山东省泰安市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类(含答案)

这是一份山东省泰安市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类(含答案)，共42页。试卷主要包含了÷；，先化简，再求值，，与y轴交于点C等内容，欢迎下载使用。
山东省泰安市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类
一．分式的混合运算（共2小题）
1．（2023•泰安）（1）化简：（2﹣）÷；
（2）解不等式组：．
2．（2022•泰安）（1）化简：（a﹣2﹣）÷；
（2）解不等式：2﹣＞．
二．分式的化简求值（共1小题）
3．（2021•泰安）（1）先化简，再求值：，其中a＝+3；
（2）解不等式：1﹣．
三．二元一次方程组的应用（共1小题）
4．（2022•泰安）泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了A种茶30盒，B种茶20盒，共花费6000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20%，该店又购进了A种茶20盒，B种茶15盒，共花费5100元．求第一次购进的A、B两种茶每盒的价格．
四．分式方程的应用（共2小题）
5．（2023•泰安）为进行某项数学综合与实践活动，小明到一个批发兼零售的商店购买所需工具．该商店规定一次性购买该工具达到一定数量后可以按批发价付款，否则按零售价付款．小明如果给学校九年级学生每人购买一个，只能按零售价付款，需用3600元；如果多购买60个，则可以按批发价付款，同样需用3600元，若按批发价购买60个与按零售价购买50个所付款相同，求这个学校九年级学生有多少人？
6．（2021•泰安）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径，针对疫苗急需问题，某制药厂紧急批量生产，计划每天生产疫苗16万剂，但受某些因素影响，有10名工人不能按时到厂．为了应对疫情，回厂的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样每天只能生产疫苗15万剂．
（1）求该厂当前参加生产的工人有多少人？
（2）生产4天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍为10小时．若上级分配给该厂共760万剂的生产任务，问该厂共需要多少天才能完成任务？
五．反比例函数系数k的几何意义（共1小题）
7．（2022•泰安）如图，点A在第一象限，AC⊥x轴，垂足为C，OA＝2，tanA＝，反比例函数y＝的图象经过OA的中点B，与AC交于点D．
（1）求k值；
（2）求△OBD的面积．

六．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
8．（2021•泰安）如图，点P为函数y＝x+1与函数y＝（x＞0）图象的交点，点P的纵坐标为4，PB⊥x轴，垂足为点B．
（1）求m的值；
（2）点M是函数y＝（x＞0）图象上一动点，过点M作MD⊥BP于点D，若tan∠PMD＝，求点M的坐标．

七．反比例函数综合题（共1小题）
9．（2023•泰安）如图，一次函数y1＝﹣2x+2的图象与反比例函数y2＝的图象分别交于点A，点B，与y轴，x轴分别交于点C，点D，作AE⊥y轴，垂足为点E，OE＝4．

（1）求反比例函数的表达式；
（2）在第二象限内，当y1＜y2时，直接写出x的取值范围；
（3）点P在x轴负半轴上，连接PA，且PA⊥AB，求点P坐标．
八．二次函数综合题（共3小题）
10．（2023•泰安）如图，二次函数y＝ax2+bx+4的图象经过点A（﹣4，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．
​
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图1，在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△BCP面积为5，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，小明经过探究发现：位于x轴下方的抛物线上，存在一点D，使∠DAB与∠ACB互为余角；你认为他探究出的结论是否正确？若正确，求出点D的坐标；若不正确，请说明理由．
11．（2022•泰安）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），B（0，﹣4），其对称轴为直线x＝1，与x轴的另一交点为C．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点M在直线AB上，且在第四象限，过点M作MN⊥x轴于点N．
①若点N在线段OC上，且MN＝3NC，求点M的坐标；
②以MN为对角线作正方形MPNQ（点P在MN右侧），当点P在抛物线上时，求点M的坐标．


12．（2021•泰安）二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（﹣4，0），B（1，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC，交于点Q，过点P作PD⊥x轴于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接BC，当∠DPB＝2∠BCO时，求直线BP的表达式；
（3）请判断：是否有最大值，如有请求出有最大值时点P的坐标，如没有请说明理由．

九．矩形的性质（共1小题）
13．（2021•泰安）四边形ABCD为矩形，E是AB延长线上的一点．
（1）若AC＝EC，如图1，求证：四边形BECD为平行四边形；
（2）若AB＝AD，点F是AB上的点，AF＝BE，EG⊥AC于点G，如图2，求证：△DGF是等腰直角三角形．

一十．圆的综合题（共2小题）
14．（2022•泰安）问题探究
（1）在△ABC中，BD，CE分别是∠ABC与∠BCA的平分线．
①若∠A＝60°，AB＝AC，如图1，试证明BC＝CD+BE；
②将①中的条件“AB＝AC”去掉，其他条件不变，如图2，问①中的结论是否成立？并说明理由．
迁移运用
（2）若四边形ABCD是圆的内接四边形，且∠ACB＝2∠ACD，∠CAD＝2∠CAB，如图3，试探究线段AD，BC，AC之间的等量关系，并证明．


15．（2021•泰安）如图1，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，且＝．连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E．
（1）求证：CD＝ED；
（2）AD与OC，BC分别交于点F，H．
①若CF＝CH，如图2，求证：CF•AF＝FO•AH；
②若圆的半径为2，BD＝1，如图3，求AC的值．

一十一．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
16．（2023•泰安）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点F是DC边上的一点，连接AF，将△ADF沿直线AF折叠，点D落在点G处，连接AG并延长交DC于点H，连接FG并延长交BC于点M，交AB的延长线于点E，且AC＝AE．

（1）求证：四边形DBEF是平行四边形；
（2）求证：FH＝ME．
一十二．相似三角形的判定与性质（共2小题）
17．（2023•泰安）如图，△ABC和△CDE均是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DCE＝90°，点E在线段AC上，BC，DE相交于点F，连接BE，BD，作EH⊥BD，垂足为点H，交BC与点G．
（1）若点H是BD的中点，求∠BED的度数；
（2）求证：△EFG∽△BFD；
（3）求证：＝．

18．（2022•泰安）如图，矩形ABCD中，点E在DC上，DE＝BE，AC与BD相交于点O，BE与AC相交于点F．
（1）若BE平分∠CBD，求证：BF⊥AC；
（2）找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由；
（3）若OF＝3，EF＝2，求DE的长度．

一十三．列表法与树状图法（共3小题）
19．（2023•泰安）2022年10月16日至10月22日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京召开．为激励青少年争做党的事业接班人，某市团市委在党史馆组织了“红心永向党”为主题的知识竞赛，依据得分情况将获奖结果分为四个等级：A级为特等奖，B级为一等奖，C级为二等奖，D级为优秀奖．并将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图．

请根据相关信息解答下列问题：
（1）本次竞赛共有 　 　名选手获奖，扇形统计图中扇形C的圆心角度数是 　 　度；
（2）补全条形统计图；
（3）若该党史馆有一个入口，三个出口．请用树状图或列表法，求参赛选手小丽和小颖由馆内恰好从同一出口走出的概率．
20．（2022•泰安）2022年3月23日，“天宫课堂”第二课开讲．“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站为广大青少年又一次带来了精彩的太空科普课．为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组（满分100分），A组：75≤x＜80，B组：80≤x＜85，C组：85≤x＜90，D组：90≤x＜95，E组：95≤x≤100，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题：
（1）本次调查一共随机抽取了 　 　名学生的成绩，频数分布直方图中m＝　 　，所抽取学生成绩的中位数落在 　 　组；
（2）补全学生成绩频数分布直方图；
（3）若成绩在90分及以上为优秀，学校共有3000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少人？
（4）学校将从获得满分的5名同学（其中有两名男生，三名女生）中随机抽取两名，参加周一国旗下的演讲，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．


21．（2021•泰安）为庆祝中国共产党成立100周年，落实教育部《关于在中小学组织开展“从小学党史，永远跟党走”主题教育活动的通知》要求，某学校举行党史知识竞赛，随机调查了部分学生的竞赛成绩，绘制成两幅不完整的统计图表．根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了 　 　名学生；C组所在扇形的圆心角为 　 　度；
（2）该校共有学生1600人，若90分以上为优秀，估计该校优秀学生人数为多少？
（3）若E组14名学生中有4人满分，设这4名学生为E1，E2，E3，E4，从其中抽取2名学生代表学校参加上一级比赛，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到E1，E2的概率．
竞赛成绩统计表（成绩满分100分）
组别
分数
人数
A组
75＜x≤80
4
B组
80＜x≤85

C组
85＜x≤90
10
D组
90＜x≤95

E组
95＜x≤100
14
合计



山东省泰安市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类
参考答案与试题解析
一．分式的混合运算（共2小题）
1．（2023•泰安）（1）化简：（2﹣）÷；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）；
（2）﹣2＜x＜5．
【解答】解：（1）原式＝•
＝•
＝•
＝；

（2），
解①得：x＞﹣2；
解②得：x＜5，
故不等式组的解集为：﹣2＜x＜5．
2．（2022•泰安）（1）化简：（a﹣2﹣）÷；
（2）解不等式：2﹣＞．
【答案】（1）a2+2a；（2）x＜1．
【解答】解：（1）原式＝[﹣]
＝
＝
＝a（a+2）
＝a2+2a；
（2）2﹣＞，
去分母，得：24﹣4（5x﹣2）＞3（3x+1），
去括号，得：24﹣20x+8＞9x+3，
移项，得：﹣20x﹣9x＞3﹣8﹣24，
合并同类项，得：﹣29x＞﹣29，
系数化1，得：x＜1．
二．分式的化简求值（共1小题）
3．（2021•泰安）（1）先化简，再求值：，其中a＝+3；
（2）解不等式：1﹣．
【答案】（1）﹣，﹣1﹣；（2）x＜1．
【解答】解：（1）原式＝[]
＝
＝﹣，
当a＝+3时，原式＝﹣；
（2）去分母，得：8﹣（7x﹣1）＞2（3x﹣2），
去括号，得：8﹣7x+1＞6x﹣4，
移项，得：﹣7x﹣6x＞﹣4﹣1﹣8，
合并同类项，得：﹣13x＞﹣13，
系数化1，得：x＜1．
三．二元一次方程组的应用（共1小题）
4．（2022•泰安）泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了A种茶30盒，B种茶20盒，共花费6000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20%，该店又购进了A种茶20盒，B种茶15盒，共花费5100元．求第一次购进的A、B两种茶每盒的价格．
【答案】第一次购进A种茶的价格为100元/盒，B种茶的价格为150元/盒．
【解答】解：设第一次购进A种茶的价格为x元/盒，B种茶的价格为y元/盒，
依题意得：，
解得：．
答：第一次购进A种茶的价格为100元/盒，B种茶的价格为150元/盒．
四．分式方程的应用（共2小题）
5．（2023•泰安）为进行某项数学综合与实践活动，小明到一个批发兼零售的商店购买所需工具．该商店规定一次性购买该工具达到一定数量后可以按批发价付款，否则按零售价付款．小明如果给学校九年级学生每人购买一个，只能按零售价付款，需用3600元；如果多购买60个，则可以按批发价付款，同样需用3600元，若按批发价购买60个与按零售价购买50个所付款相同，求这个学校九年级学生有多少人？
【答案】300人．
【解答】解：设这个学校九年级学生有x人，
根据题意得：×50＝×60，
解得：x＝300，
经检验，x＝300是所列方程的解，且符合题意．
答：这个学校九年级学生有300人．
6．（2021•泰安）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径，针对疫苗急需问题，某制药厂紧急批量生产，计划每天生产疫苗16万剂，但受某些因素影响，有10名工人不能按时到厂．为了应对疫情，回厂的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样每天只能生产疫苗15万剂．
（1）求该厂当前参加生产的工人有多少人？
（2）生产4天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍为10小时．若上级分配给该厂共760万剂的生产任务，问该厂共需要多少天才能完成任务？
【答案】（1）30人；（2）39天．
【解答】解：（1）设当前参加生产的工人有x人，由题意可得：
，
解得：x＝30，
经检验：x＝30是原分式方程的解，且符合题意，
∴当前参加生产的工人有30人；
（2）每人每小时完成的数量为：16÷8÷40＝0.05（万剂），
设还需要生产y天才能完成任务，由题意可得：
4×15+（30+10）×10×0.05y＝760，
解得：y＝35，
35+4＝39（天），
∴该厂共需要39天才能完成任务．
五．反比例函数系数k的几何意义（共1小题）
7．（2022•泰安）如图，点A在第一象限，AC⊥x轴，垂足为C，OA＝2，tanA＝，反比例函数y＝的图象经过OA的中点B，与AC交于点D．
（1）求k值；
（2）求△OBD的面积．

【答案】（1）2；
（2）1.5．
【解答】解：（1）∵∠ACO＝90°，tanA＝，
∴AC＝2OC，
∵OA＝2，
由勾股定理得：（2）2＝OC2+（2OC）2，
∴OC＝2，AC＝4，
∴A（2，4），
∵B是OA的中点，
∴B（1，2），
∴k＝1×2＝2；
（2）当x＝2时，y＝1，
∴D（2，1），
∴AD＝4﹣1＝3，
∵S△OBD＝S△OAD﹣S△ABD
＝×3×2﹣×3×1
＝1.5．
六．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
8．（2021•泰安）如图，点P为函数y＝x+1与函数y＝（x＞0）图象的交点，点P的纵坐标为4，PB⊥x轴，垂足为点B．
（1）求m的值；
（2）点M是函数y＝（x＞0）图象上一动点，过点M作MD⊥BP于点D，若tan∠PMD＝，求点M的坐标．

【答案】（1）m＝24；（2）点M的坐标为（8，3）．
【解答】解：∵点P为函数y＝x+1图象的点，点P的纵坐标为4，
∴4＝x+1，解得：x＝6，
∴点P（6，4），
∵点P为函数y＝x+1与函数y＝（x＞0）图象的交点，
∴4＝，
∴m＝24；
（2）设点M的坐标（x，y），
∵tan∠PMD＝，
∴＝，
①点M在点P右侧，如图，

∵点P（6，4），
∴PD＝4﹣y，DM＝x﹣6，
∴＝，
∵xy＝m＝24，
∴y＝，
∴2（4﹣）＝x﹣6，解得：x＝6或8，
∵点M在点P右侧，
∴x＝8，
∴y＝3，
∴点M的坐标为（8，3）；
②点M在点P左侧，

∵点P（6，4），
∴PD＝y﹣4，DM＝6﹣x，
∴＝，
∵xy＝m＝24，
∴y＝，
∴2（4﹣）＝x﹣6，解得：x＝6或8，
∵点M在点P左侧，
∴此种情况不存在；
∴点M的坐标为（8，3）．
七．反比例函数综合题（共1小题）
9．（2023•泰安）如图，一次函数y1＝﹣2x+2的图象与反比例函数y2＝的图象分别交于点A，点B，与y轴，x轴分别交于点C，点D，作AE⊥y轴，垂足为点E，OE＝4．

（1）求反比例函数的表达式；
（2）在第二象限内，当y1＜y2时，直接写出x的取值范围；
（3）点P在x轴负半轴上，连接PA，且PA⊥AB，求点P坐标．
【答案】（1）反比例函数的关系式为y2＝﹣；
（2）﹣1＜x＜0；
（3）（﹣9，0）．
【解答】解：（1）∵一次函数y1＝﹣2x+2的图象与y轴，x轴分别交于点C，点D，
∴点C（0，2），点D（1，0），
∵OE＝4，
∴OC＝CE＝2，
∵∠AEC＝∠DOC＝90°，∠ACE＝∠DCO，
∴△AEC≌△DCO（ASA），
∴AE＝OD＝1，
∴点A（﹣1，4），
∵点A在反比例函数y2＝的图象上，
∴k＝﹣1×4＝﹣4，
∴反比例函数的关系式为y2＝﹣；
（2）方程组的解为，，
∵点A（﹣1，4），
∴点B（2，﹣2），
由于是在第二象限，当y1＜y2时，x的取值范围为﹣1＜x＜0；
（3）由于直线PA⊥AB，可设直线PA的关系式为y＝x+b，
把点A（﹣1，4）代入得，4＝﹣+b，
解得b＝，
∴直线PA的关系式为y＝x+，
当y＝0时，x＝﹣9，
∴点P的坐标为（﹣9，0）．
八．二次函数综合题（共3小题）
10．（2023•泰安）如图，二次函数y＝ax2+bx+4的图象经过点A（﹣4，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．
​
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图1，在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△BCP面积为5，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，小明经过探究发现：位于x轴下方的抛物线上，存在一点D，使∠DAB与∠ACB互为余角；你认为他探究出的结论是否正确？若正确，求出点D的坐标；若不正确，请说明理由．
【答案】（1）y＝x2+5x+4；
（2）P（﹣，4）或（﹣，﹣16）；
（3）D（﹣）．
【解答】解：（1）由题意得：C（0，4），
设抛物线的解析式为：y＝a（x+4）（x+1），
∴4＝a•4×1，
∴a＝1，
∴y＝（x+4）（x+1）＝x2+5x+4；
（2）如图1，

过点P作PT∥BC，交x轴于点T，作BQ⊥PT于Q，
∴∠QTB＝∠CBO，∠TQB＝∠BOC＝90°，
∴△TBQ∽△BCO，
∴，
∴TB•OC＝BC•BQ，
∵B（﹣1，0），C（0，4），A（﹣4，0），
∴OC＝4，OB＝1，直线BC的解析式为：y＝4x+4，抛物线的对称轴为：x＝﹣，
∴kPT＝kBC＝4，
由S△PBC＝5得，
BQ＝5，
∴BC•BQ＝10，
∴4TB＝10，
∴TB＝，
∴OA＝OB+TB＝1+，
∴T（﹣，0），
∴直线PT的解析式为y＝4x+14，
当x＝﹣时，y＝4×+14＝4，
∴P1（﹣，4），
同理可得：直线T′Q′DE解析式为：y＝4x﹣6，
∴当x＝﹣时，y＝﹣16，
∴P2（﹣，﹣16），
∴P（﹣，4）或（﹣，﹣16）；
（3）如图2，

存在D（﹣，﹣），使∠DAB+∠ACB＝90°，理由如下：
作BF⊥AC于F，设AD与y轴交于点E，
∴∠BFA＝∠BFC＝90°，
∴∠ACB+∠CBF＝90°，
∵∠ACB+∠DAB＝90°，
∴∠DAB＝∠CBF，
∵∠AOC＝90°，OA＝OC＝4，
∴∠CAO＝45°，AC＝4，
∵AB＝3，
∴AF＝BF＝AB•sin45°＝AB＝，
∴CF＝AC﹣AF＝4＝，
∴tan∠DAB＝tan∠CBD＝，
∴，
∴，
∴OE＝，
∴E（0，﹣），
∴直线AD的解析式为：y＝﹣x﹣，
由得，
（舍去），，
∴D（﹣）．
11．（2022•泰安）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），B（0，﹣4），其对称轴为直线x＝1，与x轴的另一交点为C．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点M在直线AB上，且在第四象限，过点M作MN⊥x轴于点N．
①若点N在线段OC上，且MN＝3NC，求点M的坐标；
②以MN为对角线作正方形MPNQ（点P在MN右侧），当点P在抛物线上时，求点M的坐标．


【答案】（1）y＝x2﹣x﹣4；
（2）①M（，﹣）；
②M（，﹣5）．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点B（0，﹣4），
∴c＝﹣4，
∵对称轴为直线x＝1，经过A（﹣2，0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣4；

（2）①如图1中，

设直线AB的解析式为y＝kx+n，
∵A（﹣2，0），B（0，﹣4），
∴，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x﹣4，
∵A，C关于直线x＝1对称，
∴C（4，0），
设N（m，0），
∵MN⊥x轴，
∴M（m，﹣2m﹣4），
∴NC＝4﹣m，
∵MN＝3NC，
∴2m+4＝3（4﹣m），
∴m＝，
∴点M（，﹣）；

②如图2中，连接PQ，MN交于点E．设M（t，﹣2t﹣4），则点N（t，0），

∵四边形MPNQ是正方形，
∴PQ⊥MN，NE＝EP，NE＝MN，
∴PQ∥x轴，
∴E（t，﹣t﹣2），
∴NE＝t+2，
∴ON+EP＝ON+NE＝t+t+2＝2t+2，
∴P（2t+2，﹣t﹣2），
∵点P在抛物线y＝x2﹣x﹣4上，
∴（2t+2）2﹣（2t+2）﹣4＝﹣t﹣2，
解得t1＝，t2＝﹣2，
∵点P在第四象限，
∴t＝﹣2舍去，
∴t＝，
∴点M坐标为（，﹣5）．


12．（2021•泰安）二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（﹣4，0），B（1，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC，交于点Q，过点P作PD⊥x轴于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接BC，当∠DPB＝2∠BCO时，求直线BP的表达式；
（3）请判断：是否有最大值，如有请求出有最大值时点P的坐标，如没有请说明理由．

【答案】（1）y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）y＝﹣x+；
（3）点P的坐标为（﹣2，6）．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（﹣4，0），B（1，0），
∴，
解得：，
∴该二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）如图，设BP与y轴交于点E，
∵PD∥y轴，
∴∠DPB＝∠OEB，
∵∠DPB＝2∠BCO，
∴∠OEB＝2∠BCO，
∴∠ECB＝∠EBC，
∴BE＝CE，
令x＝0，得y＝4，
∴C（0，4），OC＝4，
设OE＝a，则CE＝4﹣a，
∴BE＝4﹣a，
在Rt△BOE中，由勾股定理得：BE2＝OE2+OB2，
∴（4﹣a）2＝a2+12，
解得：a＝，
∴E（0，），
设BE所在直线表达式为y＝kx+e（k≠0），
∴，
解得：，
∴直线BP的表达式为y＝﹣x+；
（3）有最大值．
如图，设PD与AC交于点N，
过点B作y轴的平行线与AC相交于点M，
设直线AC表达式为y＝mx+n，
∵A（﹣4，0），C（0，4），
∴，
解得：，
∴直线AC表达式为y＝x+4，
∴M点的坐标为（1，5），
∴BM＝5，
∵BM∥PN，
∴△PNQ∽△BMQ，
∴＝＝，
设P（a0，﹣a02﹣3a0+4）（﹣4＜a0＜0），则N（a0，a0+4），
∴＝＝＝，
∴当a0＝﹣2时，有最大值，
此时，点P的坐标为（﹣2，6）．

九．矩形的性质（共1小题）
13．（2021•泰安）四边形ABCD为矩形，E是AB延长线上的一点．
（1）若AC＝EC，如图1，求证：四边形BECD为平行四边形；
（2）若AB＝AD，点F是AB上的点，AF＝BE，EG⊥AC于点G，如图2，求证：△DGF是等腰直角三角形．

【答案】（1）证明见解答；（2）证明见解答．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，CB⊥AE，
又∵AC＝EC，
∴AB＝BE，
∴BE＝CD，BE∥CD，
∴四边形BECD为平行四边形；
（2）∵AB＝AD，
∴矩形ABCD是正方形，
∵EG⊥AC，
∴∠E＝∠GAE＝45°，
∴GE＝GA，
又∵AF＝BE，
∴AB＝FE，
∴FE＝AD，
在△EGF和△AGD中，
，
∴△EGF≌△AGD（SAS），
∴GF＝GD，∠DGA＝∠FGE，
∠DGF＝∠DGA+∠AGF＝∠EGF+∠AGF＝∠AGE＝90°，
∴△DGF是等腰直角三角形．
一十．圆的综合题（共2小题）
14．（2022•泰安）问题探究
（1）在△ABC中，BD，CE分别是∠ABC与∠BCA的平分线．
①若∠A＝60°，AB＝AC，如图1，试证明BC＝CD+BE；
②将①中的条件“AB＝AC”去掉，其他条件不变，如图2，问①中的结论是否成立？并说明理由．
迁移运用
（2）若四边形ABCD是圆的内接四边形，且∠ACB＝2∠ACD，∠CAD＝2∠CAB，如图3，试探究线段AD，BC，AC之间的等量关系，并证明．


【答案】（1）①证明见解析部分；
②结论成立，证明见解析部分；
（2）结论：AC＝AD+BC．证明见解析部分．
【解答】（1）①证明：如图1中，

∵AB＝AC，∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，
∵BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，
∴点D，E分别是AC，AB的中点，
∴BE＝AB＝BC，CD＝AC＝BC，
∴BE+CD＝BC；

②解：结论成立．
理由：如图2中，设BD交CE于点O，在BC上取一点G，使得BG＝BE，连接OG．

∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∵BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝∠ABC+∠ACB＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠BOE＝∠COD＝60°，
∵BE＝BG，∠EBO＝∠GBO，BO＝BO，
∴△EBO≌△GBO（SAS），
∴∠BOE＝∠BOG＝60°，
∴∠COD＝∠COG＝60°，
∵CO＝CO，∠DCO＝∠GCO，
∴△OCD≌△OCG（ASA），
∴CD＝CG，
∴BE+CD＝BG+CG＝BC；

（2）解：结论：AC＝AD+BC．
理由：如图3中，作点B关于AC的对称点E，连接AE，EC．

∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠DAB+∠BCD＝180°，
∵∠ACB＝2∠ACD，∠CAD＝2∠CAB，
∴3∠BAC+3∠ACD＝180°，
∴∠BAC+∠ACD＝60°，
∵∠BAC＝∠EAC，
∴∠FAC+∠FCA＝60°，
∴∠AFC＝120°，
∴∠AFD＝∠EFC＝60°，
∵∠DAF＝∠FAC，∠FCA＝∠FCE，
由②可知AD+EC＝AC，
∵EC＝BC，
∴AD+BC＝AC．
15．（2021•泰安）如图1，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，且＝．连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E．
（1）求证：CD＝ED；
（2）AD与OC，BC分别交于点F，H．
①若CF＝CH，如图2，求证：CF•AF＝FO•AH；
②若圆的半径为2，BD＝1，如图3，求AC的值．

【答案】（1）证明见解析部分．
（2）①证明见解析部分．
②．
【解答】（1）证明：如图1中，连接BC．

∵＝，
∴∠DCB＝∠DBC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝∠BCE＝90°，
∴∠E+∠DBC＝90°，∠ECD+∠DCB＝90°，
∴∠E＝∠DCE，
∴CD＝ED．

（2）①证明：如图2中，

∵CF＝CH，
∴∠CFH＝∠CHF，
∵∠AFO＝∠CFH，
∴∠AFO＝∠CHF，
∵＝，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴△AFO∽△AHC，
∴＝，
∴＝，
∴CF•AF＝OF•AH．

②解：如图3中，连接OD交BC于G．设OG＝x，则DG＝2﹣x．

∵＝，
∴∠COD＝∠BOD，
∵OC＝OB，
∴OD⊥BC，CG＝BG，
在Rt△OCG和Rt△BGD中，则有22﹣x2＝12﹣（2﹣x）2，
∴x＝，即OG＝，
∵OA＝OB，
∴OG是△ABC的中位线，
∴OG＝AC，
∴AC＝．
一十一．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
16．（2023•泰安）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点F是DC边上的一点，连接AF，将△ADF沿直线AF折叠，点D落在点G处，连接AG并延长交DC于点H，连接FG并延长交BC于点M，交AB的延长线于点E，且AC＝AE．

（1）求证：四边形DBEF是平行四边形；
（2）求证：FH＝ME．
【答案】（1）见解答
（2）见解答
【解答】证明：（1）∵△ADF沿直线AF折叠，点D落在点G处，
∴△ADF≌△AGF，
∴AD＝AG，∠AGF＝∠ADF＝90°，
∴∠AGE＝∠ADC＝90°，
在Rt△ADC和Rt△AGE中：
，
∴Rt△ADC≌Rt△AGE（HL），
∴∠ACD＝∠E，
在矩形ABCD中，对角线互相平分，
∴OA＝OB，
∴∠CAB＝∠ABD，
又∵DC∥AB，
∴∠ACD＝∠CAB，
∴∠ABD＝∠ACD，
∴∠ABD＝∠E，
∴DB∥FE，
又∵DF∥BE，
∴四边形DBEF是平行四边形．
（2）∵四边形DBEF是平行四边形，
∴DF＝EB，
又∵DF＝FG，
∴FG＝EB，
∵DC∥AE，
∴∠HFG＝∠E，
在△FGH和△EBM中：
，
∴△FGH≌△EBM（ASA），
∴FH＝ME．
一十二．相似三角形的判定与性质（共2小题）
17．（2023•泰安）如图，△ABC和△CDE均是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DCE＝90°，点E在线段AC上，BC，DE相交于点F，连接BE，BD，作EH⊥BD，垂足为点H，交BC与点G．
（1）若点H是BD的中点，求∠BED的度数；
（2）求证：△EFG∽△BFD；
（3）求证：＝．

【答案】（1）60°；
（2）证明过程详见解答；
（3）证明过程详见解答．
【解答】（1）解：∵△ABC、△CDE是两个等腰直角三角形，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∠CED＝∠CDE＝45°，
∴∠CFE＝180°﹣∠ACB﹣∠CED＝90°，
∵CE＝CD，
∴EF＝DF＝DE，
∵BH＝DH，EH⊥BD，
∴BE＝DE，
∴EF＝BE，
∴cos∠BED＝，
∴∠BED＝60°；
（2）证明：由（1）得：∠CFG＝90°，
∴CF⊥DE，
∴∠BFD＝∠EFG＝∠BHE＝90°，
∵∠BGH＝∠EGF，
∴∠DBF＝∠FEG，
∴△EFG∽△BFD；
（3）证明：如图，
作BQ∥BC，交EH的延长线于点Q，
∴△BEG∽△AQH，
∴，∠Q＝∠CEH，∠QBE＝∠AEB，
∴，
设∠AEG＝BDF＝α，
由（1）知：BC是DE的垂直平分线，
∴BE＝BD，
∴∠EBF＝∠DBF，
∴∠AEB＝∠ACB+∠EBF＝45°+α，
∠CEH＝∠CED+∠FEG＝45°+α，
∴∠AEB＝∠CEH，
∴∠Q＝∠QBE，
∴BE＝EQ，
∴＝．

18．（2022•泰安）如图，矩形ABCD中，点E在DC上，DE＝BE，AC与BD相交于点O，BE与AC相交于点F．
（1）若BE平分∠CBD，求证：BF⊥AC；
（2）找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由；
（3）若OF＝3，EF＝2，求DE的长度．

【答案】（1）见解析；（2）与△OBF相似的三角形有△ECF，△BAF，理由见解答；（3）3+．
【解答】（1）证明：如图，

在矩形ABCD中，OD＝OC，AB∥CD，∠BCD＝90°，
∴∠2＝∠3＝∠4，∠3+∠5＝90°，
∵DE＝BE，
∴∠1＝∠2，
又∵BE平分∠DBC，
∴∠1＝∠6，
∴∠3＝∠6，
∴∠6+∠5＝90°，
∴BF⊥AC；
（2）解：与△OBF相似的三角形有△ECF，△BAF理由如下：
∵∠1＝∠3，∠EFC＝∠BFO，
∴△ECF∽△OBF，
∵DE＝BE，
∴∠1＝∠2，
又∵∠2＝∠4，
∴∠1＝∠4，
又∵∠BFA＝∠OFB，
∴△BAF∽△OBF；
（3）解：在矩形ABCD中，∠4＝∠3＝∠2，
∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠4．
又∵∠OFB＝∠BFA，
∴△OBF∽△BAF．
∵∠1＝∠3，∠OFB＝∠EFC，
∴△OBF∽△ECF．
∴，
∴，即3CF＝2BF，
∴3（CF+OF）＝3CF+9＝2BF+9，
∴3OC＝2BF+9
∴3OA＝2BF+9①，
∵△ABF∽△BOF，
∴，
∴BF2＝OF•AF，
∴BF2＝3（OA+3）②，
联立①②，可得BF＝1±（负值舍去），
∴DE＝BE＝2+1+＝3+．
一十三．列表法与树状图法（共3小题）
19．（2023•泰安）2022年10月16日至10月22日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京召开．为激励青少年争做党的事业接班人，某市团市委在党史馆组织了“红心永向党”为主题的知识竞赛，依据得分情况将获奖结果分为四个等级：A级为特等奖，B级为一等奖，C级为二等奖，D级为优秀奖．并将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图．

请根据相关信息解答下列问题：
（1）本次竞赛共有 　200　名选手获奖，扇形统计图中扇形C的圆心角度数是 　108　度；
（2）补全条形统计图；
（3）若该党史馆有一个入口，三个出口．请用树状图或列表法，求参赛选手小丽和小颖由馆内恰好从同一出口走出的概率．
【答案】（1）200、108；
（2）见解答；
（3）．
【解答】解：（1）本次竞赛获奖选手共有80÷＝200（名），
则B等级人数为200×25%＝50（名），
∴C等级人数为200﹣（80+50+10）＝60（名），
∴扇形统计图中扇形C的圆心角度数是360°×＝108°，
故答案为：200、108；
（2）补全图形如下：

（3）将三个出口分别记作A、B、C，列表如下：

A
B
C
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
由表知，共有9种等可能结果，其中小丽和小颖由馆内恰好从同一出口走出的有3种结果，
所以小丽和小颖由馆内恰好从同一出口走出的概率为＝．
20．（2022•泰安）2022年3月23日，“天宫课堂”第二课开讲．“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站为广大青少年又一次带来了精彩的太空科普课．为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组（满分100分），A组：75≤x＜80，B组：80≤x＜85，C组：85≤x＜90，D组：90≤x＜95，E组：95≤x≤100，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题：
（1）本次调查一共随机抽取了 　400　名学生的成绩，频数分布直方图中m＝　60　，所抽取学生成绩的中位数落在 　D　组；
（2）补全学生成绩频数分布直方图；
（3）若成绩在90分及以上为优秀，学校共有3000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少人？
（4）学校将从获得满分的5名同学（其中有两名男生，三名女生）中随机抽取两名，参加周一国旗下的演讲，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．


【答案】（1）故答案为：400，60，D；
（2）图形见解析；
（3）1680人；
（4）．
【解答】解：（1）本次调查一共随机抽取的学生总人数为：96÷24%＝400（名），
∴B组的人数为：400×15%＝60（名），
∴m＝60，
∵所抽取学生成绩的中位数是第200个和第201个成绩的平均数，20+96+60＝176，
∴所抽取学生成绩的中位数落在D组，
故答案为：400，60，D；
（2）E组的人数为：400﹣20﹣60﹣96﹣144＝80（人），
补全学生成绩频数分布直方图如下：

（3）3000×＝1680（人），
答：估计该校成绩优秀的学生有1680人；
（4）画树状图如下：

共有20种等可能的结果，其中抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果有12种，
∴抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率为＝．
21．（2021•泰安）为庆祝中国共产党成立100周年，落实教育部《关于在中小学组织开展“从小学党史，永远跟党走”主题教育活动的通知》要求，某学校举行党史知识竞赛，随机调查了部分学生的竞赛成绩，绘制成两幅不完整的统计图表．根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了 　50　名学生；C组所在扇形的圆心角为 　72　度；
（2）该校共有学生1600人，若90分以上为优秀，估计该校优秀学生人数为多少？
（3）若E组14名学生中有4人满分，设这4名学生为E1，E2，E3，E4，从其中抽取2名学生代表学校参加上一级比赛，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到E1，E2的概率．
竞赛成绩统计表（成绩满分100分）
组别
分数
人数
A组
75＜x≤80
4
B组
80＜x≤85

C组
85＜x≤90
10
D组
90＜x≤95

E组
95＜x≤100
14
合计


【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）本次共调查的学生＝14÷28%＝50（人）；
C组的圆心角为360°×＝72°，
故答案为50；72；
（2）B组的人数为50×12%＝6（人），
则D组的人数为50﹣4﹣6﹣14﹣10＝16（人），
则估计优秀的人数为1600×＝960（人）；
（3）画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中恰好抽到E1，E2的结果数为2，
所以恰好抽到E1，E2的概率＝＝．