吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年高三数学上学期第一次摸底试题（Word版附解析）

2023-2024学年上学期

东北师大附中（数学）科试卷

高三年级第一次摸底考试

注意事项：

1．答题前，考生须将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．

3．回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效．

4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用集合的运算，分析运算即可得解.

【详解】解：由题意，，

∴.

故选：B.

2. 已知条件，条件，则是的（    ）

A. 充要条件 B. 充分不必要条件

C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】解不等式，解集分别为A，B，根据集合的包含关系即可求解.

【详解】由或，不妨设，

或，不妨设，

因为B真包含于A，所以推不出，能推出，

所以是的必要不充分条件.

故选：C

3. 方程的根所在区间是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】将问题转化为零点所在区间的求解问题，利用零点存在定理求解即可.

【详解】设，则方程根所在区间即为零点所在区间，

与在上均为增函数，在上单调递增；

对于A，，当时，，A错误；

对于B，，，即，

，使得，B正确；

对于CD，当时，，在区间和上无零点，C错误，D错误.

故选：B.

4. 函数在点处的切线斜率是（    ）

A.  B. 2 C.  D. 1

【答案】A

【解析】

【分析】对函数求导，利用导数的几何意义求，即可得答案.

【详解】由，则，

所以在点处的切线斜率为，

故选：A.

5. 若，，，且，则下列不等式一定成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用特殊情形可判断ABC，根据不等式性质判断D.

【详解】对A，当时，不成立，故A错误；

对B，当时，不成立，故B错误；

对C，当时，不成立，故C错误；

对D，由，又，所以，故D正确.

故选：D

6. 8月29日，华为在官方网站发布了Mate60手机，其中大部分件已实现国产化，5G技术更是遥遥领先，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，位道内信号的平均功率以及信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至5000，则大约增加了（    ）（参考数值：）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】把两个信噪比代入，然后作商运算即可.

【详解】由题意，，

大约增加了，

故选：C

7. 下列函数中，即是奇函数又是增函数的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】分别判断各函数的单调性和奇偶性即可.

【详解】A选项，在R上单调递减，不合题意；

B选项，，，当时，，单调递减，不合题意；

C选项，，定义域为R，，函数为奇函数，

由函数和都是R上的增函数，所以为R上的增函数，C选项正确；

D选项，，

当时，结合二次函数性质可知，函数单调递减，则单调递减，不合题意.

故选：C.

8. 定义域为的函数的导函数记作，满足，，则不等式的解集为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据条件构造函数，利用导数判断单调性，由单调性求解不等式即可.

【详解】令，

则，

所以函数在上单调递增，

又，

由可得，即，

所以.

故选：A

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 设，为正实数，则下列不等式正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】利用基本不等式以及其变形以及不等式性质一一判断各选项，即可得答案.

【详解】对于A，，为正实数，则，故，

即，故，A错误；

对于B，由于，当且仅当即时取等号，

，当且仅当即时取等号，

故，B正确；

对于C，因为，为正实数，，故，

故，即，C正确；

对于D，因为，为正实数，则，

当且仅当时，等号成立，

故，即，D错误，

故选：BC

10. 已知，下列说法正确的是（    ）

A. 时，

B. 若方程有两个根，则

C. 若直线与有两个交点，则或

D. 函数有3个零点

【答案】ABD

【解析】

【分析】对A：分类讨论求解即可；对B：方程有两个根可以看作的图象与直线有两个不同交点，由图得的取值范围；对C：直线是以为斜率且恒过的直线，结合的图象得到直线与有两个交点时斜率的范围；对D：分求解.

【详解】对A：当时，，得满足题意；

当时，，得不满足题意，故A正确.

对B：作出的图象，方程有两个根可以看作的图象与直线有两个不同交点，由图知，故B正确.

对C：直线可化为，故直线是以为斜率且恒过的直线，

如图，为过与两点的直线，其斜率为，

当位于时，直线与有两个交点，

为过且与平行的直线， 其斜率为，

当位于时，直线与只有一个交点，

为过的水平直线，其斜率为，

当位于时，直线与只有一个交点，

为过的竖直直线，其斜率不存在，

当位于时，直线与只有一个交点，

由图可知，要使直线与有两个交点，

则位于之间或位于之间，故，所以，故C错误.

对D：，即，所以或

由得，

由得进而得或，

所以函数有3个零点，故D正确.

故选：ABD

11. 已知，则下列不等关系正确是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】将看作的图象与直线交点的横坐标，数形结合可判断A，B；结合题意可推出，利用不等式性质可判断C；根据已知不等式的结构特征，构造函数，利用其单调性可判断D.

【详解】由可知，若，则，则不成立，

又时，，故，

又，则可看作的图象与直线交点的横坐标，

作出与的图象如图，

结合图象可知，故A错误，B正确；

由，，得，

故，C正确；

令，则，

当时，，在上单调递增，

当时，，在上单调递减，

由于，故，即，

故，D正确，

故选：BCD

12. 已知函数的定义域为，并且对，都有，则下列说法正确的是（    ）

A. 的图象关于对称

B. 函数为偶函数

C.

D. 若时，，则时，

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据所给性质，利用函数对称性判断AB，根据性质求出周期判断C，根据图象的对称性求解析式判断D.

【详解】由可知函数关于直线轴对称，故A正确；

由可得，又，

所以，故函数为奇函数，故B错误；

因为，所以，故为函数周期，

又，

所以，故C正确；

由知函数关于成中心对称，

当时，设为函数图象上任意一点，

则在函数图象上，且，

所以，即，故D正确.

故选：ACD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 函数在处的切线的方程为______.

【答案】

【解析】

【分析】首先求出导函数，从而可求，再求出切点，利用点斜式即可求解.

【详解】由，所以，所以，

当时，则，

所以在处的切线的方程为：，即.

故答案为：

【点睛】本题主要了导数的几何意义、基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则，属于基础题.

14. 若在内存在极值，则实数的取值范围是__________．

【答案】

【解析】

【分析】求出函数的导数，问题转化为在内有变号零点，利用二次函数的性质求出a的取值范围．

【详解】在内存在极值，则在内有变号零点，

，，与同号，

则有，解得，即实数的取值范围是.

故答案：

15. 已知，，，则的最小值为__________．

【答案】##4.5

【解析】

【分析】根据条件消去，再利用“1”的变形技巧，结合均值不等式求解即可.

【详解】由可得，解得，

又，所以，

则

，

当且仅当，即时等号成立.
故答案为：

16. 不等式对都成立，则实数的取值范围是__________．

【答案】

【解析】

【分析】将不等式等价变形为，构造函数，进而问题转化成，构造，利用导数求解单调性进而得最值.

【详解】由可得，

令，则，

故在上单调递增，

因为，，则，

则，可得，

即对恒成立，

令，则，

由可得，故当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增,

所以，得.

故答案为：.

【点睛】关键点睛：本题将不等式变形为是解题的关键，这样就可以构造函数利用单调性求解.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 函数的定义域为，对于，，，且当时，．

（1）证明：为减函数；

（2）若，求不等式的解集．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据函数单调性的定义及当函数中时，的性质即可证明；

（2）由抽象函数的性质化简，结合函数单调性及定义域列出不等式组可得解.

【小问1详解】

设，且，

则，，

因为，

所以，

即为减函数.

【小问2详解】

因为，

所以，

令，则，即，

所以，

又因为在上单调递减，

所以，解得，

所以不等式的解集为.

18. 已知各项均为正数的数列满足：，．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，记数列的前项和为，求．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据，两边同除从而得到，则得到其通项；

（2）根据正弦型函数的周期性，再进行分组求和，最后利用等比数列前项和公式即可.

【小问1详解】

因为各项为正数，，

所以上式两边同时除以，得，

令，则，即，解得（负值舍去），

所以，又，

所以是以，的等比数列，

故.

【小问2详解】

，

当时，，当时，，当时，，

当时，，根据三角函数周期性知的周期为4，

则

19. 吉林省从2021年开始，高考取消文理分科，实行“”的模式，其中的“1”表示每位学生必须从物理、历史中选择且只能选择一个科目．某校高一年级有2000名学生（其中女生900人），该校为了解高一年级学生对物理、历史的选科情况，采用比例分配的分层抽样的方法抽取了200名学生进行问卷调查，其中选择历史的男生有40人，选择物理的女生有30人．

（1）利用以上信息完成下面的列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为学生性别与选择科目有关？

（2）某个外语学习小组共有7人，其中有3人选择了历史，4人选择了物理，随机抽取4人进行对话练习，用表示抽中的4人中，选择历史的同学人数，求的分布列及期望．

附：，其中

【答案】（1）列联表见解析；能认为学生性别与选择科目有关   

（2）分布列见解析；

【解析】

【分析】（1）根据分层抽样得到抽取男生和女生的人数，进而得到列联表，求出的值比较即可；

（2）根据排列组合的知识求出各值时的概率即可，写出分布列，求出期望即可.

【小问1详解】

根据采用比例分配的分层抽样得其中抽取男生的人数为人，则抽取女生人数为人，

则列联表如下：

则，

能认为学生性别与选择科目有关；

【小问2详解】

可能取值为，，，，

，

，

则的分布列如：

.

20. 长方形中，，点为中点（如图1），将点绕旋转至点处，使平面平面（如图2）．

（1）求证：；

（2）点在线段上，当二面角大小为时，求四棱锥的体积．

【答案】（1）证明见详解   

（2）
 

【解析】

【分析】（1）由已知条件，先证明，再利用平面平面，可证平面，得到，又，可得平面，从而可证；

（2）由题意，建立空间直角坐标系，由向量法求出平面和平面的法向量，进而求出点坐标，确定点位置，求出四棱锥的体积.

【小问1详解】

证明：在长方形中，，为中点，

，

，

平面平面，平面平面，

平面，

平面，平面，

，又，平面，平面，

，

平面，平面，

.

小问2详解】

如图，取的中点，的中点，连接，

由题意可得两两互相垂直，

以为坐标原点，以，， 分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，

设，则，

设平面的一个法向量为，

则，，

令，得，

，

又平面，是平面的一个法向量，，

令，解得或（舍）.

即为的靠近的三等分点时，二面角的平面角为，

平面，且，

到平面的距离为，又四边形的面积为3，

四棱锥的体积

21. 椭圆的离心率为，过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线与椭圆相交于，两点，与轴相交于点，若存在实数，使得，求的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据椭圆离心率公式，结合椭圆垂直于长轴的弦长公式进行求解即可；

（2）根据直线是否存在斜率，结合平面向量的坐标运算公式、一元二次方程根与系数关系分类讨论进行求解即可.

【小问1详解】

因为该椭圆的离心率为，所以有，

在方程中，令，解得，

因为过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1，

所以有，由可得：，

所以椭圆的方程为；

【小问2详解】

当直线不存在斜率时，由题意可知直线与椭圆有两个交点，与纵轴也有两个交点不符合题意；

当直线存在斜率时，设为，所以直线的方程设为，

于是有，

因为该直线与椭圆有两个交点，所以一定有，

化简，得，

设，于是有，

因为，

所以，

代入中，得，

于是有，

化简，得，代入中，得.

【点睛】关键点睛：本题的关键是由向量等式得到.

22. 已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数，求证：当时，．

【答案】（1）答案见解析   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）求导后，分别在和的情况下，由正负确定单调性；

（2）通过分析法将所证不等式转化为；当，由可知不等式成立；当时，采用放缩法将所证不等式转化为，构造函数，利用导数，结合零点存在定理的知识，可求得单调性和最小值，由此可得结论.

【小问1详解】

由题意知：的定义域为，；

①当时，在上恒成立，

在上单调递增；

②当时，令，解得：，

当时，；当时，；

在上单调递增；在上单调递减；

综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增；在上单调递减.

【小问2详解】

要证，只需证，

又，，则只需证；

①当时，，，恒成立；

②当时，，，，

则只需证，即证，

令，则，

令，则，

令，则，

在上单调递增，即在上单调递增，

，，

，使得，且当时，；当时，；

在上单调递减，在上单调递增，

又，，又，

当时，，即；当时，，即；

在上单调递减，在上单调递增，

，即；

综上所述：当时，恒成立，即.

【点睛】关键点点睛：本题考查讨论含参数函数的单调性、利用导数证明不等式的问题；本题证明不等式的关键是能够通过分析法将所证不等式进行转化，再利用放缩法去除变量，将问题进一步转化为函数最值的求解问题.