2024长春外国语学校高二上学期9月月考数学试题含答案

长春外国语学校2023-2024学年第一学期高二年级第一次月考

数学试卷

出题人 ：马竞        审题人：王先师

    本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。考试结束后，将答题卡交回。

注意事项：

             1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第I卷（选择题）

   一、单选题（本题共8小题，每题5分 ，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

 1. 直线的倾斜角是（    ）

A．0 B． C． D．

2. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为(     )

A.  B. C.  D.

3. 两平面的法向量分别为，若，则的值是（    ）

A．－3               B．6               C．－6            D．－12

4. 已知空间中的三个顶点的坐标分别为，，，则边上的中线的长度为(     )

A.  B.  C.  D.

5．如图，是棱长为1的正方体，若在正方体内部且满足，则到直线的距离为（    ）

A． B． 

C． D．

6. 已知，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

7. 已知是棱长为4的正方体内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

8. 在棱长均相等的正三棱柱中，为的中点，在上，且，则下述结论：
；；
平面平面；
异面直线与所成角为．

          其中正确命题的个数为(     )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）

9. 若与为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有（    ）

A．若，则它们的斜率相等 B．若与的斜率相等，则

C．若，则它们的倾斜角相等 D．若与的倾斜角相等，则

10. 已知向量，，，则下列结论正确的是(     )

A.  B.
C.  D.

11. 关于空间向量，以下说法正确的是（    ）

A．已知，，则在上的投影向量为

B．已知两个向量，，且，则

C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底

D．若对空间中任意一点，有，则四点共面

12. 已知正方体的棱长为，为的中点，，，平面，下面说法正确的有(     )

A. 若，，则平面截正方体所得截面图形是等腰梯形
B. 若，平面截正方体所得的截面面积的最大值为
C. 若的和最小，则
D. 直线与平面所成角的最大值为

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知，，若与垂直，则实数_______.

14. 已知，，，则            ．

15. 设是空间中的一组单位正交基底，向量=++，是空间的另一个基底，则在基底下的坐标为________.

16. 在三棱锥中，底面为正三角形，平面，，G为的外心，D为直线上的一动点，设直线与所成的角为，则的取值范围为          ． 

四、解答题（本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分14分）当为何值时，过，两点的直线：

(1)倾斜角为；

(2)与过，两点的直线垂直；

(3) 与过，两点的直线平行.

18.（本小题满分14分）已知空间中三点，，．

(1)若四边形ABCD是平行四边形，求点D坐标；

(2) 若，且，求向量；

(3)若点在平面内，求的值．

19.（本小题满分14分）如图，平行六面体中，，，，点满足
(1)求的长度；

(2) 求．

20.（本小题满分14分）如图，在棱长为2的正方体中， E为的中点．

(1)求证：平面；

(2)求点到平面的距离．

21.（本小题满分14分）如图，在五面体中，平面平面，， ，且，．

求证：平面平面．

线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值等于？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

参考答案：

一、单选题：

二、多选题

三、填空

13.  -；    14.  2  ；    15.   ；  16. .

四、解答题：

17. 【答案】(1)；(2) ；(3) .

18. 【答案】解：(1)

，因为，所以，

又，故，则，

所以或．

因为点在平面上，故存在使得，

又，，
所以，解得．
故．

19. 【答案】解：由题意知，
，，，
，，，
，


，
故BD的长度为；
，



． 

20. 【答案】 (1)略；(2)

21. 【答案】解：如图，设中点为，过作，
由于，所以，由于，则有．
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，所以．
又，故，，三条直线两两垂直．
如图，以为原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，

依题意可得，，，，，
设平面的法向量，
则有，即，令，得，
取平面的一个法向量，
因为，所以平面平面；
设，
由知，，，，，
所以，
则，
设平面的法向量，则有
因为，
所以，即
令，可得，则．
因为平面与平面的夹角的余弦值等于，
所以，
化简得，解得成舍去，所以．
所以线段上存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值等于，此时．