∴＝，
即BC2＝AC•CD，
设BC＝x，则CD＝2﹣x，
∴x2＝2×（2﹣x），
解得x＝﹣1﹣（舍去）或x＝﹣1，
即BC＝﹣1＝AD，
因此④正确，
综上所述，正确的结论有①②④，共有3个，
故选：C．
二十八．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
32．（2021•泰安）如图，为了测量某建筑物BC的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度i＝1：2.4．根据小颖的测量数据，计算出建筑物BC的高度约为（参考数据：≈1.732）（　　）

A．136.6米 B．86.7米 C．186.7米 D．86.6米
【答案】A
【解答】解：如图作DH⊥AB于H，延长DE交BC于F．

在Rt△ADH中，AD＝130米，DH：AH＝1：2.4，
∴DH＝50（米），
∵四边形DHBF是矩形，
∴BF＝DH＝50（米），
在Rt△EFB中，∠BEF＝45°，
∴EF＝BF＝50（米），
在Rt△EFC中，FC＝EF•tan60°，
∴CF＝50×≈86.6（米），
∴BC＝BF+CF＝136.6（米）．
故选：A．
二十九．由三视图判断几何体（共1小题）
33．（2021•泰安）如图是由若干个同样大小的小正方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：从左边看从左到右第一列是两个小正方形，第二列有4个小正方形，第三列有3个小正方形，
故选：B．
三十．条形统计图（共1小题）
34．（2021•泰安）为了落实“作业、睡眠、手机、读物、体质”等五项管理要求，了解学生的睡眠状况，调查了一个班50名学生每天的睡眠时间，绘成睡眠时间条形统计图如图所示，则所调查学生睡眠时间的众数，中位数分别为（　　）

A．7h 7h B．8h 7.5h C．7h 7.5h D．8h 8h
【答案】C
【解答】解：∵7h出现了19次，出现的次数最多，
∴所调查学生睡眠时间的众数是7h；
∵共有50名学生，中位数是第25、26个数的平均数，
∴所调查学生睡眠时间的中位数是＝7.5（h）．
故选：C．
三十一．折线统计图（共1小题）
35．（2022•泰安）某次射击比赛，甲队员的成绩如图，根据此统计图，下列结论中错误的是（　　）

A．最高成绩是9.4环
B．平均成绩是9环
C．这组成绩的众数是9环
D．这组成绩的方差是8.7环2
【答案】D
【解答】解：由题意可知，最高成绩是9.4环，故选项A不合题意；
平均成绩是×（9.4×2+8.4+9.2×2+8.8+9×3+8.6）＝9（环），故选项B不合题意；
这组成绩的众数是9环，故选项C不合题意；
这组成绩的方差是×[2×（9.4﹣9）2+（8.4﹣9）2+2×（9.2﹣9）2+（8.8﹣9）2+3×（9﹣9）2+（8.6﹣9）2]＝0.096，故选项D符合题意．
故选：D．
三十二．方差（共1小题）
36．（2023•泰安）为了解学生的身体素质状况，国家每年都会进行中小学生身体素质抽测．在今年的抽测中，某校九年级二班随机抽取了10名男生进行引体向上测试，他们的成绩（单位：个）如下：
7，11，10，11，6，14，11，10，11，9．
根据这组数据判断下列结论中错误的是（　　）
A．这组数据的众数是11 B．这组数据的中位数是10
C．这组数据的平均数是10 D．这组数据的方差是4.6
【答案】B
【解答】解：这组数据中11出现的次数最多，故众数为11，故选项A不符合题意；
把这组数据从小到大排列，排在中间的数分别为10和11，故中位数＝10.5，故选项B符合题意；
这组数据的平均数是：（7+11+10+11+6+14+11+10+11+9）＝10，故选项C不符合题意；
这组数据的方差为：[（7﹣10）2+4×（11﹣10）2+2×（10﹣10）2+（6﹣10）2+（14﹣10）2+（9﹣10）2]＝4.6，故选项D不符合题意．
故选：B．