奥数六年级下册秋季课程 第4讲《等差数列》教案

这是一份奥数六年级下册秋季课程 第4讲《等差数列》教案，共10页。教案主要包含了教学目标，教学重点，教学难点，教学准备，教学过程等内容，欢迎下载使用。
 六年级                                      备课教员：×××  第4讲    等差数列一、教学目标：1. 理解分数等差数列的意义。2. 在原有基础上加深对于等差数列的认知。3. 能够熟练运用等差公式准确计算。二、教学重点：明白分数等差数列的意义并能够熟练运算。三、教学难点：对于等差数列各种变式求法及分数乘除法的熟练运算。四、教学准备：PPT五、教学过程：第一课时（50分钟）一、导入（5分钟)师：同学们，老师前两天看了一篇关于哈雷彗星的文章，你们猜猜这篇文章里    讲了什么内容？(PPT出示） 生：……师：好了，同学们就开始瞎猜了，老师给一个范围，与它每次出现的时间有关？生：……师：刚刚有一位同学说对了一半，这篇文章告诉了哈雷彗星下次出现的时间，    但为什么老师讲只说对了一半呢？看了下面这组数据你们就会明白了。     1682年     1758年     1834年     1910年     1986年    同学们，这是在过去三百多年里，人们看到哈雷彗星的时间；看了之后你能说出哈雷彗星下次出现的时间吗？生：……师：有同学知道吗？其实当你们用后面一个数减去前面一个数时就会发现：1758   －1682=76、1834－1758=76、1910－1834=76、1986－1910=76；哈雷彗星每   76年才出现一次，那么下一次出现的时间就应该是：1986＋76=2062年。师：像刚刚这种情况的数列我们叫做等差数列，相信大家都已经知道了，今天    我们就来学有关分数的等差数列。 板书：    等差数列（PPT出示)  二、探索发现授课（40分钟）（一）例题一：（10分钟）已知一组等差数列的第1项是，末项是，公差是。这组等差数列有多少项？（PPT出示)师：同学们，在题目中你得出了什么信息呢？生：……师：对的，题中首先告诉我们这是一组等差数列，而且还告诉了首项是，公差是，最后一项是；那告诉了这么多，要求的是什么呢？有哪位同学可以告诉老师？生：要求的是这组等差数列一共有多少项。师：是的，要求的是项数，那告诉这些条件对我们解题有什么帮助吗？想一想，    等差数列的特征是什么？生：……师：是的，两项之间始终相差同一个数也就是公差，所以说首项加上一定的公    差就会等于末项；你们知道怎么做了吗，有哪位同学可以说说你的想法？生：……师：对的，很棒，因为首项加上一定的公差就会等于末项也就说末项减去首项    再除以公差就会得到项数，但算出来的就是这个数列的所有项数吗？生：……师：是的，算出来的答案再加上1就是这个等差数列的项数。这就是这题的解    法，你们都学会了吗？生：……师：刚刚同学说了可以套公式，是的，之前我们已经学过，老师也教过你们公    式，公式是：（末项－首项）÷公差＋1=项数。下面一起去巩固巩固吧。板书： （－）÷＋1  =÷＋1  =7＋1  =8（项）答：这组等差数列一共有8项。（PPT出示)（教师配用PPT一步步讲解演示，引导学生整理思路，从而能自行解答题目） 练习一：（5分钟）在一个等差数列里第1项是，末项是，公差是，这个等差数列一共有多少项？（PPT出示)分析:本题与例题相似，都是要求项数；因为有对应公式，所以直接运用公式（末项－首项）÷公差＋1=项数就可以了。    （－）÷＋1 =37（项）答：一共有37项。（PPT出示)（先学生自行解答，老师巡视；后一起分析解答过程） 师：同学们，今天老师给你们带来了一个数学谜题，我们一起来猜猜看，第一    猜到的奖励2个大拇指哦。 老人拄拐杖（猜数学名词一） 垂直（PPT出示)（二）例题二：（10分钟）在一个等差数列中，第1项是，第3项是，共有21项，求这个等差数列各项和是多少？（PPT出示） 师：同学们，题中最后要求的是什么呢？生：……师：是的，要求的是所有项的数加起来的和，那有告诉每项的数是多少吗？生：……师：是的，没有告诉我们，但是可以通过第1项和第3项求出来，可是需要一    个个的算出来，有没有简便的方法呢？生：……师：是的，刚刚就有同学想到了，当首项加上末项乘以项数再除以2时就是各    项和；但同学们首项是知道，可末项呢？我们知道吗？生：……师：诶！对了，通过第3项－首项再除以(项数－1)也就是（－）÷(3－1）算出公差，然后乘以项数－1，加上首项，得出的就是末项。所以知道首项和末项后，项数和是不是出来了？生: ……师：不错，看来你们都学会了，那一起去练练手吧！板书：（－）÷(3－1）   ＋×（21－1）  （＋）×21÷2=÷2                 =＋              =×21÷2=                    =                  =190÷2                                              =95答：等差数列各项和是95。(PPT出示）（教师配用PPT一步步讲解演示，引导学生整理思路，从而能自行解答题目） 练习二：（5分钟）在一个等差数列里，第1项是，第9项是，共有10项。这个等差数列各项之和是多少？(PPT出示）分析：本题和例题类似，要求的也是各项之和，那么同样通过给出的条件算出公差，再由公差算出末项；最后利用公式（首相+末项）×项数÷2=各项之和。（－）÷（9－1）  ＋×（10－1）  （＋）×10÷2          =÷8                 =＋              =×10÷2=                   =                    =7.5答：这个等差数列各项之和是7.5。(PPT出示）（先学生自行解答，老师巡视；后一起分析解答） 三、小结：（5分钟）1. 分数等差数列和整数等差数列运算方法一样。2. 计算出来的答案要最简分数。3. 等差数列求项数的公式是：（末项－首项）÷公差＋1=项数         各项之和的公式是：（首相+末项）×项数÷2=各项之和第二课时（50分钟）一、导入（5分钟）师：同学们，上节课我们学会了求等差数列的项数与各项之和，你们都还记得    这两个公式吗？生：……师：是的，求项数的公式是（末项－首项）÷公差＋1=项数，求各项之和的公式是（首项+末项)×项数÷2；看来你们都已经牢牢把握这个运算公式。那如果现在变一下，要你求一个数在等差数列中是第几项时，又该怎么办呢？生：……师：看了我们班的同学都很不错哦，提前去预习，所以就能回答出老师的问题。    好，不管有没有预习都让我们带着一颗好学的心进入今天的课堂吧！生：……二、探索发现授课（40分钟）（一）例题三：（10分钟）在等差数列、、，…中，是第几项？师：这就是老师刚刚讲的题型，你们仔细观察一下，给出了哪些条件？生：……师：是的，题中给出了一组等差数列的前几项；要我们求的是是第几项，同学们，通过上一节课的学习，我们知道在等差数列中每一项都是首项＋公差×（项数－1），那有告诉公差是多少吗？生：……师：对的，是没有告诉，但可以通过前面几项的数可以算出来；那一起算算吧：    －=、－=。师：现在知道了公差，那你们知道怎么算是第几项了吗？生：……师：是的，就是用减去首项的差再除以公差就可以知道项数。咦？是    不是还忘了什么呀？生：项数忘了加1。师：哦，对的，项数忘了加1。其实老师是故意的，老师发现有几位同学在上一节课的作业里总是忘了加1，现在老师提出来了，希望下次不会能再有这种失误了！（根据班级实际情况选择）师：看来同学们都跃跃欲试了，那就进入下个环节吧：实战演练！生：……板书：     －=     －=       (－)÷＋1                                          =÷＋1                                       =9＋1                                       =10（项）答：是第10项。(PPT出示）（教师配用PPT一步步讲解演示，引导学生整理思路，从而能自行解答题目）练习三：（5分钟）在等差数列、、、…中，是第几项？分析：    本题与例题相似，也是给出前面几项，要求一个数是第几项；那么也是先通过前面几项算出公差，再用减去首项，用它们的差除以公差最后加上1就是项数。板书：    －=      －=     （－）÷＋1=20（项） 答：是第20项。(PPT出示）（先学生自行解答，老师巡视；后一起分析解答）师：同学们，你们喜不喜欢做24点游戏吧！今天我们来做个难点24点游戏，数字不能移动哦。    3   10   2   4（PPT出示)（二）例题四：（10分钟）    一组等差数列0、0.25、0.5、0.75、1……，欧拉直接用计算器相加，结果不小心漏加了一个数，求得的和是27，求漏加的数字是几？ 师：一起来看看这题，谁可以告诉老师，你从题中知道了哪些信息？生：……师：我们可以知道这等差数列的公差是0.25，那第n项是多少？生：0+0.25×（n-1）=0.25（n-1）师：看来同学都熟练地掌握了等差数列公式，那各项的和是多少？我们一起来    重复一下公式。前项+末项……生：……师：那它肯定比哪个数大？生：27。师：我们来凑下n等于多少比较接近27？生：n=16。师：那现在我们可以知道漏加的数字是几了吗？只要用各项和减……生：……师：那它是第几项，请一位同学来算下。生：……师：如果n=17，也符合题意吗，同学们自己算下，告诉老师结果。生：……板书：     an=0+0.25×（n-1）=0.25×（n-1）Sn=[0+0.25×（n-1）]×n÷2  =×（n-1）×n＞27n=16，这个数是×（16-1）×16-27=33÷0.25+1=13（项），符合题意n=17，不符合题意。答：漏加的数是3。(PPT出示）（教师配用PPT一步步讲解演示，引导学生整理思路，从而能自行解答题目）练习四：（5分钟）一组等差数列0、1、2、3、4、5……，擦掉一个数字后，求得的平均数是10.4，求擦掉的数是第几项？ 分析：掌握平均数的概念，理解平均数与总数的关系，运用求和公式进行分析排除，选出最佳答案。an= 0+1×（n-1）= n-1Sn=（0+n-1）×n÷2 =（n-1）×n÷2＞10.4（n-1）n=21，擦掉的数是20×21÷2-10.4×20=2 2÷1+1=3（项），擦掉的数是第3项。答：擦掉的数是第3项。(PPT出示）（先学生自行解答，老师巡视；后一起分析解答）（二）例题五：（选讲）有、这么两个数，在这两个数之间插入4个数后，就变成了等差数列，求这个等差数列的第5项。师：同学们，在、这两个数中间插入4个数后就成了等差数列，这说明了    什么呢？生：……师：是的，这说明是这个等差数列的首项，是这个等差数列的末项，那要    求第5项是多少，是不是要先知道公差？题目中有告诉公差是几吗？生：……师：是的，题中没有直接告诉公差，但通过末项－首项再除以(项数－1)就可以    算出公差是多少，可是项数是几项啊？生：……师：嗯，一下就被你们发现了，因为在两个数中插入4个数成等差数列所以一    共是6项，这时就可以算出公差是：（－）÷（6－1）=师:现在已经知道了公差，那第5项就应该是……（大家一起说说）。师：你们都学会了吗？生：……板书：（－）÷（6－1）      ＋（5－1）×=4÷5                     =＋4×=                       =＋                          =答：第5项是。(PPT出示）（教师配用PPT一步步讲解演示，引导学生整理思路，从而能自行解答题目）练习五：（选做）有、这么两个数，在这两个数之间插入5个数后，就变成了等差数列，求第3项是多少？分析：本题和例题有点相似，也是在两个数中插入几个数成等差数列；那么也是要先算出公差，算出公差后再套入公式算出第三项是多少。板书： （－）÷（7－1）=2  ＋（3－1）×2=    答：第3项是。(PPT出示）（先学生自行解答，老师巡视；后一起分析解答）三、总结：（5分钟）1. 求项数的公式是：（末项－首项）÷公差＋1=项数2. 求第几项的公式是：首项＋公差×（项数－1）。四、随堂练习：1. 在等差数列、、、…中，一共有8项，末项是多少？    －=    －=    ＋×（8－1）=                                                    答：末项是。2. 一个等差数列各项和是，其中末项第九项是，首项是多少？    ×2÷9=         －=答：首项是。3. 在等差数列、、、…中，第8项是多少？    －=     －=   ＋×（8－1）=答：第8项是。 一组等差数列2、4、6、8、10……，欧拉直接用计算器相加，结果不小心   漏加了一个数，求得的和是400，求漏加的数字是几？    a1=2   an=2n    Sn=(2+2n)×n÷2      =n×（n+1）＞400     n=20，20×21-400=20     n=21，21×22-400=62，62是第31项，不符合题意。答：漏加的数字是20。 有这么两个数，在它们之间插入、、三个数后，就变成了等差数列，   求这两个数分别是多少？    -=，-=公差是，a1=-=，a5=+=答：这两个数分别是，。家庭作业线上作业：第4讲主管评价   主管评分   课后反思（不少于60字）整体效果     设计不足之处     设计优秀之处