辽宁省朝阳市朝阳县部分学校2023届九年级下学期中考四模数学试卷(含解析)

2023年辽宁省朝阳市朝阳县部分学校中考数学四模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在，，，这四个数中，最小的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图所示的正六棱柱的主视图是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  下列运算中，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  下列说法正确的是(    )

A. 为了解人造卫星的设备零件的质量情况，选择抽样调查
B. 方差是刻画数据波动程度的量
C. 购买一张体育彩票必中奖，是不可能事件
D. 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为

5.  如图，五边形是正五边形，若，则(    )

A.
B.
C.
D.

6.  有一个正方体木块，每一块的各面都写上不同的数字，三块的写法完全相同，现把它们摆放成如图所示的位置．请你判断数字对面的数字是(    )

 

A.  B.  C.  D.

7.  如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，那么的对应点的坐标是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  年月日中国航天日某校举办了以“航天点亮梦想”为主题的中学生知识竞赛中，五位评委分别给甲队、乙队两组选手的评分如下：
甲组：，，，，；乙组：，，，，．
则下列说法：从甲、乙得分的平均分看，他们两人的成绩没有差别；从甲、乙得分的众数看，乙的成绩比甲好；从甲、乙得分的中位数看，乙的成绩比甲好；从甲、乙成绩的稳定性看，乙的成绩比甲好；正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  若抛物线：与抛物线：关于直线对称，则，的值分别为(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

10.  如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在第一象限，，分别在轴上，交轴于点，轴，垂足为，若，，以下结论正确的个数是(    )
；
平分；
点的坐标为；
矩形的面积为．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  已知一天有秒，一年按天计算共有秒，用科学记数法表示为        ．

12.  二元一次方程组的解是        ．

13.  已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且随的增大而减小，则点的坐标为______ ．

14.  如图，是的直径，、是上的两点，且点为弧的中点，连接、
若，则的度数为______ ．

15.  某工厂计划生产个零件，由于采用新技术，实际每天生产零件的数量是原计划的倍，因此提前天完成任务，设原计划每天生产零件个，根据题意，列方程为        ．

16.  如图，四边形是正方形，在轴正半轴上，在轴负半轴上反比例函数在第二象限的图象与，分别交于点，若，则线段的长度为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

18.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，．
把向左平移个单位后得到对应的，请画出平移后的；
把绕原点旋转后得到对应的，请画出旋转后的；
观察图形可知，与关于点______，______中心对称．

19.  本小题分
甲、乙两人进行摸排游戏，现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字，，，将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．
甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张．请用列表法或画树状图的方法写出所有可能的结果；
若两人抽取的数字和为的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．

20.  本小题分
某学校为了解今年九年级学生足球运球的情况，随机抽取部分九年级学生足球运球的测试成绩作为一个样本，按，，，四个等级进行统计，制成了如图不完整的统计图说明级分分，级：分分，级：分分，级：分分报据所给信息，解答以下问题：

在扇形统计图中，对应的扇形的圆心角是______ 度；
补全条形统计图；
该校九年级有名学生，请估计足球运球测试成绩达到级的学生有多少人？

21.  本小题分
为建设成为“宜居宜业宜游”的城市，朝阳市计划对市内大凌河某河段进行区域性景观打造，如图，某施工单位测量员先在点处观测到河对岸有两座凉亭，且凉亭在点正南方后向正东方向走米后到达点处，此时观测到凉亭在南偏西在南偏西方向上，凉亭在东南方向上．
填空： ______ 度， ______ ；
请你求出两座凉亭之间的距离结果保留根号

22.  本小题分
如图，点为上一点，为的直径，延长到点，连接，，并过点作，交于点，交的延长线于点，已知恰好为的平分线．
求证：为的切线；
若，，求线段的长．

23.  本小题分
嘉兴某公司抓住“一带一路”的机遇不断创新发展，生产销售某产品，该产品销售量万件与售价元件之间存在图一条线段所示的变化趋势，总成本万元与销售量万件之间存在图所示的变化趋势，当时可看成一条线段，当时可看成抛物线

写出与之间的函数关系式
若销售量不超过万件时，利润为万元，求此时的售价为多少元件？
当售价为多少元时，利润最大，最大值是多少万元？利润销售总额一总成本

24.  本小题分
【问题情境】
王老师给爱好学习的小明和小颖提出这样一个问题：一个问题：如图，在中，，为边上的任一点，过点作，，垂足分别为，，过点作，垂足为求证：不需要证明
小明的证明思路是：
如图，连接，由与面积之和等于的面积可以证得：．
小颖的证明思路是：
如图，过点作，垂足为，可以证得：，，则．
【变式探究】
如图，当点在延长线上时，问题情境中，其余条件不变，求证：．
【结论运用】
如图，将矩形沿折叠，使点落在点上，点落在点处，点为折痕上的任一点，过点作，，垂足分别为，，若，，求的值．
【迁移拓展】
图是一个机器模型的截面示意图，在四边形中，为边上的一点，，，垂足分别为，，且，，，，分别为，的中点，连接，，请直接写出与的周长之和．

 

25.  本小题分
如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，点为抛物线的顶点．
求抛物线的解析式及顶点的坐标；
如图，连接，为轴上一点，连接交于点，当时，求点的坐标；
如图，连接、，在中的抛物线上是否存在点，使得？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

解析：解：，，而，
，
其中最小的数是．
故选：．
有理数大小比较的法则：正数负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
此题主要考查了有理数大小比较，掌握有理数大小比较方法是解答本题的关键．
 

2.【答案】 

解析：解：正六棱柱的主视图如图所示：
．
故选：．
主视图是从正面看所得到的图形即可，可根据正六棱柱的特点作答．
本题考查了简单几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意，看得到的棱用实线表示，看不到的棱用虚线表示．
 

3.【答案】 

解析：解：、，故选项错误；
B、，故选项错误；
C、，故选项错误；
D、，故选项正确；
故选：．
根据同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方和积的乘方，完全平方公式分别判断即可．
本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方和积的乘方，完全平方公式，解题的关键是掌握各自的运算法则．
 

4.【答案】 

解析：解：为了解人造卫星的设备零件的质量情况，应选择全面调查，即普查，不宜选择抽样调查，因此选项A不符合题意；
方差是刻画数据波动程度的量，反映数据的离散程度，因此选项B符合题意；
购买一张体育彩票中奖，是可能的，只是可能性较小，是可能事件，因此选项C不符合题意；
掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，因此选项D不符合题意；
故选：．
根据普查、抽查，方差，概率的意义逐项进行判断即可．
本题考查普查、抽查，方差，概率的意义，理解各个概念的意义是正确判断的前提．
 

5.【答案】 

解析：解：延长交于，
，
，
正五边形的每个外角相等，
，
，
，
．
故选：．
延长交于，由平行线的性质，得到，求出正五边形的外角的度数，由三角形外角的性质即可解决问题．
本题考查平行线的性质，多边形，三角形的外角，关键是作辅助线应用三角形外角的性质．
 

6.【答案】 

解析：

【分析】
本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，根据的相邻数字判断出对面上的数字是解题的关键．通过三个图形可知与相邻的数字有、、、，判断出与相对的数字为，从而求解．
【解答】
解：由图可知，与相邻的数字有、、、，
所以，数字对面的数字为．
故选B．  

7.【答案】 

解析：解：线段绕点顺时针旋转得到线段，
≌，，
．
作轴于，轴于，
．
，
，
．
在和中，
，
≌，
，．
，
，，
，，
．
故选：．
由线段绕点顺时针旋转得到线段可以得出≌，，作轴于，轴于，就可以得出≌，就可以得出，，由的坐标就可以求出结论．
本题考查了旋转的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等式的性质的运用，点的坐标的运用，解答时证明三角形全等是关键．
 

8.【答案】 

解析：解：甲组的平均数为，
乙组的平均数为，
所以从甲、乙得分的平均分看，他们两人的成绩没有差别，故说法正确；
甲组的众数为，乙组的众数为；
因为，
所以从甲、乙得分的众数看，乙的成绩比甲好，故说法正确；
乙组的中位数为，乙组的中位数为，
所以从甲、乙得分的中位数看，乙的成绩比甲好，故说法正确；
，
，
因为，
从甲、乙成绩的稳定性看，甲的成绩比乙好，故说法错误．
正确的是．
故选：．
分别求出它们的平均数，众数和方差即可．
本题考查了众数、中位数、平均数以及方差，解题的关键是牢记概念及公式．
 

9.【答案】 

解析：解：由抛物线：可知抛物线的对称轴为直线，交轴于点，
抛物线：的对称轴为直线，
抛物线：与抛物线：关于直线对称，
，
解得，
点关于直线对称的点在抛物线：上，
把点代入得，
解得，
故选：．
由抛物线：可知抛物线的对称轴为直线，交轴于点，抛物线：的对称轴为直线，根据题意得到，点关于直线对称的点，在抛物线：上，进而求得，．
本题主要考查二次函数的性质，二次函数的图象与几何变换，表示出抛物线的对称轴以及轴对称的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

解析：解：，，
∽，
，，
，
四边形是矩形，
，，，
，
，，故正确；
，
平分，故正确；
，，
，
，
，
负值舍去，
点坐标为，
点，点关于原点对称，
点，故错误；
，
矩形的面积，故正确，
故选：．
通过证明∽，可得，由矩形的性质可得，故正确；由等腰三角形的性质和相似三角形的性质可得，可得平分，故正确；由勾股定理可求的长，即可求点坐标，由矩形是中心对称图形，可得点，故错误；由面积公式可求矩形的面积，故正确，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

11.【答案】 

解析：解：将用科学记数法表示为．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

12.【答案】 

解析：解：，
把代入，得，
解得：，
把代入，得，
所以方程组的解是．
故答案为：．
把代入得出，求出，再把代入求出即可．
本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
 

13.【答案】 

解析：解：把代入中，
得，
解得，
随着的增大而减小，
，
，
，
一次函数的解析式为：，
令，得，
解得，
，
故答案为：．
把点坐标代入一次函数的解析式中求得的值，进一步根据一次函数的性质确定出一次函数的解析式，再求一次函数图象与轴交点的坐标便可．
本题考查了一次函数的图象上点的坐标特点，关键是用待定系数法求出一次函数的解析式．
 

14.【答案】 

解析：解：连接，

，
，
，
，
点为弧的中点，
，
，
，
故答案为：．
连接，由圆周角定理求出和的度数，由等腰三角形的性质求出的度数，则可求出答案．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆周角定理，掌握一条弧所对的圆周角是这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
 

15.【答案】 

解析：解：采用新技术后，实际每天生产零件的数量是原计划的倍，原计划每天生产零件个，
采用新技术后实际每天生产零件个．
根据题意得：．
故答案为：．
根据采用新技术前后工作效率间的关系，可得出采用新技术后实际每天生产零件个，利用工作时间工作总量工作效率，结合实际比原计划提前天完成任务，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

16.【答案】 

解析：解：四边形是正方形，
，，
反比例函数在第二象限的图象与，分别交于点，，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
先根据反比例函数图像的得到≌，再根据，得到，进而求得的长度，即可得到最后答案．
本题主要考查了反比例函数的图像的性质，掌握反比例函数图像的性质是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式


，
，
当时，
原式
． 

解析：根据分式的加减运算法则以及乘除运算法则进行化简，然后将的值代入原式即可求出答案．
本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
 

18.【答案】   

解析：解：如图所示，即为所求；
如图所示，即为所求；

由图可得，与关于点中心对称．
故答案为：，．
依据平移的方向和距离，即可得到平移后的；
依据绕原点旋转，即可画出旋转后的；
依据对称点连线的中点的位置，即可得到对称中心的坐标．
此题主要考查了平移变换和旋转变换，正确根据题意得出对应点位置是解题关键．
 

19.【答案】解：所有可能出现的结果如图：

从表格可以看出，总共有种结果；
不公平．
从表格可以看出，两人抽取数字和为的倍数有种，两人抽取数字和为的倍数有种，所以甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．
，
甲获胜的概率大，游戏不公平． 

解析：本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
根据题意直接列表，即可得出所有可能出现的结果；
根据概率的意义分别求出甲、乙获胜的概率，再进行比较，即可得出答案．
 

20.【答案】 

解析：解：，
即在这次调查中一共抽取了名学生，
在扇形统计图中，对应的扇形的圆心角是：，
故答案为：；

总人数为人，
等级人数为人，
补全条形统计图如下：


估计足球运球测试成绩达到级的学生有：人．
先由等级人数及其所占百分比求出总人数，由各等级人数之和等于总人数得出等级人数，从而可用乘以等级人数占总人数的比例即可得；
由各等级人数之和等于总人数得出等级人数，根据百分比概念求出、等级对应的百分比，由百分比之和等于求出等级对应的百分比，从而补全图形；
用总人数乘以样本中等级对应的百分比即可得．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

21.【答案】   

解析：解：过点作于点，

由题意得，，四边形是矩形，，
，
，
故答案为：，；
在中，
米，，
，
解得：米，
该河段的宽度为米；
，
，
米，
，解得：米，
米，
两座凉亭之间的距离为米．
过点作于点，由题意得，，，根据平行线的性质以及角的和差即可求解；
由题意得米，在中，解直角三角形即可求解；
易得，在中，通过解直角三角形可得，即可求解求解．
此题考查解直角三角形的应用方向角问题，关键把实际问题转化为数学问题加以解决．
 

22.【答案】证明：如图，连接，

平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
为的切线；
解：如图，连接，

，，，
，
设，则，
是的切线，
，
，
，
解得，
，，
为直径，
，
，
，
，
即，
． 

解析：根据角平分线定义及等边对等角易证，从而证得，再由，利用平行线的性质及切线定义即可得出结论；
连接，根据三角函数，可得，，再根据平行线的判定可得，根据平行线的性质可得，再根据三角函数，即可得到．
本题考查切线的性质与判定，掌握切线的判定与性质、锐角三角函数，平行线的判定和性质、角平分线的定义和等腰三角形的性质是解题的关键．
 

23.【答案】解：将点、代入一次函数表达式：得：，解得：，
函数表达式为：；
当时，同理可得：，
由题意得：利润，
解得：或舍去，
即：此时的售价为；
当时，，
当时，有最大值为万元；
时，把点代入二次函数并解得：，
，
当时，的最大值为万元，
，
故：元时，有最大值为万元． 

解析：将点、代入一次函数表达式：得：，解得：，即可求解；
当时，同理可得：，由题意得：利润，即可求解；
分、两种情况，分别求解即可．
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值或最小值，也就是说二次函数的最值不一定在时取得．
 

24.【答案】证明：小明的证明：连接，如图，

，，，
，
，
，
．
小颖的证明：
过点作，如图，
，，，
，
四边形为矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
；
证明：小明的证明思路：连接，如图，

，，，
，
，
，
：
小题的证明思路：
过点作，如图，
，，，

四边形为矩形，
．
，
．
，
，
．
．
．
．
，

，
在和中，
，
≌，
，
；
解：如图，

过点作，
四边和是矩形，
，，
，．
，
由折叠有，，．
，
，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
由问题情景中的结论可得：，
，
的值为．
解：延长，交于点，作，如图，

，
，
，，
，
∽，
，
，
由问题情景中的结论可得：，
设，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，且，分别为，的中点，
，，
与的周长之和




，
与的周长之和． 

25.【答案】解：把、代入得：
，
解得：，
抛物线的解析式为：，
，
顶点；
当时，，
，
，
，
，
，
，
点在的平分线上，
作射线，则的解析式为：，
设的解析式为：，
把、代入得：，
解得：，
的解析式为：，
则，
，
，
，
，
设的解析式为：，
把，代入得：，
解得：，
的解析式为：，
当时，，
，
；
分两种情况：
设，
如图，当交轴于时，
时，
，
，
，
，
，，
，
，
∽，
，
，，
，
设，
，
，
，
同理可求得的解析式为：，
则，
，
，
，
舍，，
当时，，
，
如图，当与轴交于点时，过作于，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
同理可得的解析式为：，
联立方程组得：，
解得：，，
因为点在抛物线上，所以当时，，
，
综上所述，存在点或，使得．