2024厦门一中高二上学期开学考试数学含解析

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福建省厦门第一中学2023—2024学年度第一学期入学考高二年数学试卷2023.09.01考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．I卷（预习检测）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 直线的倾斜角是（    ）A.  B.  C.  D. 2. 已知椭圆C：的一个焦点为（2，0），则椭圆C的离心率为（    ）A.  B. C.  D. 13. 已知双曲线的渐近线方程为，则A.  B.  C.  D. 4 若直线与圆相切，则等于（    ）A.  B.  C.  D. 5. 已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（    ）A. 16 B. 8 C. 4 D. 26. 已知抛物线上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9，则该抛物线的焦点到准线的距离为（    ）A. 4 B. 9 C. 10 D. 187. 椭圆的焦点为，P为椭圆上一点，若，则的面积是.A.  B.  C.  D. 8. 已知A．B．C是双曲线上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若且，则该双曲线的离心率是（    ）A.  B.  C.  D. 二、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分．9. 圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为________．10. 已知点，，若直线与线段（含端点）相交，则k的取值范围为________．三、解答题：共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．11. 已知是等差数列的前项和，，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求的最小值.12. 圆的圆心为，且过点.（1）求圆的标准方程；（2）直线与圆交两点，且，求.13. 已知顶点、、．（1）求直线BC的方程及其在y轴上的截距；（2）求边BC的垂直平分线l的方程（3）求面积．14. 如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与当直线AB斜率为0时，弦AB长4．求椭圆的方程；若求直线AB的方程．Ⅱ卷（巩固检测）四、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．15 已知，，且与平行，则等于（    ）A.  B.  C.  D. 16. 已知向量，，则在上的投影向量为（    ）A.  B.  C.  D. 17. 已知直四棱柱的棱长均为2，.以D1为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为（    ）A.  B.  C.  D. 218. 已知为的外心，，，，则的面积为（    ）A.  B. C.  D. 五、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分．19. 用平行于正四棱锥底面的平面去截该棱锥，把底面和截面之间的那部分多面体叫做正四棱台，经过正四棱台不相邻的两条侧棱的截面叫做该正四棱台的对角面．若正四棱台的体积为28，上、下底面边长分别为2，4，则该棱台的对角面面积为_______．20. 在三棱锥中，，平面，，，则与所成角为__________.六、解答题：共24分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21. 在矩形中，，，是中点，是边上的三等分点（靠近点），与交于点.（1）设，，请用，表示和；（2）求与夹角的余弦值.22. 如图，在正三棱柱中，，为的中点，、在上，.  （1）试在直线上确定点，使得对于上任一点，恒有平面；（用文字描述点位置的确定过程，并在图形上体现，但不要求写出证明过程）（2）已知在直线上，满足对于上任一点，恒有平面，为（1）中确定的点，试求当的面积最大时，二面角的余弦值.

福建省厦门第一中学2023—2024学年度第一学期入学考高二年数学试卷2023.09.01考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．I卷（预习检测）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 直线的倾斜角是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】通过直线方程求出斜率，进而求出直线的倾斜角.【详解】由题意，直线的斜率为，设直线的倾斜角为，即.故选：D.2. 已知椭圆C：的一个焦点为（2，0），则椭圆C的离心率为（    ）A.  B. C.  D. 1【答案】C【解析】【分析】根据椭圆方程可知值，根据焦点坐标得到值，即可求出代入离心率公式求解.【详解】由已知可得，，则，所以，则离心率．故选：C.3. 已知双曲线的渐近线方程为，则A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由双曲线的渐近线方程为，结合渐近线方程为，从而可得结果.【详解】因为双曲线的渐近线方程为，又渐近线方程为，所以，故选A．【点睛】本题主要考查双曲线的方程与简单性质，以及双曲线的渐近线，属于基础题. 若双曲线方程为，则渐近线方程为.4. 若直线与圆相切，则等于（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】直线与圆相切，由圆心到直线距离等于半径，求的值.【详解】圆化成标准方程为，则且圆心坐标为，半径为，直线与圆相切，则圆心到直线距离等于半径，即：，解得.故选：A5. 已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（    ）A. 16 B. 8 C. 4 D. 2【答案】B【解析】【分析】根据等比数列的性质，设出基本量和，列出方程，可求解.【详解】设正数的等比数列的公比为，则，解得（负值舍去），.故选：B.6. 已知抛物线上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9，则该抛物线的焦点到准线的距离为（    ）A. 4 B. 9 C. 10 D. 18【答案】C【解析】【分析】根据题意结合抛物线的定义可得，即可得结果.【详解】由题意可得：的焦点坐标为，准线为，设抛物线上横坐标为4点为，则，解得，故该抛物线的焦点到准线的距离为.故选：C.7. 椭圆的焦点为，P为椭圆上一点，若，则的面积是.A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】椭圆焦点三角形的面积公式为，直接代入公式可求得面积.【详解】由于椭圆焦点三角形的面积公式为，故所求面积为，故选A.【点睛】本小题主要考查椭圆焦点三角形的面积，椭圆焦点三角形的面积公式为，将题目所给数据代入公式，可求得面积.属于基础题.8. 已知A．B．C是双曲线上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若且，则该双曲线的离心率是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意，连接，构造矩形；根据双曲线定义表示出各个边长，由直角三角形勾股定理求得的关系，进而求出离心率．【详解】设左焦点为，，连接，则 ， ，，，因为，且经过原点，所以四边形为矩形，在Rt△中，，将边长代入得，化简得，所以在Rt△中，，代入边长得化简得，即，故选：A.【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关双曲线的离心率的求解问题，根据题意画出草图，分析出为矩形是解题关键，然后根据垂直和已知边长关系及双曲线定义写出每条线段长度，最后借助勾股定理形成等式求解离心率即可.二、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分．9. 圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为________．【答案】【解析】【分析】直线和线段AB的垂直平分线的交点是圆心，圆心到A点的距离为半径，可得圆的方程.【详解】圆经过点和，，AB中点为，
所以线段AB的垂直平分线的方程是．
联立方程组，解得．
所以，圆心坐标为，半径，
所以，此圆的标准方程是．故答案为：10. 已知点，，若直线与线段（含端点）相交，则k的取值范围为________．【答案】【解析】【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率，数形结合求得实数k的取值范围．【详解】由可得，可知直线为过定点，斜率为的直线，可得，若直线与线段（含端点）相交，则或，所以k的取值范围为.故答案为：.  三、解答题：共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．11. 已知是等差数列的前项和，，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求的最小值.【答案】（1）    （2）12【解析】【分析】（1）设出公差，利用等差数列通项公式基本量列出方程，求出公差，进而求出通项公式；（2）在第一问的基础上，求出，得到不等式，求出，结合，得到的最小值.【小问1详解】设数列的公差为，因为，所以.解得.所以.【小问2详解】，所以.令，得，解得：（舍去）.因为，所以的最小值是12.12. 圆的圆心为，且过点.（1）求圆的标准方程；（2）直线与圆交两点，且，求.【答案】（1）    （2）或【解析】【分析】（1）利用两点间距离公式求出圆的半径，写出圆的标准方程；（2）求出圆心到直线的距离，利用垂径定领列出方程，求出.【小问1详解】设圆的半径为，则，故圆的标准方程为：；【小问2详解】设圆心到直线的距离为，则，由垂径定理得：，即，解得：或.13. 已知顶点、、．（1）求直线BC的方程及其在y轴上的截距；（2）求边BC的垂直平分线l的方程（3）求的面积．【答案】（1）；；    （2）；    （3）.【解析】【分析】（1）由题可得直线的斜率，然后根据点斜式即得；（2）由题可知的中点坐标及中垂线的斜率，进而即得；（3）根据两点间距离，点到直线的距离公式及三角形面积公式即得.【小问1详解】因为、，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即，令，得，即直线的方程在y轴上的截距为；小问2详解】由题可知的中点为，直线的斜率为，线段的垂直平分线的斜率为，所以线段的垂直平分线的方程为，即；【小问3详解】因为直线的方程为，又，所以到的距离为，又，所以的面积为.14. 如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与当直线AB斜率为0时，弦AB长4．求椭圆的方程；若求直线AB的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】，，又，解得：，即可求出椭圆的方程；分类讨论，将直线AB，CD方程代入椭圆方程中，求出，，利用，求出k，即可求直线AB的方程．【详解】由题意知，，又，解得：，所以椭圆方程为：当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，由题意知，不满足条件；当两弦斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为，则直线CD的方程为．将直线AB方程代入椭圆方程中并整理得，则，所以．同理，．所以解得，所以直线AB方程为或【点睛】本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，熟练计算弦长公式是关键，属于中档题．Ⅱ卷（巩固检测）四、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．15. 已知，，且与平行，则等于（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】先求出向量与的坐标，然后利用向量共线坐标公式计算即可.【详解】因为，，所以，，若与平行，则，得x＝2.故选：C.16. 已知向量，，则在上的投影向量为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】解法1：根据向量坐标表示与运算求解；解法2：结合图形处理问题.【详解】解法1：因为，，则在上的投影向量为.解法2：因为，由图可得，在轴上的投影数量为，则在上的投影向量.故选：B.  17. 已知直四棱柱的棱长均为2，.以D1为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为（    ）A.  B.  C.  D. 2【答案】B【解析】【分析】先找出平面截球面的截面圆的圆心是的中点，再找到截面圆的半径和交线.【详解】如图所示：  由已知，连接，则因为直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2，，所以为等边三角形.且平面，取的中点，连接,则,又平面，所以，又，所以平面，故平面截球面的截面圆的圆心是点，取和的中点，连接,则，故在球面上，,，所以为直角三角形，,球面与侧面交线是侧面上以为圆心，为半径的圆弧.故选：B.18. 已知为的外心，，，，则的面积为（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据外心求出，利用条件得出，结合面积公式可得答案.【详解】设的中点为D，由为的外心可得，，，又，所以，又，可得，故，则的面积为，故选：D.  五、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分．19. 用平行于正四棱锥底面的平面去截该棱锥，把底面和截面之间的那部分多面体叫做正四棱台，经过正四棱台不相邻的两条侧棱的截面叫做该正四棱台的对角面．若正四棱台的体积为28，上、下底面边长分别为2，4，则该棱台的对角面面积为_______．【答案】【解析】【分析】根据正四棱台的体积公式，梯形的面积公式，即可求解【详解】  设该正四棱台的的高为,则根据题意可得：，∴，又易知对角面为上下底分别为与，且高为的等腰梯形，∴该棱台的对角面面积为．故答案为：.20. 在三棱锥中，，平面，，，则与所成的角为__________.【答案】##【解析】【分析】如图，以，为邻边将补成矩形，连接，则（或其补角）为与所成的角，由线面垂直的判定定理证得平面，则，所以，代入求解即可得出答案.【详解】如图，以，邻边将补成矩形，连接，则（或其补角）为与所成的角.由平面，平面，得，又，，平面，所以平面.因为平面，所以.又，所以.故与所成的角为.故答案为：.  六、解答题：共24分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21. 在矩形中，，，是的中点，是边上的三等分点（靠近点），与交于点.（1）设，，请用，表示和；（2）求与夹角的余弦值.【答案】（1），    （2）【解析】【分析】（1）利用平面向量的线性运算即可得解；（2）法一：利用平角向量的数量积运算求得，，，从而得解；法二：建立直角坐标系，得到各点坐标，从而求得，，，由此得解.【小问1详解】依题意，作出图形如下，  因为是的中点，是边上的三等分点（靠近点），所以，.【小问2详解】法一：依题意得，，，则，，所以，，，由于与的夹角等于与的夹角，所以与夹角的余弦值为，即与夹角的余弦值为.法二：建立直角坐标系，如图，则，，，，，，  故，，，，则，由于与的夹角等于与的夹角所以与夹角的余弦值为，即与夹角的余弦值为.22. 如图，在正三棱柱中，，为的中点，、在上，.  （1）试在直线上确定点，使得对于上任一点，恒有平面；（用文字描述点位置的确定过程，并在图形上体现，但不要求写出证明过程）（2）已知在直线上，满足对于上任一点，恒有平面，为（1）中确定的点，试求当的面积最大时，二面角的余弦值.【答案】（1）答案见解析    （2）【解析】【分析】（1）延长至点，使，点即所求的点，然后证明出平面平面，利用面面平行的性质可得出结论；（2）分别延长、，所得交点即点，连接，则二面角即二面角，推导出，可知，当最大时，最大，利用基本不等式求出的最大值，及其等号成立的条件，分析可知为等腰直角三角形，取的中点，则，在平面内过点作，垂足为，连接，分析可知为二面角的平面角，计算出三边边长，即可求得的余弦值，即为所求.【小问1详解】解：延长至点，使，点即所求的点，图形如下：  证明如下：连接、，  在正三棱柱中，且，所以，，又因为，所以，，所以，，则，故，因为平面，平面，所以，平面，因为，则，因为为的中点，，则，故，所以，，所以，，因平面，平面，所以，平面，又因为，、平面，所以，平面平面，当点在线段上运动时，平面，故平面.【小问2详解】解：分别延长、，所得交点即点，连接，则二面角即二面角.因为、直线，且，则，因为平面，平面，所以，平面，合乎题意，    因为，且，所以，所以.所以，所以当最大时，最大.由基本不等式可得，当且仅当时等号成立.此时，且为等腰直角三角形.取的中点，则，在平面内过点作，垂足为，连接.因为平面，平面，所以，又，平面，平面，所以平面.因为平面，所以，又，平面，平面，所以平面.因为平面，所以.所以为二面角的平面角.因为，所以，，因为平面，平面，则，所以，所以.即二面角的余弦值为.【点睛】方法点睛：求二面角常用的方法：（1）几何法：二面角的大小常用它的平面角来度量，平面角的作法常见的有：①定义法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性质；（2）空间向量法：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角.