2024重庆市一中高三上学期开学考试数学试题含解析

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2023年重庆一中高2024届高三上期开学考试数学测试试题卷注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳索笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本卷或者草稿纸上无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合的真子集个数为（    ）A. 7 B. 8 C. 15 D. 162. 已知符号函数则“”是“”的（    ）A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件3. 已知函数，则（    ）A.  B. 0 C. 4 D. 64. 一组数据按从小到大的顺序排列如下：，经计算，该组数据中位数是16，若分位数是20，则（    ）A. 33 B. 34 C. 35 D. 365. 已知是定义在上的奇函数.，且当时，，则（    ）A. 0 B.  C. 1 D. 26. 已知为中不同数字的种类，如，记“”为事件，则事件发生的概率（    ）A.  B.  C.  D. 7. 设分别为椭圆的左右焦点，M为椭圆上一点，直线分别交椭圆于点A，B，若，则椭圆离心率为（    ）A.  B.  C.  D. 8. 已知实数满足：，则（    ）A.  B.  C.  D. 二、选择题：本题共4题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知实数满足，则（    ）A.  B. C.  D. 10. 某儿童乐园有甲，乙两个游乐场，小王同学第一天去甲、乙两家游乐场游玩的概率分别为0.3和0.7，如果他第一天去甲游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.7；如果第一天去乙游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.6，则王同学（    ）A. 第二天去甲游乐场的概率为0.63B. 第二天去乙游乐场的概率为0.42C. 第二天去了甲游乐场，则第一天去乙游乐场的概率为D. 第二天去了乙游乐场，则第一天去甲游乐场的概率为11. 设，则下列结论正确的是（    ）A. 的最大值为 B. 的最大值为C. 的最小值为 D. 的最小值为12 已知函数（    ）A. 若，则增函数B. 若，则C. 若，则可能有两个零点D 若，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若随机变量，且，则________.14. 二项式展开式的常数项是__________.15. 已知函数满足，若在其定义域内单调递减，则正实数m的取值范围为_________.16. 已知函数定义域为，，且满足，其中为的导函数，若不等式恒成立，则正实数的最小值为_________.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知正方体的棱长为2，设分别为棱的中点.    （1）证明：平面；（2）求二面角平面角的余弦值.18. 设等差数列的前项之和为，且满足：.（1）求的通项公式；（2）设，求证：.19. 已知、分别为定义域为的偶函数和奇函数，且.（1）求的单调区间；（2）对任意实数均有成立，求实数的取值范围.20. 甲、乙两人轮流投篮，约定甲先投，先投中者获胜，直到有人获胜或每人都已投球次时投篮结束，其中为给定正整数.设甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，且各次投篮互不影响.（1）当时，求甲获胜的概率；（2）设投篮结束时甲恰好投篮次，求的数学期望.（答案用含的最简式子表示）.21. 已知椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为，设为坐标原点，线段的中点为，且满足.（1）求椭圆的标准方程；（2）设点，圆过且交直线于两点，直线分别交于另一点（异于点）.证明：直线过定点，并求出该定点的坐标.22 已知函数.（1）设，经过点作函数图像的切线，求切线的方程；