2022-2023学年贵州黔西南州兴义市义龙蓝天学校九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年贵州黔西南州兴义市义龙蓝天学校九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年贵州黔西南州兴义市义龙蓝天学校九年级（上）第一次月考数学试卷
一、单选题（本题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）下列为一元二次方程的是（　　）
A．x2﹣3x+1＝0 B．x2+﹣2＝0 C．ax2+bx+c＝0 D．2x2+2y＝0
2．（4分）将方程3x2﹣3x＝1化为一般式，各项系数a、b、c依次是（　　）
A．3，﹣3，1 B．3，﹣3，﹣1 C．3，3，﹣1 D．3，3，1
3．（4分）若x＝1是关于x的一元二次方程ax2﹣bx+1＝0的一个根，则2024+2a﹣2b的值为（　　）
A．2022 B．2020 C．2024 D．2018
4．（4分）一元二次方程x2﹣2x﹣7＝0用配方法可变形为（　　）
A．（x+1）2＝8 B．（x+2）2＝11 C．（x﹣1）2＝8 D．（x﹣2）2＝11
5．（4分）抛物线y＝2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（　　）
A．y＝2（x+1）2+3 B．y＝2（x+1）2﹣3
C．y＝2（x﹣1）2﹣3 D．y＝2（x﹣1）2+3
6．（4分）对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（　　）
A．与y轴交点为（0，2） B．对称轴是直线x＝﹣1
C．顶点坐标是（1，2） D．与x轴有两个交点
7．（4分）在同一直角坐标系中，一次函数y＝﹣ax+b与二次函数y＝ax2﹣b的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
8．（4分）已知点A（﹣2，a），B（﹣1，b），C（3，c）均在抛物线y＝﹣（x﹣2）2+k上，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．a＜c＜b
9．（4分）如图，在宽为20m、长为30m的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要504m2，则修建的路宽应为（　　）

A．1m B．1.5m C．2m D．2.5m
10．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，点A的坐标为（﹣4，0），抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，有以下结论：①该抛物线的最大值为a﹣b+c；②a+b+c＞0；③b2﹣4ac＞0；④2a+b＝0，其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
11．（3分）已知方程（k2﹣1）x2+（k+1）x﹣5＝0为关于x的一元一次方程，则k＝　 　．
12．（3分）已知是二次函数，则m＝　 　．
13．（3分）若抛物线y＝（x+m）2﹣m﹣1的对称轴是直线x＝1，则它的顶点坐标是 　 　．
14．（3分）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，那么m的取值范围是　 　．
15．（3分）已知关于x的方程x2+2x+a﹣1＝0的一个根是1，则另一根是 　 　．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线c1的顶点为A（﹣1，﹣4），且过点B（﹣3，0）将抛物线c1向右平移2个单位得抛物线c2，则阴影部分的面积s＝　 　．

17．（3分）如图用一段长为16m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙长9m），则这个围栏的最大面积为 　 　m2．

18．（3分）已知实数a、b满足，若关于x的一元二次方程x2﹣ax+b＝0的两个实数根分别为x1，x2，则的值为 　 　．
19．（3分）点A（2，m），B（﹣1，n）是抛物线y＝x2﹣1上的两点，直线y＝kx+b经过A、B两点，不等式x2﹣1＞kx+b的解集为 　 　．

20．（3分）二次函数y＝x2的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，A2017在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，B2017在二次函数y＝x2位于第一象限的图象上，△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2016B2017A2017都为等边三角形，则等边△A2016B2017A2017的高为　 　．

三、解答题（共80分）
21．（12分）选择适当方法解下列方程
（1）（3x﹣1）2＝（x﹣1）2
（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x
22．（12分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实根为x1、x2，且x12+x22﹣x1x2＝7，求m的值．
23．（12分）安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？

24．（14分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）当0＜x＜3时，直接写出y的取值范围；
（3）点P为抛物线上一点，若S△PAB＝10，求出此时点P的坐标．

25．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝10cm，点P从点A开始沿AB边向点B移动，速度为1cm/s；点Q从点B开始沿BC边向点C移动，速度为2cm/s，点P、Q分别从点A、B同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．
（1）几秒时，PQ的长度为3cm？
（2）几秒时，△PBQ的面积为8cm2？
（3）当t（0＜t＜5）为何值时，四边形APQC的面积最小？并求这个最小值．

26．（16分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已知A（﹣1，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点M，使得MA+MC的值最小，求此点M的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在P点，使△PCD是等腰三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．


2022-2023学年贵州黔西南州兴义市义龙蓝天学校九年级（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）下列为一元二次方程的是（　　）
A．x2﹣3x+1＝0 B．x2+﹣2＝0 C．ax2+bx+c＝0 D．2x2+2y＝0
【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、含有一个未知数，未知数的次数是2，是一元二次方程，故本选项正确；
B、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项错误；
C、当a＝0时，是一元一次方程，故本选项错误；
D、含有2个未知数，未知数的次数是2，是二元二次方程，故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
2．（4分）将方程3x2﹣3x＝1化为一般式，各项系数a、b、c依次是（　　）
A．3，﹣3，1 B．3，﹣3，﹣1 C．3，3，﹣1 D．3，3，1
【分析】根据一元二次方程的一般形式解答即可．
【解答】解：方程3x2﹣3x＝1化为一般式，得3x2﹣3x﹣1＝0，
则a＝3，b＝﹣3，c＝﹣1，
故选：B．
【点评】本题考查的是一元二次方程的一般形式，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．
3．（4分）若x＝1是关于x的一元二次方程ax2﹣bx+1＝0的一个根，则2024+2a﹣2b的值为（　　）
A．2022 B．2020 C．2024 D．2018
【分析】先根据一元二次方程根的定义得到a﹣b＝﹣1，再把2024+2a﹣2b变形为2024+2（a﹣b），然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵x＝1是关于x的一元二次方程ax2﹣bx+1＝0的一个根，
∴a﹣b+1＝0，
∴a﹣b＝﹣1，
∴2024+2a﹣2b＝2024+2（a﹣b）＝2024+2×（﹣1）＝2022．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
4．（4分）一元二次方程x2﹣2x﹣7＝0用配方法可变形为（　　）
A．（x+1）2＝8 B．（x+2）2＝11 C．（x﹣1）2＝8 D．（x﹣2）2＝11
【分析】方程常数项移到右边，两边加上1，即可确定出结果．
【解答】解：一元二次方程x2﹣2x﹣7＝0用配方法可变形为（x﹣1）2＝8，
故选：C．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
5．（4分）抛物线y＝2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（　　）
A．y＝2（x+1）2+3 B．y＝2（x+1）2﹣3
C．y＝2（x﹣1）2﹣3 D．y＝2（x﹣1）2+3
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“左加右减、上加下减”的原则可知，把抛物线y＝2x2的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的表达式为y＝2（x+1）2﹣3．
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
6．（4分）对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（　　）
A．与y轴交点为（0，2） B．对称轴是直线x＝﹣1
C．顶点坐标是（1，2） D．与x轴有两个交点
【分析】根据抛物线的性质，由x＝0，y＝3得交点坐标为（0，3），由a＝1得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x＝1，从而可判断抛物线与x轴没有公共点．
【解答】解：A．当x＝0时，y＝1+2＝3，则抛物线与y轴的交点为（0，3）故A错误，不符合题意；
B．由y＝（x﹣1）2+2知，抛物线的对称轴为x＝1，故选B错误，不符合题意；
C．由y＝（x﹣1）2+2知，抛物线的顶点坐标为（1，2），故C正确，符合题意；
D．因二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），则抛物线与x轴没有公共点，故D错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点式为y＝a（x﹣）2+，的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣b2a，当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下．
7．（4分）在同一直角坐标系中，一次函数y＝﹣ax+b与二次函数y＝ax2﹣b的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据各个选项中的图象，可以判断出一次函数y＝﹣ax+b中a、b的正负情况与二次函数y＝ax2﹣b中a、b的正负情况，然后即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：选项A中一次函数y＝﹣ax+b的a＜0，b＞0，二次函数y＝ax2﹣b的a＜0，b＜0，故选项A错误，不符合题意；
选项B中一次函数y＝﹣ax+b的a＞0，b＞0，二次函数y＝ax2﹣b的a＜0，b＜0，故选项B错误，不符合题意；
选项C中一次函数y＝﹣ax+b的a＞0，b＜0，二次函数y＝ax2﹣b的a＞0，b＞0，故选项C错误，不符合题意；
选项D中一次函数y＝﹣ax+b的a＞0，b＞0，二次函数y＝ax2﹣b的a＞0，b＞0，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和二次函数的性质解答．
8．（4分）已知点A（﹣2，a），B（﹣1，b），C（3，c）均在抛物线y＝﹣（x﹣2）2+k上，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．a＜c＜b
【分析】由y＝﹣（x﹣2）2+k可知抛物线的对称轴为直线x＝2，根据二次函数的性质，通过三点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小．
【解答】解：∵y＝﹣（x﹣2）2+k，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
∵抛物线开口向下，而点A（﹣2，a）到对称轴的距离最远，点C（3，c）最近，
∴a＜b＜c．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．此题需要掌握二次函数图象的增减性．
9．（4分）如图，在宽为20m、长为30m的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要504m2，则修建的路宽应为（　　）

A．1m B．1.5m C．2m D．2.5m
【分析】设修建的路宽应为x米，根据题意可知：（矩形的宽﹣路宽）×（矩形的长﹣路宽）＝耕地面积，依此列出一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：设修建的路宽应为x米，
由题意得：（20﹣x）（30﹣x）＝504，
解得：x1＝48（不合题意，舍去），x2＝2，
即修建的路宽应为2m，
故选：C．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，点A的坐标为（﹣4，0），抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，有以下结论：①该抛物线的最大值为a﹣b+c；②a+b+c＞0；③b2﹣4ac＞0；④2a+b＝0，其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据二次函数的图象和性质注意判断即可．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，开口向下，
∴当x＝﹣1，y有最大值，最大值y＝a﹣b+c，故①正确；
∵点A的坐标为（﹣4，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴B（2，0），
∴当x＝1时，y＝a+b+c＞0，故②正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故③正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
∴2a﹣b＝0，故④错误，
∴正确的个数为3个．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质．
二、填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
11．（3分）已知方程（k2﹣1）x2+（k+1）x﹣5＝0为关于x的一元一次方程，则k＝　1　．
【分析】根据一元一次方程的定义确定k的值即可．
【解答】解：∵原方程为一元一次方程，
∴k2﹣1＝0且k+1≠0，
∴k＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查一元一次方程的定义，含有一个未知数且未知数的次数为1的等式叫做一元一次方程，熟知其定义是解题的关键．
12．（3分）已知是二次函数，则m＝　2　．
【分析】根据二次函数的定义得出m+2≠0，m2﹣2＝2，求出即可．
【解答】解：∵是二次函数，
∴m+2≠0，m2﹣2＝2，
解得：m＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了二次函数的定义的应用，关键是能根据二次函数的定义得出m+2≠0且m2﹣2＝2．
13．（3分）若抛物线y＝（x+m）2﹣m﹣1的对称轴是直线x＝1，则它的顶点坐标是 　（1，0）　．
【分析】由抛物线对称轴可得m的值，从而可得抛物线顶点式，进而求解．
【解答】解：∵y＝（x+m）2﹣m﹣1的对称轴是直线x＝1，
∴m＝﹣1，
∴y＝（x﹣1）2，
∴抛物线顶点坐标为（1，0），
故答案为：（1，0）．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
14．（3分）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，那么m的取值范围是　m≤3且m≠2　．
【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为0．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac≥0，
即：4﹣4（m﹣2）≥0，
解得：m≤3，
∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0中m﹣2≠0，
∴m≠2，
故答案为：m≤3且m≠2．
【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况．
15．（3分）已知关于x的方程x2+2x+a﹣1＝0的一个根是1，则另一根是 　﹣3　．
【分析】设另一根为x＝m，根据一元二次方程根与系数的关系得出m+1＝﹣2，即可求出答案．
【解答】解：设方程的另一个根为x＝m，
则m+1＝﹣2，
解得：m＝﹣3，
∴方程的另一个根为是﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，那么x1+x2＝﹣，x1x2＝．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线c1的顶点为A（﹣1，﹣4），且过点B（﹣3，0）将抛物线c1向右平移2个单位得抛物线c2，则阴影部分的面积s＝　8　．

【分析】阴影部分可以转换成求平行四边形的面积，即函数图象平移的距离乘以A点纵坐标的绝对值．
【解答】解：阴影部分可以转换成求平行四边形的面积，s＝2×|yA|＝2×4＝8，
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了抛物线的平移，面积求法等知识点．解题时，利用了转化思想．
17．（3分）如图用一段长为16m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙长9m），则这个围栏的最大面积为 　32　m2．

【分析】设与墙垂直的一边长为xm，然后根据矩形面积列出函数关系式，从而利用二次函数的性质分析其最值．
【解答】解：设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（16﹣2x）m，
∴矩形围栏的面积为x（16﹣2x）＝﹣2x2+16x＝﹣2（x﹣4）2+32，
∵﹣2＜0，
∴当x＝4时，矩形有最大面积为32m2，
故答案为：32．
【点评】本题考查二次函数的应用，准确识图，理解二次函数的性质是解题关键．
18．（3分）已知实数a、b满足，若关于x的一元二次方程x2﹣ax+b＝0的两个实数根分别为x1，x2，则的值为 　﹣1.5　．
【分析】根据非负性求得a、b的值，再根据一元二次方程根与系数关系求得x1+x2、x1x2，代入+＝求解即可．
【解答】解：∵实数a、b满足+|b﹣1|＝0，
∴a﹣3＝0，b+2＝0，
解得：a＝3，b＝﹣2，
∴x2﹣3x﹣2＝0，
∵一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根分别为x1、x2，
∴x1+x2＝3，x1x2＝﹣2，
∴+＝＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查代数式求值、二次根式被开方数的非负性、绝对值的非负性、一元二次方程根与系数关系，熟练掌握非负性和一元二次方程根与系数关系是解答的关键．
19．（3分）点A（2，m），B（﹣1，n）是抛物线y＝x2﹣1上的两点，直线y＝kx+b经过A、B两点，不等式x2﹣1＞kx+b的解集为 　x＜﹣1或x＞2　．

【分析】根据点A、B的坐标，再找出抛物线图象在直线图象上方的部分的x的取值范围即可得解．
【解答】解：∵点A（2，m），B（﹣1，n）是抛物线y＝x2﹣1上的两点，
∴当x＜﹣1或x＞2时，抛物线图象在直线图象上方，
故不等式x2﹣1＞kx+b的解集为x＜﹣1或x＞2．
故答案为：x＜﹣1或x＞2．
【点评】本题考查了二次函数与不等式组，根据图象的上下方关系确定不等式的解集与x的取值范围是解题的关键，数形结合是数学中的重要思想之一．
20．（3分）二次函数y＝x2的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，A2017在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，B2017在二次函数y＝x2位于第一象限的图象上，△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2016B2017A2017都为等边三角形，则等边△A2016B2017A2017的高为　　．

【分析】分别过B1，B2，B3作y轴的垂线，垂足分别为A、B、C，设A0A1＝a，A1A2＝b，A2A3＝c，则AB1＝a，BB2＝b，CB3＝c，再根据所求正三角形的边长，分别表示B1，B2，B3的纵坐标，逐步代入抛物线y＝x2中，求a、b、c的值，得出规律．
【解答】解：设A0A1＝a，
∵△A0B1A1是等边三角形，
∴点B1的横坐标为a，纵坐标为a，
∴B1（a，a），
∵B1在二次函数y＝x2位于第一象限的图象上，
∴×（a）2＝a，
解得a＝1，
∴B1（，），
∴△A0B1A1的高为，
同理，设A1A2＝b，
则B2（b，b+1），
代入二次函数解析式得，×（b）2＝b+1，
解得b＝2，b＝﹣1（舍去），
B2（，2），
所以，△A1B2A2的高为，
设A2A3＝c，则B3（c，c+1+2），
代入二次函数解析式得，×（c）2＝c+1+2，
解得c＝3，c＝﹣2（舍去），
所以，B3（，），
所以，△A2B3A3的高为，
…，
以此类推，B2017（，），
所以，△A2016B2017A2017的高＝，
故答案为：．

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，根据等边三角形的性质表示出点B系列的坐标是解题的关键，也是本题的难点．
三、解答题（共80分）
21．（12分）选择适当方法解下列方程
（1）（3x﹣1）2＝（x﹣1）2
（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x
【分析】（1）两边开方得到3x﹣1＝±（x﹣1），然后解两个一元一次方程即可；
（2）先变形得到3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）3x﹣1＝±（x﹣1），
即3x﹣1＝x﹣1或3x﹣1＝﹣（x﹣1），
所以x1＝0，x2＝；
（2）3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（3x+2）＝0，
x﹣1＝0或3x+2＝0，
所以x1＝1，x2＝﹣．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
22．（12分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实根为x1、x2，且x12+x22﹣x1x2＝7，求m的值．
【分析】（1）要证明方程有两个不相等的实数根，只要证明原来的一元二次方程的△的值大于0即可；
（2）根据根与系数的关系可以得到关于m的方程，从而可以求得m的值．
【解答】（1）证明：∵x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0，
∴Δ＝[﹣（m﹣3）]2﹣4×1×（﹣m）＝m2﹣2m+9＝（m﹣1）2+8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）∵x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0，方程的两实根为x1、x2，且x12+x22﹣x1x2＝7，
∴，
∴（m﹣3）2﹣3×（﹣m）＝7，
解得，m1＝1，m2＝2，
即m的值是1或2．
【点评】本题考查根与系数的关系、根的判别式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用方程的思想解答．
23．（12分）安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？

【分析】（1）设一次函数解析式为：y＝kx+b由题意得出：当x＝2，y＝120；当x＝4，y＝140；得出方程组，解方程组即可；
（2）由题意得出方程（60﹣40﹣x）（10 x+100）＝2090，解方程即可．
【解答】解：（1）设一次函数解析式为：y＝kx+b
当x＝2，y＝120；当x＝4，y＝140；
∴，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝10x+100；
（2）由题意得：
（60﹣40﹣x）（10 x+100）＝2090，
整理得：x2﹣10x+9＝0，
解得：x1＝1．x2＝9，
∵让顾客得到更大的实惠，
∴x＝9，
答：商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用；由题意列出方程组或方程是解题的关键．
24．（14分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）当0＜x＜3时，直接写出y的取值范围；
（3）点P为抛物线上一点，若S△PAB＝10，求出此时点P的坐标．

【分析】（1）将A与B的坐标代入抛物线的解析式即可求出b与c的值．
（2）根据图象即可求出y的取值范围．
（3）设P（x，y），△PAB的高为|y|，AB＝4，由S△PAB＝10列出方程即可求出y的值，从而可求出P的坐标．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0）和B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c
∴
解得：
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3
∴顶点坐标为：（1，4）
（2）由于抛物线的对称轴为：x＝1，
∴0＜x＜3时，
∴0＜y≤4
（3）设P（x，y）
∴△PAB的高为|y|，
∵A（﹣1，0）、B（3，0）
∴AB＝4
∵S△PAB＝10，
∴×4×|y|＝10
∴y＝±5，
当y＝5时，
∴5＝﹣x2+2x+3
此时方程无解，
当y＝﹣5时，
∴﹣5＝﹣x2+2x+3，
解得：x＝4或x＝﹣2，
∴P（4，﹣5）或（﹣2，﹣5）
【点评】本题考查二次函数的综合问题，涉及待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，解方程等知识，属于中等题型．
25．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝10cm，点P从点A开始沿AB边向点B移动，速度为1cm/s；点Q从点B开始沿BC边向点C移动，速度为2cm/s，点P、Q分别从点A、B同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．
（1）几秒时，PQ的长度为3cm？
（2）几秒时，△PBQ的面积为8cm2？
（3）当t（0＜t＜5）为何值时，四边形APQC的面积最小？并求这个最小值．

【分析】（1）设运动时间为t秒，分别用t的代数式表示出线段PB，BQ的长度，利用勾股定理列出方程即可求解；
（2）利用（1）中的方法，利用三角形的面积公式列出方程即可求解；
（3）利用（1）中的方法求得四边形APQC的面积，利用二次函数的性质即可求解．
【解答】解：设运动时间为t秒时，PQ的长度为3cm，
依题意得：AP＝tcm，BQ＝2tcm，
∴PB＝（6﹣t）cm．
∴∠B＝90°，
∴PB2+BQ2＝PQ2，
∴，
解得：t＝3或﹣（负数不合题意，舍去）．
∴t＝3．
∴3秒时，PQ的长度为3cm；
（2）设运动时间为t秒时，△PBQ的面积为8cm2，
依题意得：AP＝tcm，BQ＝2tcm，0≤t≤5，
∴PB＝（6﹣t）cm．
∵△PBQ的面积为8cm2，
∴×（6﹣t）×2t＝8．
解得：t＝2或4．
∴2或4秒时，△PBQ的面积为8cm2．
（3）四边形APQC的面积
＝S△ABC﹣S△PBQ
＝×AB•BC﹣×BQ•PB
＝×6×10﹣×（6﹣t）×2t
＝t2﹣6t+30
＝（t﹣3）2+21，
∴当t＝3时，四边形APQC的面积最小，最小值为21．
【点评】本题主要考查了勾股定理，二次函数的极值，一元二次方程分应用，本题是动点问题，利用t代数式表示出相应线段的长度是解题的关键．
26．（16分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已知A（﹣1，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点M，使得MA+MC的值最小，求此点M的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在P点，使△PCD是等腰三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．

【分析】（1）将A（﹣1，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，求出b、c的值即可；
（2）由对称可知，直线BC与对称轴的交点就是点M，求出直线BC的关系式，进而求出其与对称轴的交点；
（3）设P（1，t），则PC2＝12+（t﹣3）2，CD2＝32+12＝10，PD2＝t2，根据△PCD为等腰三角形，分三种情况讨论：①当PC＝CD时，②当CD＝PD时，③当PC＝PD时，分别建立方程求解即可得出答案．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）由对称性可知，直线BC与抛物线对称轴的交点就是点M，
抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴是直线x＝﹣＝1，由于点A（﹣1，0），则点B（3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+d，
则，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，
∴点M（1，2）；
（3）设P（1，t），则PC2＝12+（t﹣3）2，CD2＝32+12＝10，PD2＝t2，
根据△PCD为等腰三角形，分三种情况讨论：
①当PC＝CD时，
则12+（t﹣3）2＝10，
解得：t＝6或t＝0（此时点P与D重合，舍去），
∴P（1，6）；
②当CD＝PD时，
则10＝t2，
解得：t＝±，
∴P1（1，），P2（1，﹣）；
③当PC＝PD时，
则12+（t﹣3）2＝t2，
解得：t＝，
P（1，）；
综上所述，点P的坐标为（1，6）或（1，）或（1，﹣）或（1，）．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、二次函数的图象和性质以及对称最短距离，等腰三角形性质，第（2）问运用轴对称距离最短是解题关键，第（3）问在考虑构建等腰三角形时，运用分类讨论的思想解决问题是解题关键．
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