数学九年级上册24.4 解直角三角形精练

第24章  解直角三角形检测题

（本检测题满分:120分，时间：120分钟）

一、选择题（每小题2分，共24分）

1.计算：

A.            B.            C.             D.

2.在直角三角形中，已知，，，则=(   )

A.       B.        C.        D.

3.（2013·浙江温州中考）如图，在中，则的值是（   ）

A.             B.           C.             D.

4.如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，CA是∠BCD的平分线，且AB⊥AC，AB=4，AD=6，则tan B=(    )

A.2   B.2   C.    D.

5.如图，Rt△ABC中，90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（   ）

A.         B.        C.4               D.5

6.在△ABC中，若三边BC，CA，AB满足 BC∶CA∶AB=5∶12∶13，则cos B=（      ）

A.           B.             C.            D.

7.已知，，点,点F分别在射线AD，射线BC上，若点与点关于对称，点与点关于对称，与相交于点，则（   ）

A.                B.

C.              D.

第7题图

8.河堤横断面如图所示，堤高BC=6 m，迎水坡AB的坡比为1∶，则AB的长为（    ）

A.12 m   B.4 m   C.5 m   D.6 m

9.如图，一个小球由地面沿着坡度的坡面向上前进了10 m，此时小球距离地面的高度为(      )

A.5 m                B.2 m          C.4 m            D. m

10.如图，在菱形中，，，，则的值是(      )

A．              B．2             C．             D．

11.已知直角三角形两直角边长之和为7，面积为6，则斜边长为（    ）

A. 5           B.          C. 7           D.

12.如图，已知：45°＜∠A＜90°，则下列各式成立的是(     )

A.       B.      C.     D.

二、填空题（每小题3分，共18分）

13.比较大小：     .（填“＞”“=”或“＜”）

14.如图，在△ABC中，∠BAC=30°，AB=AC，AD是BC边上的中线，∠ACE=∠BAC,CE交AB于点E，交AD于点F，若BC=2,则EF的长为         .

15.如图，小兰想测量南塔的高度，她在处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50 m至处，测得仰角为60°，那么塔高约为 _________ m.（小兰身高忽略不计，）

16.已知等腰三角形的腰长为2，腰上的高为1，则它的底角等于________ ．

17.图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是__________.

18.在△ABC中，∠90°，AB=2BC，现给出下列结论：

①sin A=；②cos B=；③tan A=；④tan B=，

其中正确的结论是          .（只需填上正确结论的序号）

三、解答题（共78分）

19.（8分）计算下列各题：

(1)；（2）.

20.(8分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sin A=，求BC的长和tan B的值.

第20题图    第21题图

21.（10分）如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，A在B的正东方向，AB=2（单位：km）.有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向.

（1）求点P到海岸线l的距离；

（2）小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到达点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°的方向.求点C与点B之间的距离.（上述2小题的结果都保留根号）

22.（10分）如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了100 m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°.已知测角仪的高度是1.5 m，请你计算出该建筑物的高度．（取  ≈1.732，结果精确到1 m）

23.（8分）如图，在梯形中，，，．

（1）求的值；（2）若长度为，求梯形的面积．

24.（10分）如图，在一次数学课外实践活动中，小文在点C处测得树的顶端A的仰角为37°，BC=20 m，求树的高度AB.

（参考数据：，，）

25.（10分）如图，在小山的东侧处有一热气球，以每分钟的速度沿着仰角为60°的方向上升，20 min后升到处，这时热气球上的人发现在的正西方向俯角为45°的处有一着火点，求热气球的升空点与着火点的距离（结果保留根号）.

26.（14分）（2014·福州中考）如图（1），点O在线段AB上，AO2，OB1，OC为射线，且∠BOC60，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动，设运动时间为t秒.

（1）当t秒时，则OP       ，S△ABP       ；

（2）当△ABP是直角三角形时，求t的值；

（3）如图（2），当APAB时，过点A作AQ∥BP，并使得∠QOP∠B，求证：AQ·BP3.

第26题图

第24章  解直角三角形检测题参考答案

1.C    解析：

2.D   解析：在中，∵ ，，∴ ，

∴ ，∴ .

3.C   解析：.

4.B  解析：如图，过点D作DE∥AB交BC于点E，则四边形ABED是平行四边形，

∴ BE=AD=6.

∵ AB⊥AC，∴ DE⊥AC.∵ CA是∠BCD的平分线，∴ CD=CE.

∵ AD∥BC，∴ ∠ACB=∠DAC=∠DCA.∴ CD=AD=6.

∴ BC=BE+CE=BE+CD=6+6=12.

∴ AC===8.∴ tan B===2.

5.C   解析：设BN的长为x，则AN=9x，由题意得DN=AN=9x.因为D为BC的中点，所以.在Rt△BND中，∠B=90°，由勾股定理得，即，解得.

6.C    解析：设，则，，所以，

所以△是直角三角形，且∠．

所以在△ABC中，．

7.A   解析：设.由题意知，，∴ .

在中，，又，

∴ .

根据条件还可以得出，，.

A.在中，，

∴ ，故选项A正确.

B.，故选项B错误.

C.，故选项C错误.

D.∵ ，∴ ，故选项D错误.

8.A  解析：先由坡比的定义，得BC∶AC=1∶.由BC=6 m，可得AC=6 m. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB==12(m).

9.B   解析：设小球距离地面的高度为则小球水平移动的距离为

所以解得

10.B   解析：设

又因为在菱形中，所以所以

所以由勾股定理知所以2

11.A    解析：设直角三角形的两直角边长分别为则

所以斜边长

12.B   解析：在锐角三角函数中仅当∠45°时，，所以选项错误；

因为45°＜∠A＜90°，所以∠B＜45°，即∠A＞∠B，所以BC＞AC，所以＞，即，所以选项正确，选项错误；

＞1，＜1，所以选项错误.

13.＞   解析：因为，所以∠.

14.   解析：过F点作FG∥BC交AB于点G.

∵ 在△ABC中，AB=AC,AD是BC边上的中线，

∴ BD=CD=BC=1,∠BAD=∠CAD=∠BAC=15°,AD⊥BC.

∵ ∠ACE=∠BAC,

∴ ∠CAD=∠ACE=15°,

∴ AF=CF.

∵ ∠ACD=(180°－30°)÷2=75°,

∴ ∠DCE=75°－15°=60°.

在Rt△CDF中, CF= =2,DF=CD·tan 60°=.

又AF=CF,∴ AF=2.

∵ FG∥BC,

∴ GF∶BD=AF∶AD,即GF∶1=2∶(2+),

解得GF=4－2,

∴ EF∶EC=GF∶BC,即EF∶(EF+2)=(4－2)∶2,

解得EF=－1.

15.43.3    解析：因为，所以

所以所以.

16.15°或75°   解析：如图，.

在图①中，，所以∠∠；

在图②中，，所以∠∠.

17.76   解析：如图，因为，所以CD=12，

由勾股定理得所以这个风车的外围周长为

18.②③④  解析：因为∠C=90°，AB=2BC，所以∠A=30°，∠B=60°，所以②③④正确.

19.解：（1）

（2）.

20.分析：由sin A==求出BC的长，根据勾股定理求出AC的长，利用tan B=求出tan B的值.

解：∵ sin A==，AB=10，∴ BC=4.

又∵ AC==2，∴ tan B==.

21.分析:（1）如图，过点P作PD⊥AB于点D，设PD= km，根据AD+BD=2列方程求解.

（2）过点B作BF⊥CA于点F，在Rt△ABF和Rt△BFC中解直角三角形求解.

解：（1）如图，过点P作PD⊥AB于点D，

设PD= km，由题意可知∠PBD=45°，∠PAD=30°，

∴ 在Rt△BDP中，BD=PD= km,在Rt△PDA中，AD=PD= km.

∵ AB=2 km，∴ =2.∴ ==1.

∴ 点P到海岸线l的距离为（）km.

（2）如图，过点B作BF⊥CA于点F.

在Rt△ABF中，BF=AB·sin 30°=2×=1（km）.

在△ABC中，∠C=180°∠BAC∠ABC=45°.

在Rt△BFC中，BC=BF=×1=（km）.

∴ 点C与点B之间的距离为 km.

点拨：此题是解直角三角形在现实生活中的应用，通过构造直角三角形求解.当利用勾股定理或锐角三角函数不能直接求解时，常采用作垂线、引入未知数（一般为待定的数）构造方程求解.

22.解：设，则由题意可知，m．

在Rt△AEC中，tan∠CAE＝，即tan 30°＝，

∴，即3x(x＋100)，解得x50＋50.

经检验50＋50是原方程的解．

∴

故该建筑物的高度约为

23.解：(1)∵ ，∴ ∠∠.

∵ ∥，∴ ∠∠∠.

在梯形中，∵ ，∴ ∠∠∠∠

  ∵ ，∴ 3∠ ，

∴ ∠30° ，∴

（2）如图，过点作于点.

在Rt△中，• ∠，

• ∠，∴

在Rt△中，，

   ∴ 梯形的面积为

24.分析：利用解直角三角形求线段长，首先根据锐角三角函数的定义选取恰当的三角函数关系式，然后把已知的数据代入计算.本题根据锐角三角函数的定义得tan 37°＝，把，BC=20 m代入tan 37°＝中求出树的高度AB.

解:因为tan 37°＝≈0.75，BC=20 m，所以AB≈0.75×20＝15（m）.

25.解：过点作于点..

因为∠，300 m，

所以300(－1)即热气球的升空点与着火点的距离为300(－1)

26.（1）解：1，；

（2）解：①∵ ∠A<∠BOC60，∴ ∠A不可能是直角.

②当∠ABP90时，如图所示（第26题答图（1）），

∵ ∠BOC60，∴ ∠OPB30.

∴ OP2OB，即2t2.∴ t1.

第26题答图（1）

③当∠APB90时，如图所示（第26题答图（2）），作PD⊥AB，垂足为D，则∠ADP∠PDB90.

在Rt△POD中，∵ ∠POD=60，∴ ∠OPD=30.

∵ OP2t，

∴ ODt，PDt，AD2t，BD1t（△BOP是锐角三角形）.

第26题答图（2）

方法一：BP2BD2+PD2=（1t）23t2，AP2AD2+PD2=(2t)23t2.

∵ BP2AP2AB2，∴ (1t)23t2(2t)23t29，即4t2t20.

解得t1，t2（舍去）.

方法二：∵ ∠APD∠BPD90，∠B∠BPD90，

∴ ∠APD∠B.∴ △APD∽△PBD.

∴ ∴ PD2AD·BD.

于是(t)2(2t)(1t)，即4t2t20.

解得t1，t2（舍去）.

综上，当△ABP为直角三角形时，t1或.

（3）证法一：∵ APAB，∴ ∠APB∠B.

如图所示（第26题答图（3）），作OE∥AP，交BP于点E，

∴ ∠OEB∠APB∠B.

∵ AQ∥BP，∴ ∠QAB∠B180.

又∵ ∠3∠OEB180，∴ ∠3∠QAB.

又∵ ∠AOC∠2∠B∠1∠QOP，∠B∠QOP，

∴ ∠1∠2.

在△QAO和△OEP中，∵ ∠3∠QAO，∠1∠2，

∴ △QAO∽△OEP.

∴ ，即AQ·EPEO·AO.

∵ OE∥AP，∴ △OBE∽△ABP.

∴ .∴ OEAP1，BPEP.

∴ AQ·BPAQ·EP AQ·EPAO·EO213.

第26题答图（3）

证法二：如图所示（第26题答图（4）），连接PQ，设AP与OQ相交于点F.

∵ AQ∥BP，∴ ∠QAP∠APB.

∵ APAB，∴ ∠APB∠B.∴ ∠QAP∠B.

又∵ ∠QOP∠B，∴ ∠QAP∠QOP.

在△QFA和△PFO中，∵ ∠QAF∠FOP，∠QFA∠PFO，

∴ △QFA∽△PFO.∴ ，即.

又∵ ∠PFQ∠OFA，∴ △PFQ∽△OFA.∴ ∠3∠1.

∵ ∠AOC∠2∠B∠1∠QOP，∠B∠QOP，

∴ ∠1∠2.∴ ∠2∠3.

∴ △APQ∽△BPO.∴ .∴ AQ·BPAP·BO313.

第26题答图（4）