新高考数学一轮复习过关训练第30课 平面向量的概念及线性运算（2份打包，原卷版+解析版）

第30课　平面向量的概念及线性运算

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

【基础巩固】

1.给出下列说法:

①两个有共同起点的相等向量,其终点必相同;

②两个有共同终点的向量,一定是共线向量;

③非零向量与非零向量是共线向量,则点A,B,C,D必在同一条直线上;

④有向线段就是向量,向量就是有向线段.

其中错误说法的个数是 (　)

A.1          B.2            C.3              D.4

C　[解析] 对于①,相等向量是大小相等,方向相同的向量,故两个有共同起点的相等向量,其终点必相同,故①正确;对于②,共线向量是指方向相同或相反的向量,两个有共同终点的向量,其方向可能既不相同又不相反,故②错误;对于③,共线向量是指方向相同或相反的向量,向量与向量是共线向量,则线段AB和CD平行或共线,故③错误;对于④,有向线段是向量的表示形式,不能等同于向量,故④错误.4个说法中有3个错误,故选C.

2.下列各式不能化简为的是 (　)

A.+(+)

B.(+)+(-)

C.-+

D.+-

D　[解析] 对于A,+(+)=+=;对于B,(+)+(-)=-=;对于C,-+=-=.故选D.

3.在△ABC中,D是AB边上的中点,则= (　)

A.2+          B.-2

C.2-          D.+2

C　[解析] ∵在△ABC中,D是AB边上的中点,∴=+=+=+(+)=2-.故选C.

4.在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-3b,=-5a-5b,则四边形ABCD的形状是 (　)

A.矩形           B.平行四边形

C.梯形           D.以上都不对

C　[解析] ∵=++=-8a-6b,∴=2,∴AD∥BC,且AD≠BC,∴四边形ABCD是梯形.故选C.

5.已知向量a,b不共线,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是 (　)

A.A,B,D           B.A,B,C       C.B,C,D      D.A,C,D

A　[解析] ∵=+=2a+4b,∴=2,又,有公共点B,∴A,B,D三点共线.故选A.

6.[2022·新乡二模] 在△ABC中,=·(+),D为BC边的中点,则 (　)

A.3=7        B.7=3        C.2=3     D.3=2

C　[解析] 因为D为BC边的中点,所以+=2,因为=(+),所以=,则2=3.故选C.

7.2020年10月27日,在距离长江口南支航道0.7海里的风机塔上,东海航海保障中心上海航标处顺利完成临港海上风电场AIS(船舶自动识别系统)基站的新建工作,该基站也是我国首个海上风机塔AIS基站.已知风机的每个转子叶片的长度为20米,每两个叶片之间的夹角相同,风机塔(杆)的长度为60米,叶片随风转动,假设叶片与风机塔在同一平面内,如图所示,则|++|的最小值为              (　)

A.40    B.20        C.20      D.80

A　[解析] 由题知,++=0,即+=,则++=+=,则当叶片OC旋转到最低点时,||最小,且其值为60-20=40.

8.如图,在△ABC中,=3,P为CD上一点,且=m+,则m的值为 (　)

A.        B.       C.       D.

B　[解析] ∵=3,∴=,又=m+,∴=m+,又C,P,D三点共线,∴m+=1,解得m=.故选B.

9.(多选)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=2AD=2DC,E为BC边上一点,且=3,F为线段AE的中点,则下列结论正确的是              (　)

A.=-+

B.=+

C.=-+

D.=-

ABC　[解析] 连接BD(图略),∵AB∥CD,AB⊥AD,AB=2AD=2DC,∴=+=++=-++=-+,A正确;∵=3,∴==×=-+,∴=+=+=+,又F为线段AE的中点,∴==+,B正确;=+=-++=-+,C正确;=+=-=-+-=--,D错误.故选ABC.

10.(多选)设点M是△ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是 (　)

A.若=+,则点M是边BC的中点

B.若=2-,则点M在边BC的延长线上

C.若=--,则点M是△ABC的重心

D.若2=+,则△MBC的面积是△ABC面积的

ACD　[解析] 若=+,则点M是边BC的中点,故A正确;若=2-,则-=-,即=,则点M在边CB的延长线上,故B错误;若=--,即++=0,则点M是△ABC的重心,故C正确;由2=+,可得M为边AB的中点,则△MBC的面积是△ABC面积的,故D正确.故选ACD.

11.已知向量a与b的方向相反,|a|=1,|b|=2,则|a-2b|=　　　　. 

5　[解析] 因为向量a与b的方向相反,所以|a-2b|=|a|+2|b|=1+4=5.

12.已知△ABC所在的平面上有一点D满足=,且=λ(λ∈R),则λ=　　　　. 

-　[解析] 由=,可得4=3+,所以3+=3+,则3(-)=-,所以3=,故=-,所以λ=-.

13.[2022·河北五个一联盟二模] 点M在△ABC的内部,且满足2+3+4=0,则S△MAC∶S△MAB=　　　　. 

3∶4　[解析] 根据题意,分别延长MA至D,MB至E,MC至F,使得MD=2MA,ME=3MB,MF=4MC,如图所示:

由2+3+4=0,得++=0,连接DE,DF,EF,所以点M是△DEF的重心,所以S△MDE=S△MEF=S△MFD,设S△MDE=1,则S△MAB=××1=,S△MAC=××1=,所以S△MAC∶S△MAB=∶=3∶4.

14.已知两个非零向量a和b不共线,=2a-3b,=a+2b,=ka+12b.

(1)若2-3+=0,求k的值;

(2)若A,B,C三点共线,求k的值.

解:(1)∵2-3+=0,

∴2(2a-3b)-3(a+2b)+ka+12b=(1+k)a=0,

又a≠0,∴k+1=0,∴k=-1.

(2)∵A,B,C三点共线,∴设=λ,

即-=λ(-),

∴(k-1)a+10b=-λa+5λb,

又a,b不共线,∴消去λ得k=-1.

15.已知点G是△ABO的重心,M是AB边的中点.

(1)求++;

(2)若PQ过△ABO的重心G,且=a,=b,=ma,=nb,求证:+=3.

解:(1)连接GM(图略),因为+=2,2=-,

所以++=-+=0.

(2)证明:易知=(a+b),

因为G是△ABO的重心,

所以==(a+b).

由P,G,Q三点共线,设=t,

所以-=t(-),

即=t+(1-t),

即a+b=mta+(1-t)nb.

由a,b不共线,得

所以+=3.

【素养提升】

1.已知P为△ABC所在平面内一点,++=0,||=||=||=2,则△ABC的面积为 (　)

A.         B.2       C.3        D.4

B　[解析] 设BC边的中点为D,AC边的中点为M,连接PD,MD,BM(图略),则有+=2.由++=0,得=-2,又D为BC边的中点,M为AC边的中点,所以=-2,则=,则P,D,M三点共线且D为线段PM的中点.又D为BC边的中点,所以四边形CPBM为平行四边形.因为||=||=||=2,所以||=||=2,则AC=4,且BM=PC=2,所以△AMB为等边三角形,所以∠BAC=60°,则S△ABC=×2×4×=2.故选B.

2.在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,P为矩形ABCD所在平面上一点,且PB⊥PD,则||的最大值是　　　　,|+|=　　　　. 

5　5　[解析] 连接AC,BD,设对角线AC,BD的交点为O,∵AB=3,AD=4,∴AC=BD==5.∵P为矩形ABCD所在平面上一点,且PB⊥PD,∴点P在以线段BD为直径的圆上,即点P的轨迹是以O为圆心,=为半径的圆(除去B,D两点),A,C两点也在圆上,则||的最大值为圆的直径,即||的最大值为5.连接PO,则+=2,∴|+|=2||=5.