数学七年级上册2.1 整式教案

这是一份数学七年级上册2.1 整式教案，共12页。



单元概述
　　本章既是后续学习整式的乘除、分式和根式的运算、方程、不等式、函数等知识的基础,也是中考的重要考点之一.
本章在学习了有理数、用字母表示数和代数式等知识的基础上,开始研究最简单、最常用,也是最基本的一类代数式——整式.整式和整式的加减运算是研究代数式运算的入门内容,主要内容包括单项式、多项式、整式、合并同类项、去括号和整式的加减等.
整式的加减实际上是对整式实行两种重要的恒等变形,一种是合并同类项,另一种是去括号.整式的恒等变形是数学中符号运算的基础,是方程和不等式进行同解变形的工具.学习本章可以进一步锻炼使用符号进行一般性运算的能力,因此,本章也是培养和发展符号意识和运算能力的重要素材.
单元总览




2.1　整式

第1课时　(见学生用书P45)


1.知道用字母表示数的意义,能用含有字母的式子表示数量关系.
2.知道书写含有字母的式子的格式和注意事项.
3.体会用式子表示实际问题的数量关系的优点.
◎重点:用字母表示数.
◎难点:用字母表示实际问题中的数量关系,列式子.



1只蛤蟆1张嘴,2只眼睛4条腿,扑通1声跳下水;2只蛤蟆2张嘴,4只眼睛8条腿,扑通2声跳下水;3只蛤蟆3张嘴,6只眼睛12条腿,扑通3声跳下水……那如果有很多很多只蛤蟆呢?可以看到若有n只蛤蟆,则有n张嘴,2n只眼睛,4n条腿,扑通n声跳下水.用字母来代表数的例子在生活中还有很多呢!
用字母表示数 
　　阅读教材“例1”前的内容,回答下列问题.
旧知回顾:(1)有理数a(a≠0)的倒数是 1a　; 
(2)用字母表示加法交换律为a+b=　b+a　; 
(3)用s表示路程,t表示时间,v表示速度,则s=　vt　. 
归纳总结　1.用字母表示数时,数字与字母相乘,字母与字母相乘,中间的乘号可以用“·”表示或　省略不写　. 
2.字母和数字相乘时,乘号省略,并把数字放到字母　前　. 
　如果每回收一吨废纸可以节约3立方米木材,那么回收a吨废纸可以节约　3a　立方米木材. 
列简单的式子 

1.阅读教材“例1”与“例2”,完成下列问题.
①一个长方形的长为a,宽为b,则该长方形的周长为　2a+2b　. 
②某种苹果的单价是x(x<10)元/kg,用50元买5 kg这种苹果,应找回　(50-5x)　元. 
③李老师买了铅笔和钢笔共20支,其中铅笔为a支,则钢笔为　(20-a)　支. 
2.已知苹果的原价是每千克m元,若按9折出售,则现价是　0.9m　元. 
3.圆的半径为r cm,它的周长为　2πr　cm. 
归纳总结　1.出现除式时,用　分数　表示. 
2.结果含加减运算的,单位前加　“( )”　. 
3.系数是带分数时,带分数要化成　假分数　. 
4.讨论:513×a能写成513a吗?为什么?
　不能,应表示为163a;原因略.　 
　某商店购进一批商品,每件商品的进价为a元,若要获利20%,则每件商品的零售价应定为　(1+20%)a或(a+20%a)　元. 
·导学建议·
用字母表示问题中的数量关系,字母可以表示符合实际问题的任何数,比如字母a可以表示正数,也可以表示负数,还可以表示0,但要符合实际意义.要多举例子让学生明白.


列简单的式子　
1.有a名男生和b名女生在社区做义工,他们为建花坛搬砖.男生每人搬了40块,女生每人搬了30块.这a名男生和b名女生一共搬了　(40a+30b)　块砖.(用含a、b的式子表示) 
　　2.一个两位数,十位数字是a,个位数字是b,则这个两位数可以表示为　10a+b　. 
思考:这个两位数可以表示为ab吗?为什么?
解:不能.例如:当a=2,b=3时,ab=a×b=6≠23.
变式演练　一个三位数,百位数字是a,十位数字是b,个位数字是c,则这个三位数可以表示为　100a+10b+c　. 
　　3.如图,某长方形广场的四角都有一块半径相同的四分之一圆形的草地,请用式子表示空地的面积.

解:ab-πr2.

变式演练　小明房间窗户的装饰物如图所示,它们由两个四分之一圆组成.请用式子表示窗户能射进阳光部分的面积.
解:ab-18πb2.
·导学建议·
在教学中,引导学生理解用字母表示数的优越性,用数学思维去思考解决生产、生活中的实际问题,体现了数学的重要性和应用的广泛性.

1.下列代数式符合规范书写要求的是(D)
A.-1x　　　　　　B.115xy
C.0.3÷x D.-52a
2.“a的2倍与3的和”用式子表示为(B)
A.2a-3 B.2a+3

　　C.2(a+3) D.3a+2
3.香蕉的单价为a元/千克,苹果的单价为b元/千克,买2千克苹果和3千克香蕉共需(B)
A.(a+b)元 B.(3a+2b)元
C.(2a+3b)元 D.5(a+b)元

4.小明父亲拟用不锈钢制造一个上部是一个长方形、下部是一个正方形的窗户,相关数据(单位:米)如图所示,那么制造这个窗户所需不锈钢的总长是(B)
A.(4a+2b)米 B.(5a+2b)米
C.(6a+2b)米 D.(a2+ab)米


见《分层作业本》P31


温度由-6 ℃上升了t ℃,上升后的温度是　(-6+t)　℃. 
一张桌子的价格是a元,比一把椅子的价格多b元,则一把椅子的价格是　(a-b)　元. 
买一个篮球需要m元,买一个排球需要n元,则买3个篮球和5个排球共需要　(3m+5n)　元. 
如果m是整数,那么与m相邻的两个整数分别为　m-1　和　m+1　. 
今年市场上荔枝的价格比去年便宜了5%,去年的价格是每千克m元,则今年的价格是每千克　　(1-5%)m　元. 

观察下列图形,第n个图形中三角形的个数是(D)

A.2n+2　　B.4n+4　C.4n-4　D.4n
用含有n(n为正整数)的式子表示下面的规律.
(1)1,2,3,4,…,　n　. 
(2)2,4,6,8,…,　2n　. 
(3)1,3,5,7,…,　2n-1　. 
(4)-1,-3,-5,-7,…,　-(2n-1)　. 
(5)1,4,9,16,25,…,　n2　. 

一个两位数,十位数字是a,个位数字是b,如果把这个两位数的十位数字与个位数字对调,那么所得的两位数可以表示为　10b+a　. 
为了测试一种皮球的弹跳高度与下落高度之间的关系,通过试验得到下列一组数据(单位:厘米):
下落高度
40
50
80
100
150
弹跳高度
20
25
40
50
75

在这个问题中,如果我们用b(厘米)表示下落的高度,那么相对应的弹跳高度为 b2　(厘米). 

某市出租车的收费标准:乘车里程不超过3千米的收费是起步价8元,里程超过3千米的除了收8元以外,超过部分每千米加收1.5元.
(1)若某人乘坐了15千米,应支付多少元?
(2)若某人乘坐了x(x>3)千米,用式子表示他应支付的费用.
解:(1)26元.
(2)[8+1.5(x-3)]元.


第2课时　(见学生用书P47)


1.知道单项式的定义及单项式系数、次数等相关概念.
2.能正确用单项式表示实际问题中的数量关系.
◎重点:单项式的定义及相关概念.
◎难点:用单项式表示数量关系.


嫦娥五号探测器是中国研制的首个实施无人月面取样返回的航天器,按照国家航天局对未来月球探测的规划,中国设想未来五年、十年开展两次以机器人为代表的月球南北极的探测.归纳起来,就是启动实施探月工程四期,其中包括2020年左右,发射嫦娥六号等月球探测器,实现月球极区采样返回.数学世界里的很多成员也深受鼓舞,航天迷8a正召集单项式们开展研讨会,研讨不久后的探月计划.已入会场的有100t,6a2,a3,2.5x,-n,vt,13a,9,a,-3x2y等,但主持人8a却将-3a+b2和1x拒之门外.
单项式的概念 

1.你能发现下列式子中有什么共同的特点吗?
300t;3x2y;2mn;a3b;0.8ab;5x2y2.
表示的都是数或字母的积.
归纳总结　像上面的例子这样　数或字母　的积组成的式子叫做单项式,如上面的300t;3x2y;2mn;a3b;0.8ab;5x2y2.单独一个　字母　或　数字　也叫单项式. 
2.思考:a2是单项式吗?2a是单项式吗?为什么?
因为a2=12a,即a2表示12与a的积,所以它是单项式;2a表示2与a的商,不符合单项式的定义,所以它不是单项式.
归纳总结　单项式中的　数字因数　叫做这个单项式的系数. 

　　一个单项式中,　所有字母的指数的和　叫做这个单项式的次数. 
　填表,并谈谈你的看法.

-b
4x3
-34ab2
0.5xy
2m3n2
-abc7

　-1　 
　4　 
　-34　 
　0.5　 
　2　 
　-17　 

　1　 
　3　 
　3　 
　2　 
　5　 
　3　 

列单项式 

阅读本课时“例3”,并完成下列问题.
1.一件童装的价格是b元,按现价的8折出售,则这件童装的售价是　0.8b　元. 
2.你能说出0.8b表示的另一个数学含义吗?
答案不唯一,如一支钢笔b元,圆珠笔的价格是钢笔的0.8倍,则一支圆珠笔的价格是0.8b元.
归纳总结　用字母表示数后,同一个式子可以表示　不同　的含义. 

1.电冰箱包装箱的形状是长方体,如果包装箱的底面形状是边长为a m的正方形,包装箱的高为b m,那么它的体积是　a2b　m3. 
2.结合实际生活,代数式6a2可以解释为　答案不唯一,如6个边长为a的正方形的面积之和　. 
·导学建议·
本节中重点是引导学生知道单项式的概念,关键词在于“积”.单项式由系数和字母两部分组成,系数是常数,不要忘记系数的正负号.


单项式的定义及相关概念
1.下列式子2m+n,3ab,xy,a,-8,x-y2,0中,单项式的个数是(B)
A.3　　　　B.4　　　　C.5　　　　D.6
2.下列说法正确的是(D)
A.b的指数是0 B.b没有系数
C.-3是一次单项式 D.-3是单项式
方法归纳交流　单独一个字母的系数是1,次数是1.
3.关于单项式-45m2n的说法,正确的是(D)
A.因为含有除法,所以不是单项式
B.是单项式,系数是4,次数是2
C.是单项式,系数是45,次数是2
D.是单项式,系数是-45,次数是3
变式演练　单项式-2πr2的系数是　-2π　,次数是　2　;单项式-26x2y3的系数是　-26　,次数是　5　. 
方法归纳交流　π是一个数字,不是字母.
　　4.如果x3yn-4是六次单项式,那么n=　7　. 
变式演练　写出所有只含有字母a、b,系数为-12,次数为3的单项式　-12ab2,-12a2b　. 
实际问题中的单项式
5.请仔细分析下列赋予3a实际意义的例子,其中错误的是(D)
A.若葡萄的价格是3元/千克,则3a表示买a千克葡萄的金额
B.若a表示一个等边三角形的边长,则3a表示这个等边三角形的周长
C.某款运动鞋进价为a元,销售这款运动鞋盈利50%,则销售两双的销售额为3a元
D.若3和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字,则3a表示这个两位数
·导学建议·
通过举例让学生理解单项式的概念,且能找出单项式的系数和次数.通过给出一个单项式,让学生给它赋予一定的实际意义,知道数学是来源于生活,服务于生活的.

1.单项式22xy2的次数是(C)
A.5 B.4 C.3 D.2
2.下列说法正确的是(C)
A.3πxy的系数是3
B.3πxy的次数是3　
C.-23xy2的系数是-23
D.-23xy2的次数是2
3.若x表示某件物品的原价,则代数式(1+10%)x表示的意义是(B)
A.该物品打九折后的价格　
B.该物品价格上涨10%后的售价　
C.该物品价格下降10%后的售价　
D.该物品价格上涨10%时上涨的价格
4.若3xmyn是含有字母x和y的四次单项式,求m、n可能的值.(注意:要尽可能考虑所有可能的结果,不能漏解)
解:因为3xmyn是四次单项式,所以m+n=4.所有可能的值是m=1,n=3;m=2,n=2;m=3,n=1.



见《分层作业本》P32


下列各式中不是单项式的是(D)
A.a3　 　B.-15　 　C.0 　 　D.3a
下列单项式中,次数为4的是(C)
A.2ab B.6a2 C.2a3b D.0.9a
填表:
单项式
25m
-x
-2m3
a3b2c
-47x2y2
系数
　25　 
　-1　 
　-2　 
　1　 
　-47　 
次数
　1　 
　1　 
　3　 
　6　 
　4　 

对于单项式“5x”,我们可以这样解释:香蕉每千克5元,某人买了x千克,共付款5x元.请你对“5x”再给出一个与实际生活相结合的合理解释.
解:答案不唯一,如某人以5千米/时的速度走了x小时,他走的路程是5x千米.

下列式子中,单项式为(B)
A.a-b B.3 C.cd D.R+r
下列单项式中,与2x4y次数相同的是(D)
A.2x4 B.2xy C.x5y D.22x2y3
若单项式-3a2bc35的系数、次数分别是m、n,则(A)
A.m=-35,n=6 B.m=35,n=6
C.m=-35,n=5 D.m=35,n=5
单项式-22x3y2的系数为　-22　,次数为　5　. 
-2πa2x5的系数为　-2π5　,次数为　3　. 
已知单项式2xm+1是二次单项式,则式子1-m2022的值为　0　. 

洈水风景区在十一黄金周期间推出了特惠活动:票价每人100元,团体购票超过20人,票价可以享受八折优惠.活动期间,某旅游团有m(m>20)人来该景区观光,则应付票价总额为　80m　元. 
有一串单项式:-x2,2x3,-3x4,4x5,-5x6,…,-19x20,20x21,….
(1)请问第n个单项式是什么?(n为正整数)
(2)根据你发现的规律,写出第2023个单项式.
解:(1)(-1n)nxn+1.提示:当n为偶数时为nxn+1,当n为奇数时为-nxn+1.(2)-2023x2024.

第3课时　(见学生用书P50)


1.掌握多项式的概念及多项式的次数与项数的相关概念.
2.明确多项式与单项式统称为整式.
3.通过总结整式的相关知识,提高学生的归纳能力和总体把握知识的能力.
◎重点:多项式的概念,常数项的定义.
◎难点:找出多项式的各项以及多项式的项数和次数.


同学们,上节课我们已经学习了单项式,这节课我们要学习另外一种式子.如果我们将若干个单项式进行运算,还是单项式吗?由若干个单项式的积组成的式子仍然是单项式;由若干个单项式的和或差组成的式子叫做多项式.
多项式的概念 
　　阅读教材本课时“例4”前的内容,回答下列问题.
　　揭示概念　1.几个单项式的　和　叫做多项式. 
2.(1)在多项式中,　每个单项式　叫做多项式的项. 
(2)在多项式中,　不含字母　的项叫做常数项. 
(3)在多项式中,　次数最高项　的次数就是这个多项式的次数. 
　多项式-3x2y-x3+xy3由几项组成?分别是哪几项?它的次数是多少?
由三项组成;分别是-3x2y,-x3, xy3;次数是4.
整式的分类 

1.单项式和多项式统称为　整式　. 
2.思考:多项式的次数与单项式的次数有什么区别?
单项式的次数是指所有字母的指数的和,应当作加法;而多项式的次数是指次数最高项的次数,不用作加法,而是比较各项的次数的大小.
　下列各式-14,3xy,a2-b2,3x-y5,2x>1,-x,0.5+x中,整式有　-14、3xy、a2-b2、3x-y5、-x、0.5+x　,单项式有　-14、3xy、-x　,多项式有　a2-b2、3x-y5、0.5+x　. 
列多项式解决问题 

　　阅读教材“例4”,并完成下列问题.
1.买一支钢笔需要a元,买一支油笔需要b元,买一支中性笔需要c元,则买2支钢笔、3支油笔、5支中性笔共需要　(2a+3b+5c)　元. 
2.“买单价m元的球拍n个,拿出450元,应找多少钱”用式子表示为　(450-mn)　元,当买了3个单价为50元的球拍时,剩　300　元. 
3.在一个边长为a的正方形的四个角上分别截去一个边长为b的小正方形,则剩下部分的面积是　a2-4b2　,当a=3,b=1时,剩下的面积是　5　. 
·导学建议·
教学中,可强调理解单项式与多项式应抓住关键词“积”与“和”.

多项式的相关概念
1.多项式x2y3-3xy3-3的次数和项数分别为(A)
A.5,3　　　B.5,2　　　C.2,3　　　D.3,3
2.当m为何值时,(m+2)xm2-1y2-3xy3是五次二项式?
解:根据条件,有m2-1+2=5,且m+2≠0,所以m=2.
　　方法归纳交流　如果一个多项式含有n项,次数为m,则称这个多项式为m次n项式.
　　变式演练　任意写出一个含有字母a,b的五次三项式,其中最高次项的系数为2:　2a2b3+ab+1(答案不唯一)　. 
3.多项式2x4-(a+1)x3+(b-2)x2-3x-1,不含x3项和x2项,则ab=　-2　. 
求整式的值
4.若a-b=2,求代数式-2a+2b-3的值.
解:因为a-b=2,
所以-2a+2b-3=-2(a-b)-3=-4-3=-7.
变式演练1　如果a+b=5,那么(a+b)2-4(a+b)=　5　. 
变式演练2　若x2-3x=6,则13x2-x+5=　7　. 
方法归纳交流　求整式的值分两种情况:①已知整式中每个字母的值,直接代入求值;②知道某个式子的值,且无法求出式子中每个字母的具体值,采用整体代入解决问题.
根据实际问题列多项式
5.

如图,某长方形广场的长为a米,宽为b米,中间有一个圆形花坛,半径为c米.
(1)用式子表示右图中阴影部分的面积;
(2)若a=100,b=50,c=10,求阴影部分的面积(π取3.14).
　　解:(1)ab-πc2.
(2)当a=100,b=50,c=10时,ab-πc2=100×50-3.14×102=5000-314=4686.
答:阴影部分的面积为4686平方米.
·导学建议·
整式仅仅是代数式的一种,代数式还包括分式等,可以向学生提一下,激发学生学习的积极性.

1.下列各式-12mn,m,8,1a,x2+2x+6,2x-y5,x2+4yπ,1y中,整式有(C)
A.3个 B.4个 C.6个 D.7个
2.多项式4x2-3xy22-19x+1的三次项系数是(C)
A.3 B.-3 C.-32 D.-19
3.已知x-2y=-5,则整式4y-2x的值为(D)
A.5 B.-5 C.-10 D.10
4.多项式12x|m|-(m-3)x+7是关于x的三次三项式,则m的值是(A)
A.-3 B.3
C.3或-3 D.不能确定


见《分层作业本》P33


多项式2x2-x-3的项分别是(B)
A.2x2,x,3　　　　　B.2x2,-x,-3
C.2x2,x,-3 D.2x2,-x,3
多项式x2+4x+13的次数是(C)
A.4　　　B.13　　　C.2　　　D.17
下列多项式中,含有常数项的是(B)
A.ab+c B.x2+3x+6
C.3a3+a D.x3+3x2+6x
单独一个字母一定不是(C)
A.一次单项式 B.单项式
C.多项式 D.整式
一个关于字母x的二次三项式的二次项系数为4,一次项系数为1,常数项为7, 则这个二次三项式为　4x2+x+7　. 

一个n次多项式(n为正整数),它的每一项的次数 (D)
A.都等于n B.都小于n
C.都不小于n D.都不大于n
多项式3a2-12的常数项为(D)
A.1 B.-1 C.12 D.-12
若多项式x4-(a-1)x3+5x2-(b+3)x-1不含x3和x项,则a+b=　-2　. 
已知n是自然数,多项式yn+1+3x3-2x是三次三项式,那么n可以是哪些数?
解:由已知可得n+1=3或n+1=2或n+1=1,
解得n=2,1,0.
将下列代数式填入相应的集合中.
0,-x+y2,a,abπ,2x,-5abc,st,-10,4x2-y2,
a+1b.
单项式集合:{ 　0,a,abπ,-5abc,-10,　… }. 
多项式集合:{ 　-x+y2,4x2-y2,　… }. 
整式集合:{ 　0,a,abπ,-5abc,-10,-x+y2,4x2-y2,　… }. 
已知单项式-23x2y5的次数与多项式a5-3am-1b+a2b2的次数相同,求m的值.
解:因为单项式-23x2y5的次数是7.
所以多项式a5-3am-1b+a2b2的次数也是7次.
因为多项式的项a5和a2b2的次数分别是5次和4次,
所以-3am-1b的次数是7,即m-1+1=7,
所以m=7.
已知一个整式(a-1)x2-3x-(a+4).
(1)若它是一个关于x的一次式,求a的值,并写出该一次式.
(2)若它是二次二项式,求a的值,并写出该二次二项式.
(3)若它是二次式,则a应满足什么条件?
解:(1)当a-1=0,即a=1时,原式是一个一次式,这个一次式是-3x-5.
(2)当-(a+4)=0,即a=-4时,原式是一个二次二项式,这个二次二项式是-5x2-3x.
(3)当a-1≠0,即a≠1时,原式是二次式.


已知-5xmy3+104xm-4xy2是关于x、y的六次多项式,求m的值,并写出该多项式.
下面是李灿给出的解法:由原多项式可知最高次项是104xm①,所以可得4+m=6②,m=2③,原多项式为-5x2y3+104x2-4xy2④.
阅读以上过程,并讨论:李灿解对了吗?问题出在哪一步?正确解法是怎样的?
解:不对,问题出在①.正确解法:由原多项式可知,最高次项是-5xmy3,所以m+3=6,m=3.所以原多项式为-5x3y3+104x3-4xy2.