奥数五年级下册秋季课程 第10讲《等差数列》教案

这是一份奥数五年级下册秋季课程 第10讲《等差数列》教案，共12页。教案主要包含了教学目标，教学重点，教学难点，教学准备，教学过程等内容，欢迎下载使用。
（ 五年级 ）                                      备课教员：×××  第十讲    等差数列一、教学目标：1. 了解等差数列，以及公差和通项公式的概念；能够利用通   项公式求等差数列的首项、公差、项数和指定的项。 能判断一个数列是否等差数列，并能利用等差数列的基本   知识来解决生活实际问题。3. 通过等差数列的学习，培养学生观察和归纳总结的能力。 二、教学重点：1. 了解等差数列的概念。2. 利用等差数列的知识解决生活实际问题三、教学难点：1. 能够通过给出等差数列的几个数求通项公式。2. 灵活利用通项公式求等差数列的首项、公差、项数和指定   的项。四、教学准备：PPT五、教学过程：第一课时（50分钟）一、导入（3分钟)师：在一次体育课上，体育老师让卡尔算出上体育课的同学有多少个？卡尔没有挨个去数，而是让大家站成了三排。第二排比第一排多2人，第三排比第二排多2人。【课件演示体育课的同学第一排有8个人，第二排有10个人，第三排有12个人】师：然后卡尔数了第二排的人数，很快就算出了总人数。体育老师看到卡尔在这么短的时间就算出了人数，特意表扬了卡尔。小朋友们，你们知道卡尔是怎么做到的吗？生：不知道。师：那你们想掌握这个方法吗？生：想。师：那好，今天我们就来学一学“等差数列”这一课，让我们也变得跟卡尔一    样拥有智慧的大脑吧！【课件演示课题：等差数列】二、探索发现授课（40分钟）（一）知识导航（5分钟）【课件展示两个等差数列：（1）1，2，3，4，5，…（2）10，20，30，40，50，…】师：同学们，我们来找找看，这两组数有什么特点？生1：都是逐渐变大的数。师：嗯，不错，还有吗？生2：相邻两个数的差相等。师：对了，这是最重要的，这个同学眼睛很亮。我们把这样有序的一组数叫做数列。可以看到这两组数的每一项都比前面一项多一个常数，也就是说每相邻两项的差值是相等的，我们把这样的数列叫做等差数列。这个常数叫作等差数列的公差，通常用字母表示。在等差数列，，，…，中它们的公差是，那么，，，…由此可见，等差数列从第2项起，每一项都等于第一项加上公差的若干倍，这个倍数等于这项的项数减1的差，所以：。这个公式我们称它为等差数列的通项公式，利用它可以求出数列中的任何一项。【板书写出过程】师：其中我们把等差数列的第一项叫做首项，也就是。（二）例题一：（13分钟）   求等差数列3，8，13，18，…的第38项和第69项。师：有哪位同学帮老师找一下，这四个数字有什么特点？生：不断变大，后面的数字都比前面的数字大5。师：嗯，真棒。题目已经写了，我们知道了这是一个等差数列，同学们知道等    差数列有哪些特征吗？生1：等差数列每一项都比前面一项大一个常数。师：同意他的说法吗？生2：等差数列每相邻两项的差值相等，不一定要后面的比前面大。师：对了，等差数列，顾名思义就是等差的意思。在生活中我们经常看到一些    不断增大的例子，但是呢，不断减小的也可以叫做等差数列。师：那么大家还知道等差数列的有关知识吗？生：每个等差数列都有通项公式。师：对了，每个等差数列都有通项公式。如果我们能够知道这个等差数列的通    项公式，我们就可以求出这个数列的任何一项。【板书计算过程】师：等差数列的通项公式是。哪位同学可以帮助我们来复习一    下这几个字母分别代表什么意思吗？生：是数列第n项；是第1项，也就是首项；是第几项的意思；d是公差。师：哇，这位同学的学习能力很强，他已经能知道等差数列的通项公式了。那    么我们知道了通项公式，我们能不能把数字都放进去呢？生：是3，d是5。师：嗯，不错。那么同学们知道了这个等差数列的通项公式：，    经过计算，可以写成：。怎么来求我们最后的问题呢？生：把数字代到里，就可以算了。师：就是这样。现在同学们一起来算一下最后答案是多少。生：第38项是188，第69项是343。师：最后我们可以写成，。同学们都很棒，已经会利用等差数列了。经过第一题的学习，同学们可以帮老师归纳一下，等差数列的问题应该怎么做了吗？同学们先讨论，然后告诉老师。【给学生分组讨论，老师可走动询问各组的讨论结果】师：好了，老师刚刚问了几个同学，都很不错。接下来呢，我们请一位同学来    帮我们归纳一下，哪位同学自告奋勇。生：我们可以先找到题目中给出的信息有哪些，比如这道题给出了首项、公差，    所以我们可以求出它的通项公式，然后再把数字代进去，就可以了。师：大家掌声鼓励一下。这位同学不仅学会了等差数列的基本知识，还能自己归纳方法了。我们平时做题的时候也要这样，不断归纳，我们做题就能越来越快，越来越轻松。我相信聪明的同学们应该都学会了，还有疑问的同学可以举手或者下课后问老师和同学，一定要把疑问解决。【课件再次展示计算过程，老师可以把同学的归纳再整理一下】板书：    =3，=8-3=5，    =+（n-1）d=3+（n-1）×5=5n-2，    =5×38-2=188，=5×69-2=343答：第38项是188，第69项是343。练习一：（6分钟）等差数列1，4，7，10，13，…的第20项和第89项。分析：    这个题目的题型和难度与例题相同，解题方法和上题也相同。学生在听懂例题后再来做这道题，难度较小。【课件出示练习题，挑选两位同学上台板演，教师走动指导。然后讲解计算过程，重点指导一些不懂的学生】板书：    =1，d=4-1=3，    =+（n-1）d=1+（n-1）×3=3n-2，    =3×20-2=58，=3×89-2=265答：第20项是58，第89项是265。（三）例题二：（13分钟）    等差数列4，12，20，…中，580是第几项？师：既然大家已经了解等差数列的问题要用通项公式来做，老师想要考考大家，    这道题应该怎么做？【课件出示例题二】师：同学们，你们能告诉我这道题和前面做的两道题目有什么异同点吗？生：都是等差数列。师：是的，那还有别的不同吗？生：要求的东西不一样。师：哪里不一样？生：前面问我们第几项是多少，这道题问我们的是580是第几项。师：很好，那么我们应该怎么来做呢？同学们四人小组讨论一下，2分钟后，我    们派一个代表来告诉我这道题怎么做。【学生四人小组讨论】师：时间到，同学们知道怎么做了吗？谁先来？生1：首先我们要把通项公式改一下。师：嗯，怎么改呢？生1：把通项公式改成n在左边，其他在右边的等式。师：嗯，对，然后呢？生1：然后把首项和公差代进去。师：代进去以后呢？生1：把580代进去，然后把n算出来。师：这个小组的同学很棒，大家掌声鼓励一下。你们算出来的答案是多少吗？生1：73。师：其他同学有不同答案吗？或者有不同做法吗？生2：我们小组是按照第一题的做法做的，最后才把580代进去，然后解方程。师：这个小组也很不错，他们用另一种方法也能算出来，还运用了我们刚学过    的方程的知识，大家给予掌声。那你们小组算出来是多少？生2：也是73。师：很好，两组的答案一样，那他们是不是就是正确答案了呢？老师来给大家    做一遍，不懂的同学可以再学一遍。板书：    =4，d=12-4=8，    =+（n-1）d=4+（n-1）×8=8n-4，    我们把580代入，    580=8n-4，n=（580+4）÷8=73答：580是第73项。师：所以刚才的两位同学计算都是正确的。接下来我们自己趁热打铁，自己做    一下下一道练习题，然后请两位同学上来板演一下。【课件展示题目】练习二：（6分钟）    等差数列3，9，15，21，…中，381是第几项？分析：    练习二和例题二的难度相当，同学们在掌握第一题的解题方法后，也可以较轻易地做出这道题。同学们只要仔细计算，不太容易出差错。板书：    =3，d=9-3=6，    =+（n-1）d=3+（n-1）×6=6n-3，    我们把381代入，    381=6n-3，n=（381+3）÷6=64。答：381是第64项。三、小结：（4分钟）师：这节课，我们学到了等差数列的知识，有哪位同学可以帮助我们归纳一下    今天学到的知识吗？生：等差数列是一组相邻项的差值是常数的一组数。师：嗯，很好，我们今天学的是等差数列。那有哪位同学可以告诉大家我们在    做题的时候有什么方法吗？生：可以先把等差数列的通项公式求出来，然后再计算。师：这位同学归纳的很好。看来同学们都已经掌握了等差数列的计算了，我们先休息一下，下节课我们继续来学习等差数列，经过两节课我们就可以和卡尔一较高下了，好不好？生：好！等差数列通项公式：。第二课时（50分钟）一、复习导入（3分钟）师：同学们，回顾一下上节课我们学习了哪些知识？生：上节课我们学习了等差数列，等差数列主要由首项、公差组成。师：恩，同学们上节课都有好好听讲。上节课我们学习了等差数列，并且我们学会了两种方法来计算等差数列中的问题。这节课我们要来学习如何用等差数列来解决生活实际问题。请看PPT。二、探索发现授课（42分钟）（一）例题三：（13分钟）    一批货箱，上面的标号是按等差数列排列的，第一项是3.6，第五项是12，求它的第2项。 师：同学们，这道题告诉了我们第一项和第五项，并且知道它是等差数列，我    们应该如何来做这道题呢？生：可以先把它的通项公式求出来。师：这位同学很棒，通过上节课的学习，他发现只要是等差数列的题目，我们都可以用先求通项公式的方法来解题，通过通项公式，我们就可以知道这个等差数列的任何一项。很好，其他同学有不同看法吗？生：知道第一项和第五项，因为是等差数列，所以第三项是第一项和第五项的平均值，可以把第三项算出来，然后再通过算第一项和第三项的平均值把第二项算出来。师：同学们听懂了吗？我们可以换一个简单点的数，假如有五个递增的数：1，2，3，4，5。相邻项的差值是常数，3是1和5的平均数，2是1和3的平均数。这样比第一位同学是不是会快很多呢？同学们还有别的方法吗？师：我们知道了第一项，如果我们知道什么，就可以直接算出第二项？生：公差。师：对，所以我们只需要知道算出公差就行了，知道第五项和第一项，那我们    怎么算公差呢？生：把第一项和第五项代入通项公式里就可以了。师：怎么代呢？生：可以直接代到里去，然后算出公差d。师：老师惊呆了，原来同学们已经这么厉害了，可以用这么多办法来解决问题。    这位同学和老师的办法一样。【老师用同学们的不同方法板书尝试解题，并分析优缺点】师：同学们觉得哪种方法最好呢？生：第三种。师：所以我们在遇到等差数列的问题的时候，要多运用等差数列的特点，这样    可以更快地帮助我们解题。板书：    =+d=+4d，    =12，=3.6，代入上式，    12=3.6+4d，d=2.1，    =+d=3.6+2.1=5.7答：第二项是5.7。练习三：（7分钟）    有一个等差数列的第1项是2.4，第7项是26.4，求它的第5项。分析：    灵活利用等差数列的通项公式，求出公差，继而便可求出第5项。板书：    =+d=+6d，    =2.4，=26.4，代入上式，    26.4=2.4+6×d，d=4，    =+4d=2.4+4×4=18.4答：第五项是18.4。（二）例题四：（13分钟）    游乐园的智慧梯最高一级宽60厘米，最低一级宽150厘米，中间还有9级，各级的宽度成等差数列，求正中间一级的宽。师：同学们如果觉得刚才的练习和例题都没有挑战的话，老师打算这次一定要    难倒你们。请看PPT。【课件出示题目】师：同学们首先分组讨论一下，然后老师要比一比哪个组的同学能又快又准确   的做出来。【四人小组分组讨论，老师可以走动，并询问各小组的讨论进度】师：时间到，刚才老师询问了各个小组的讨论情况，已经有不少小组已经有答    案了。现在哪个小组先来。师：可能大家能算出来，但是思路还是不是很清楚，所以都没有自告奋勇的。那好，大家跟着老师的思路来吧。首先，这还是一道等差数列的问题，这一题比上一个例题需要多转两个弯。首先同学们能告诉我这个智慧梯有几级吗？生：11级，中间9级，两边各一级。师：嗯，很棒。那正中间一级是第几级呢？生：第6级。师：嗯，正确。接下来我们要知道这个等差数列的第一项是从哪里开始呢？生：最高一级。师：没错，还有别的答案吗？生：最低一级也可以。师：这位同学很有想法。等差数列既可以是不断变大，也可以是不断变小。所以从高到低，或者从低到高都可以。但是呢，我们平时习惯把数字小的放在前面，也方便那我们解题。到现在为止，我们已经有了很多量了，接下来我们要做呢？生：算通项公式。师：对了，算通项公式。有了通项公式，走遍天下都不怕，我们就可以求出任意一个阶梯的宽度了。但是老师呢，刚才发现有的同学用了很简单的方法就把答案算出来了，你们想知道他们小组是怎么做的吗？生：想。师：我们请这个小组的同学代表来说一下，大家鼓掌一下。生：根据等差数列的特性，最中间的一项是首尾两项的平均值，所以加一下除    以2就可以了。师：同学们听懂了吗？是不是很快？其实这个类型的题目我们在前面已经遇到    过了。【配合课件演示，老师把两种办法都做一遍，并比较两种方法，培养学生分析问题的能力】板书：    把最高一级作为第1项，＝60，    最低一级作为第11项，＝150，    正中间一级是第6项，＝（+）÷2                          ＝（150+60）÷2                          ＝105答：正中间一级的宽是105厘米。练习四：（7分钟）    梯子的最高一级宽30厘米，最低一级宽100厘米，中间还有13级，各级的宽度成等差数列，求正中间一级宽是多少？分析：    这两道题的难度都差不多，主要是锻炼学生用最简便的方法解题。可以帮助学生了解等差数列的特征，并利用特征更快地解题。要求能既快又准确地解题。【练习四同样需要学生先解答在课堂练习本上，然后请学生上台板演过程，重点在于需要学生不能把思维局限在通项公式上，加深全班同学印象】板书：    把最高一级作为第1项，=30，    最低一级作为第15项，=100，    正中间一级是第8项，=（+）÷2                          =（100+30）÷2                          =65答：正中间一级的宽是65厘米。（三）例题五（选讲）：有一列数，0、1、2、3、4、……，粗心的阿派在计算这列数的和时漏算了一个数，得出剩下的数的和为199。你知道漏算的是哪个数吗？师：如果说之前的题目同学们都觉得简单的话，那么，接下来这题，老师想要    难倒同学们。你们觉得老师能吗？生：不能。师：看来同学们很有信心击败老师。这道题呢，老师不给提醒，让同学们自己    来做。老师想看看同学们是否真的具备实力击败老师。好了，那么请看题。【课件展示】师：时间到，哪位同学来举胜利的旗子。生：这是一个等差数列，它的首项是0，公差是1。师：非常好。粗心的阿派在计算的时候漏算了一个数，得出的和是199。那么同学们知道，如果阿派没有漏算一个数，这列数的最后一项是n，这列数该怎么求和呢？生：（0+n-1）×n÷2=n（n-1）÷2师：嗯。现在我们来看看当n等于多少的时候，能符合题目要求呢？生：n=21的时候，21×20÷2-199=11师：是的，那么还有其它不同的答案吗？为什么n=20或22的时候不行呢？生：当n=20的时候，和小于199，当n=22时，22×（22-1）÷2-199=32，不符    合条件。【课件展示计算过程，有学生来讲解，同时教师加以引导】板书：这是一列公差为1的等差数列，那么这列数的和为（0+n-1）×n÷2=n（n-1）÷2>199，当n=21时，21×20÷2-199=11。当n=20或22时不符合条件，因此漏算的这个数是11。师：同学们真聪明，这一题都没有难倒你们，相信接下来的练习同学们也能独    立完成。【课件出示练习五，教师请两位中上的学生上台板演，教师下台巡视观察学生的解题情况。】练习五：    有一列数，0、2、4、6、8、……，擦掉其中的一个数后，剩下的数的和为224。你能找出擦掉的这个数是多少吗？分析：    熟练运用等差数列求和公式，找出符合条件的答案。由题中可知这是一列公差为2的等差数列，那么这列数的和为[0+2（n-1）]×n÷2=n（n-1）>224，当n=16时，15×16-224=16。当n=15或17时不符合条件，因此擦掉的这个数是16。三、总结：（5分钟）师：今天我们学习了新东西，是关于等差数列的。同学们在做了这么多题目之    后有什么收获吗？生：等差数列是一组有序、相邻两项差值相等的数。师：对，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差。生：等差数列前后两项的平均值等于正中间项。师：真棒，但是前提是这列数的数的个数是奇数个。生：我们做题的时候可以先把通项公式求出来。师：不错，通常情况下，我们都可以通过求通项公式来求解。但有时候我们也要利用等差数列的特性来解题，会快很多。看来大家学习能力都很强，但卡尔能够熟练的运用数列的方法来解决生活中的问题，相信大家和卡尔还有一点点的差距。但如果同学们能够认真完成课后的作业，相信大家就能和卡尔一样了。大家说好不好？生：好。等差数列通项公式：；        求和公式：四、随堂练习1. 求等差数列4，9，14，19，……的第48项是多少？    已知等差数列，=4，d=-=9-4=5，=+（n-1）d，=4+47×5=239，答：第48项是239。 2. 求等差数列2，4，6，8，…中，100是第几项？    已知等差数列，=2，d=-=4-2=2，    =+（n-1）d=2+（n-1）×2=2n，    =2n=100，n=50答：100是第50项。  医院为病床编号，依次为8，14，20，26，…，问编号为284的病床是第几   张？    根据题目可以判断医院病床编号是等差数列，=8，d=-=14-8=6，=+（n-1）d=8+（n-1）×6=6n+2，=6n+2=284，n=47答：编号为284的病床是第47张。  甲、乙二人是朋友，他们都住在同一条胡同的同一侧，甲住11号，乙住189   号。甲、乙二人的住处相隔几个门?    根据题意，在同一侧，相邻两个门之间差两号，看作是等差数列，把甲的住址当作首项=11，乙作为n号=189，公差d=2，=+（n-1）d=11+（n-1）×2=2n+9，=2n+9=189，n=90，90-2=88（个）答：甲、乙两人的住处相隔88个门。  王老师在黑板上写有从1开始的若干个连续奇数1、3、5、7、9、11、13、   15、……，擦去其中一个奇数后剩下的所有奇数和为1998。那么擦去的奇数   是多少？    根据题意，我们可以把它看作等差数列，=1，d=2，=1+（n-1）d=1+（n-1）×2=2n-1，前n项和=（+）÷2×n=（1+2n-1）÷2×n=n×n,已知和为1998，所以n×n>1998，经过取数，发现当n=45，n×n=2025，是最小的比1998大的数，擦去的奇数=2025-1998=27答：擦去的奇数是27。家庭作业 主管评价   主管评分   课后反思（不少于60字）整体效果     设计不足之处     设计优秀之处