初中数学2.2 整式的加减教学设计

这是一份初中数学2.2 整式的加减教学设计，共16页。

2.2整式的加减

第1课时　(见学生用书P52)


1.通过实例知道同类项的定义.
2.掌握合并同类项的方法并能合并同类项.
3.会将一个多项式进行升(降)幂排列,即按一个字母的次数的大小规律排列.
◎重点:合并同类项,将一个多项式进行升(降)幂排列.
◎难点:合并同类项与化简求值.


俗话说“物以类聚”.意思是说,同一种类型的东西可以聚集在一起.当然,不同类型的东西就不能随意聚集.比如,收拾房间时,书放在书架上,衣服放进衣橱,碗盘放在碗橱,不能把碗往衣橱里放,衣服堆到书架上;到动物园参观,老虎与老虎关在一个笼子里,熊猫与熊猫关在另一个笼子里,不能把鹿与老虎放在一起,这就是“物以类聚”.上节课我们学习的多项式中,那些含相同的字母并且相同字母的次数也分别相同的单项式能不能看作是同类呢?能不能将这些同类合并在一起.
同类项 
　　阅读教材相关内容,回答下列问题.
你能描述一下这些单项式的特征吗?(从所含字母、字母的指数以及系数方面)
4a与5a;6xy与5xy; 7x2y与5x2y.
字母相同,并且相同字母的指数也相同.
归纳总结　所含字母　相同　,并且相同字母的　指数也相同　的项叫同类项,常数项也是同类项. 
　你能例举出-3x3y2的同类项吗?
例如:-4x3y2;5x3y2;12x3y2等.
合并同类项 

阅读教材“例1”及其前面的内容,回答下列问题.
你能把下列式子合成一项吗?若能,说说你是怎么做的;若不能,说一下原因.
4a+5a;6xy+5xy; 7x2y+5x2y;
2a+3b;6xy+5x2y;4x2y3+8x3y2.
能.4a+5a=9a;6xy+5xy=11xy;7x2y+5x2y=12 x2y.
2a+3b;6xy+5x2y;4x2y3+8x3y2,不能合并成一项,因为字母部分不相同.
归纳总结　1.(1)把多项式中的同类项合并成一项,叫做　合并同类项　;(2)合并同类项后,所得项的系数是合并前各同类项的系数的　和　,且字母部分　不变　. 
2.(1)把一个多项式的各项按照字母x的指数从　大　到　小　的顺序排列,叫做按字母x的降幂排列;(2)把一个多项式的各项按照字母x的指数从　小　到　大　的顺序排列,叫做按字母x的升幂排列. 

　　　　　　　　　　　　　　　
1.下列各选项中的两个单项式,是同类项的是(A)
A.3和2 B.-a2和-52　
C.-15a2b和12ab2 D.2ab和2xy
2.下列计算结果正确的是(C)
A.2x2-3x2=-1 B.2x2-3x2=x2　
C.2x2-3x2=-x2 D.2x2-3x2=-5x2
3.将多项式2-3xy2+5x3y-x2y3按字母y降幂排列是　-x2y3-3xy2+5x3y+2　. 
多项式化简求值 

阅读教材“例2”至“例3”,回答下列问题.
1.求整式的值时,一般先　合并同类项或化简　,再代入求值. 
2.对于实际问题,应先列整式,再化简,能求值的,最后代入求值.

　化简多项式:5a2-5a+4-3a2+6a-5=　2a2+a-1　.当a=12时,该多项式的值为　0　. 
·导学建议·
采用情景式教学法和探究式教学法,通过给出情境导入合并同类的概念,通过数的运算导入整式的运算,通过数的运算律导入式的运算律.
·学习小助手·
同类项可简记为“两同两无关”,所含字母相同,相同字母的指数也相同.与系数无关,与字母的排列顺序也无关.

合并同类项
1.如果2axb3与-3a4by是同类项,那么x=　4　,y=　3　. 
变式演练　如果4xmy3与-x2yn-1的和是单项式,那么m=　2　,n=　4　. 
2.合并下列多项式中的同类项:(1)2a2b-12a2b;(2)2a2-3ab+4b2+5ab-6b2.
解:(1)原式=32a2b;(2)原式=2a2+2ab-2b2.
变式演练　若关于x的多项式5x3-2mx2-2x2+3合并同类项后是三次二项式,则m满足的条件是　m=-1　. 
方法归纳交流　如果两个同类项的系数互为相反数,那么它们合并后的结果等于0.
多项式化简求值
3.求多项式3x2+4x-2x2+x+x2-3x-1的值,其中x=-2.
解:原式=2x2+2x-1.当x=-2时,原式=2×(-2)2+2×(-2)-1=3.

·导学建议·
求整式的值时应先化简,后求值.上节课我们提到代数式不仅仅只有整式,教学中应说明求所有代数式的值都应先化简,后求值,培养学生举一反三的能力.

1.计算-m2+4m2的结果为(A)
A.3m2　　B.-3m2　　C.5m2　　D.-5m2
2.如果单项式3xa+3y2与单项式-4xyb-1的和还是单项式,那么ab的值是(B)
A.-6 B.-8 C.8 D.-27
3.化简:(1)-3x2y+3xy2-2xy2+2x2y;
(2)2a2-5a+a2+6+4a-3a2.
解:(1)-3x2y+3xy2-2xy2+2x2y
=(-3x2y+2x2y)+(3xy2-2xy2)
=-x2y+xy2.
(2)2a2-5a+a2+6+4a-3a2
=(2a2+a2-3a2)+(4a-5a)+6
=-a+6.




见《分层作业本》P35


下列各式中,与x2y是同类项的是(C)
A.xy2　　　　　　　　B.2xy
C.-x2y D.3x2y2
下列合并同类项正确的是(D)
A.3a+2b=5ab B.5y-3y=2
C.-3x+5x=-8x D.3x2y-2x2y=x2y
将(x+y)+2(x+y)-4(x+y)合并同类项得(D)
A.-x+y B.x-y
C.(x+y) D.-(x+y)
当a=1,b=2时,式子a2-ab的值是　-1　. 
写出-5x3y2的一个同类项:　答案不唯一,如x3y2　. 
已知多项式2x2+25xy-xy2-5x3y3的次数是a,单项式-2x3yb与单项式13xcy是同类项.
(1)将多项式2x2+25xy-xy2-5x3y3按y的降幂排列.
(2)求代数式c2-4ab的值.
解:(1)将多项式2x2+25xy-xy2-5x3y3按y的降幂排列为-53x3y3-xy2+25xy+2x2.
(2)因为多项式2x2+25xy-xy2-5x3y3是六次四项式,
所以a=6,
因为单项式-2x3yb与单项式13xcy是同类项,
所以b=1,c=3,
所以c2-4ab=32-4×6×1=9-24=-15.

下列各组式子中,不是同类项的是(B)
A.-2p2t与tp2
B.-a2b3cd与3b2a3cd
C.-ambn与ambn
D.2b2a3与(-2)2ab2

若单项式2am+6b2n+1与a5b7的和仍是单项式,则m+n的值为(D)
A.-4 B.4
C.-2 D.2
若-4xm-2y3与3x3y7-n是同类项,则有m=　5　,n=　4　. 
化简:(1)12m2-3mn2+4n2+12m2+5mn2-4n2.
(2)7a2-2ab+b2-5a2-b2-2a2-ab.
解:(1)原式=12m2+12m2+(5mn2-3mn2)+(4n2-4n2)
=m2+2mn2.
(2)原式=(7a2-5a2-2a2)-(2ab+ab)+(b2-b2)
=-3ab.
计算:3c2-8c+2c3-13c2+2c-2c3+3,其中c=-4.
解:原式=(2-2)c3+(3-13)c2+(-8+2)c+3=-10c2-6c+3.
当c=-4时,原式=-10×(-4)2-6×(-4)+3=-133.
若x2+y-2=0,求x3-x2y+xy2+x2y-xy2-y3的值.
解:由题意得x=0,y=2,
原式=(-x2y+x2y)+(xy2-xy2)+x3-y3=x3-y3.当x=0,y=2时,x3-y3=0-8=-8.
有这样一道题:“当a=2020,b=-2022时,求多项式7a3-6a3b+3a2b+3a3+6a3b-3a2b-10a3+2021的值.”
小明说:“本题中a=2020,b=-2022是多余的条件.”小强马上反对说:“这不可能,多项式中含有a和b,不给出a、b的值怎么能求出多项式的值呢?”
你同意哪名同学的观点?请说明理由.
解:同意小明的观点.
理由:7a3-6a3b+3a2b+3a3+6a3b-3a2b-10a3+2011=(7a3+3a3-10a3)+(-6a3b+6a3b)+(3a2b-3a2b)+2021=2021,所以小明的观点正确.


如图,用整式表示阴影部分的面积.

解:(1)阴影部分的面积为大半圆的面积减去两个小半圆的面积,
即S阴影=12πR+r22-12πr22-12πR22.
(2)阴影部分的面积为正方形的面积减去三角形的面积,再减去半圆的面积,即
S阴影=a2-12·a2·a-12π·a42
=a2-a24-132πa2
=34a2-132πa2.

第2课时　(见学生用书P54)


1.掌握去括号法则,能用去括号法则和合并同类项法则进行整式化简.
2.通过对比数字运算中的去括号法则,体会数与式之间的关系.
◎重点:利用去括号法则将整式化简.
◎难点:多项式的化简求值.


如图,要表示左边这个图形的面积,有以下几种不同的方法:

右边两个图中的图形面积是否相等呢?显然是相等的,于是我们可以得到一个等式:(x+3)×3=3x+3×3.
可见,代数式去括号法则与有理数的去括号法则是一样的.
整式去括号法则 

阅读教材本课时所有内容,回答下列问题.
1.(1)如果括号外的因数是正数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号　相同　;如果括号外的因数是负数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号　相反　. 
(2)括号前只有因数“+”或者“-”号的,可以分别看作数字因数是　1　或者　-1　. 

　　2.整式化简的步骤:先　去括号　,再　合并同类项　. 
　化简下列各式.
(1)(5a+3b)-(3a-2b)
=5a+3b　-3a+2b　 
=　2a+5b　; 
(2)2(4x-6y)-3(2x+3y-1)
=8x-12y　-6x-9y+3　 
=　2x-21y+3　. 
·导学建议·
去括号是整式运算中的基础运算,重点强调学生按照相应的步骤进行计算,先去括号,然后进行合并同类项.尤其注意括号外面有系数以及负号时,更要认真计算,避免前面变了号,后面就忘了变号.
·学习小助手·
对于有多重括号的整式,特别是括号外面还有负号的式子,在去括号的时候注意从里到外层层“脱落”,并注意遇到括号外面是负号的,每个式子都得变号.


去括号法则
1.下列去括号,正确的是(D)
A.a2-(2a-1)=a2-2a-1
B.a2+(2a-3)=a2-2a+3
C.-(a+b)+(c-d)=-a-b-c+d
D.-(a+b)+(d-1)=-a-b+d-1
添括号
2.将多项式3x3-2x2+4x-5添括号后正确的是(B)
A.3x3-(2x2+4x-5)
B.(3x3+4x)-(2x2+5)
C.(3x3-5)+(-2x2-4x)
D.2x2+(3x3+4x-5)
方法归纳交流　添括号法则:①所添括号前面是“+”号,括到括号里的各项都不变符号;②所添括号前面是“-”号,括到括号里的各项都改变符号.
　　变式演练　不改变x-(y-3z)的值,把括号前的“-”号变成“+”号,结果应是(D)
A.x+(y-3z)　　　B.x+(-y-3z)
C.x+(y+3z) D.x+(-y+3z)
去括号合并同类项
3.先去括号,再合并同类项.
(1)6a+(4a-2b); (2)x-3(2x+5y-6).
解:(1)原式=10a-2b;
(2)原式=-5x-15y+18.
　　变式演练　先化简,再求值:(3a-2a2)-[5a-13(6a2-9a)-4a2],其中a=-12.
解:原式=3a-2a2-(5a-2a2+3a-4a2)=3a-2a2-5a+2a2-3a+4a2=4a2-5a.
当a=-12时,原式=4×-122-5×-12=1+2.5=3.5.
用去括号法则解决实际问题
4.为资助贫困地区儿童入学,某校甲、乙、丙三位同学决定把平时节省下来的零花钱捐给希望工程.已知甲同学捐款x元,乙同学的捐款数比甲同学的3倍少6元,丙同学的捐款数是甲的2倍.
(1)甲、乙、丙的捐款总数是多少元?
(2)当x=30时,甲、乙、丙共捐款多少元?
解:(1)由题知乙同学捐款(3x-6)元,丙同学捐款2x元.所以甲、乙、丙三人共捐款:x+(3x-6)+2x=6x-6(元).
(2)当x=30时,原式=6×30-6=180-6=174(元).
·导学建议·
本节课初步学习了用整式去括号法则解决实际问题,下一个课时将进一步学习用整式的加减运算解决代数问题与实际问题.
·学习小助手·
去括号与添括号一样,关注括号外面的符号,如果是正号,里面的符号都不变.如果是负号,里面的符号都改变,要养成及时检查的习惯.

1.当a=-1,b=2时,代数式3a+b+2(3a+b)+1的值为(A)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.-2 B.0
C.1 D.3
2.化简-[-(-a2)-b2]-[+(-b2)]的结果是(A)
A.2b2-a2 B.-a2
C.a2 D.a2-2b2
3.多项式mx2-(1-x-6x2)化简后不含x的二次项,则m的值为　-6　. 




见《分层作业本》P37


-2(x+y)去括号所得结果正确的是(D)
A.-2x+y　　　　　　B.-2x+2y
C.-2x-y D.-2x-2y
化简x-y-(x+y)的最后结果是(C)
A.0 B.2x
C.-2y D.2x-2y
填空:(1)(r+s)-(p-q)=　r+s-p+q　; 
(2)-(m+n)+3(m-n)=　2m-4n　. 
4(a2b-2ab2)-(a2b+2ab2)=　3a2b-10ab2　. 
去括号合并同类项.
(1)-5+(x2+3x)-(-9+6x2);
(2)4(2x2-3x+1)-2(4x2-2x+3);
(3)x-[y-2x-(x-y)].
解:(1)原式=-5+x2+3x+9-6x2
=4+3x-5x2.
(2)原式=8x2-12x+4-8x2+4x-6
=-8x-2.
(3)原式=x-(y-2x-x+y)
=x-y+2x+x-y
=4x-2y.

下列去括号错误的有(C)
①a+(b+c)=ab+c;
②a-(b+c-d)=a-b-c+d;
③a+2(b-c)=a+2b-c;
④a2-[-(-a+b)]=a2-a-b.
A.1个　　B.2个　　C.3个　　D.4个
化简2a-[3b-5a-(2a-7b)]的结果是(D)
A.-7a+10b B.5a+4b
C.-a-4b D.9a-10b
在计算A-(5x2-3x-6)时,小明同学将括号前面的“-”号抄成了“+”号,得到的运算结果是-2x2+3x-4,则多项式A是　-7x2+6x+2　. 
若多项式2x2-kxy-(3y2+6xy-1)中不含xy项,则k=　-6　. 
化简2a2b+2ab2-1-[3(a2b-1)+ab2+2].
解:原式=2a2b+2ab2-1-(3a2b-3+ab2+2)
=2a2b+2ab2-1-3a2b+3-ab2-2
=-a2b+ab2.
阅读材料:我们知道4x-2x+x=(4-2+1)x=3x,类似地,我们把(a+b)看成一个整体,则4(a+b)-2(a+b)+(a+b)=(4-2+1)(a+b)=3(a+b),“整体思想”是中学教学课题中的一种重要的思想方法,它在多项式的化简与求值中应用极为广泛.
(1)尝试应用:把(a-b)2看成一个整体,合并3(a-b)2-5(a-b)2+7(a-b)2的结果是　　　　. 
(2)已知x2-2y=1,求3x2-6y-5的值.
(3)拓展探索:已知a-2b=2,2b-c=-5,c-d=9,求(a-c)+(2b-d)-(2b-c)的值.
解:(1)5(a-b)2.
(2)3x2-6y-5=3(x2-2y)-5,
把x2-2y=1代入上式,
原式=3×1-5=-2.
(3)(a-c)+(2b-d)-(2b-c)
=a-c+2b-d-2b+c
=(a-2b)+(c-d)+(2b-c),
把a-2b=2,2b-c=-5,c-d=9代入上式,
原式=2+9-5=6.

扑克牌游戏:小明背对小亮,让小亮按下列四个步骤操作:
第一步:分发左、中、右三堆牌,每堆牌不少于两张,且各堆牌的张数相同.
第二步:从左边一堆拿出两张,放入中间一堆.
第三步:从右边一堆拿出一张,放入中间一堆.
第四步:左边一堆有几张牌,就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆.
这时,小明准确说出了中间一堆牌现有的张数.你认为中间一堆牌的张数是多少?
解:设左、中、右三堆牌开始时的张数均为x(x为不小于2的整数),则小亮的游戏过程可用表格表示如下.

左边一堆牌的张数
中间一堆牌的张数
右边一堆牌的张数
第一步
x
x
x
第二步
x-2
x+2
x
第三步
x-2
(x+2)+1
x-1
第四步
(x-2)+(x-2)
(x+2)+1-(x-2)
x-1

利用整式的加减法则计算中间一堆牌最后的张数为(x+2)+1-(x-2)=x+2+1-x+2=5,显然,最后结果5与开始时每堆牌的张数无关.


第3课时　(见学生用书P56)


1.会进行整式加减的运算,将整式进行化简.
2.能用整式加减的混合运算解决实际问题.
◎重点:整式的加减运算与求值.
◎难点:列出整式并解决实际问题.


在美国有一道叫做“国王是个小气鬼”的怪题:蓬蓬国王为了获得贫穷老百姓的支持,图一个“乐善好施”的好名声,决定施舍每个男人1美元,每个女人40美分(1美元等于100美分),但他又不想太破费.于是,这位陛下盘算来盘算去,最后想出了一个妙法,决定将他的直升飞机在正午12时在一个贫困的山村着陆.因为他十分清楚,在那个时候,村庄里有60%的男人都外出打猎去了.该村庄共有成年人3085人,儿童忽略不计,女性比男性多.请问,这位“精打细算”的国王要施舍掉多少钱?
我们发现国王要施舍的钱数是1234美元,与男人的数量无关,这是怎么回事呢?
两个多项式的和与差 

阅读教材“例6”至“例8”,回答下列问题.
求整式的和或差时,应先用　括号　将每一个整式括起来,再用　加号或减号　连接.对于实际问题,要先列多项式,再运算. 
　计算:(1)(9x-6y)-(5x-4y);
(2)3-(1-x)+(1-x+x2).
解:(1)原式=4x-2y.
(2)原式=3+x2.
多项式的化简与求值 

阅读教材“例9”,回答下列问题.
整式加减的运算法则:一般地,几个整式相加减,如果有括号就先　去括号　,然后再　合并同类项　. 
　化简与求值:已知A=4x2+5y,B=-3x2-2y,求2A-B的值.其中x=2,y=1.
解:因为A=4x2+5y,B=-3x2-2y,
所以2A-B=2(4x2+5y)-(-3x2-2y)=8x2+10y+3x2+2y=11x2+12y.
当x=2,y=1时,原式=11×22+12×1=44+12=56.
·导学建议·
可以看到与多项式相关的问题也可以分为纯代数问题与实际问题两种,对于纯代数问题,一般应该化简求值;对于实际问题则需要先根据题意列代数式.

多项式的和与差
1.2a+5b与a-b的4倍的和是(C)
A.8a-b　　　　　　B.3a+4b
C.6a+b D.a+6b
2.若A=3x2-4y2,B=-y2-2x2+1,则A-B为(C)
A.x2-5y2+1 B.x2-3y2+1
C.5x2-3y2-1 D.5x2-3y2+1
变式演练　减去-3x得x2-3x+6的多项式为(D)
A.x2+6 B.x2+3x+6
C.x2-6x D.x2-6x+6
整式的化简求值
3.求下列多项式的值.
(1)4x2y-[6xy-3(4xy-2)-x2y]+1,其中x=2,y=-12.
(2)5(3a2b-ab2)-3(ab2+5a2b),其中a=13,b=-12.
解:(1)原式=4x2y-6xy+12xy-6+x2y+1=5x2y+6xy-5.
当x=2,y=-12时,原式=5×22×-12+6×2×-12-5=-21.
(2)原式=15a2b-5ab2-3ab2-15a2b=-8ab2.
当a=13,b=-12时,原式=-23.
　　方法归纳交流　整式的加减去括号时注意:如果括号外的因数是正数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同;如果括号外的因数是负数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反,进而合并同类项即可.
用整式的加减解决实际问题
4.我国出租车的收费标准因地而异.甲市:起步价6元,3千米后每千米收费1.5元;乙市:起步价10元,3千米后每千米收费1.2元.
(1)试问在甲、乙两市乘坐出租车s(s>3)千米的价差是多少元?
(2)如果在甲、乙两市乘坐出租车的路程都为10千米,那么哪个市的收费标准高些?高多少?
解:(1)在甲市乘坐出租车s(s>3)千米的价钱为[6+1.5(s-3)]元,在乙市乘坐出租车s(s>3)千米的价钱为[10+1.2(s-3)]元,故甲、乙两市的价差是[6+1.5(s-3)]-[10+1.2(s-3)]=(0.3s-4.9)元.
(2)当s=10时,0.3s-4.9=-1.9,所以乙市的收费标准高些,高1.9元.
·导学建议·
解决实际问题需要一定的生活阅历与经验,对于一些常识性的知识,可能有少部分学生较缺乏,教学中应注意引导学生学习.

1.长方形的一边长等于3a+2b,另一边比它小a-b,那么这个长方形的周长是(C)
A.12a+6b B.7a+3b
C.10a+10b D.12a+8b
2.若单项式3xay2与-2xyb是同类项,求5a2b3-[6a3b2-3(a2b3+2a3b2)]的值.
解:5a2b3-[6a3b2-3(a2b3+2a3b2)]
=5a2b3-(6a3b2-3a2b3-6a3b2)
=5a2b3-6a3b2+3a2b3+6a3b2
=8a2b3.
因为单项式3xay2与-2xyb是同类项,所以a=1,b=2,
所以原式=8×12×23=8×1×8=64.


见《分层作业本》P39


化简(a-b)-(-a+1)正确的是(B)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.a+b-a-1　 B.a-b+a-1　
C.a-b-a+1　 D.a+b+a+1
多项式x2-x+9减去3x2-4的结果是(C)
A.2x2-x+9 B.-2x2-x-13
C.-2x2-x+13 D.-2x2+x+9
若m-x=2,n+y=3,则(m-n)-(x+y)=(B)
A.-5 B.-1 C.1 D.5
已知代数式x-2y的值是3,则代数式y+2x+1-5y的值是　7　. 
先化简,再求值:-22x2-xy+12-3(x2-xy),其中x=-1,y=1.
解:原式=-4x2+2xy-1-3x2+3xy
=-7x2+5xy-1.
当x=-1,y=1时,
原式=-7×(-1)2+5×(-1)×1-1
=-13.

减去3a等于9a2-3a+8的式子是(A)
A.9a2+8 B.9a2-6a+8
C.9a2-8 D.9a2-6a-8
如果a和-4b互为相反数,那么多项式2(b-2a+10)+7(a-2b-3)的值是(B)
A.-3 B.-1 C.1 D.3
已知多项式E=x2+2y2-z2,F=-4x2+3y2+2z2,且E+F+G=0,则G为(B)
A.5x2-y2-z2 B.3x2-5y2-z2
C.3x2-y2-3z2 D.3x2-5y2+z2
若多项式axy2-13x与bxy2+34x的和是一个单项式,则a、b的关系是　a+b=0　. 
已知A=m2-3mn+n2,B=-2m2+8mn-3n2.计算:
(1)B+2A;
(2)4A-3B.
解:(1)因为A=m2-3mn+n2,B=-2m2+8mn-3n2,
所以B+2A=-2m2+8mn-3n2+2(m2-3mn+n2)
=-2m2+8mn-3n2+2m2-6mn+2n2
=2mn-n2.
(2)因为A=m2-3mn+n2,B=-2m2+8mn-3n2,
所以4A-3B=4(m2-3mn+n2)-3(-2m2+8mn-3n2)
=4m2-12mn+4n2+6m2-24mn+9n2
=10m2-36mn+13n2.
有这样一道题:“当a=5,b=-7时,求多项式7a3-6a3b+3a2b+3a3+6a3b-3a2b-10a3-8的值”,有一位同学看错了题目,把“a=-5,b=-7”代入式子求值,可是他所得的结果与正确结果一样,你能说明其中的道理吗?
解:7a3-6a3b+3a2b+3a3+6a3b-3a2b-10a3-8
=(7a3+3a3-10a3)+(-6a3b+6a3b)+(3a2b-3a2b)-8
=-8,
所以这个多项式的值与a,b的值无关.

小明乘公共汽车到城里的书店买书,上车时,发现车上已有(3a―b)人,车到中途站,下去(2a―3)人,又上来若干人,这时公共汽车上共有(8a―5b)人,问中途上车多少人?当a=5,b=3时,中途上车多少人?
解:中途上车的人数为(8a―5b) ―[(3a―b+1) ―(2a―3)]=8a―5b―a+b―4=7a―4b―4.
当a=5,b=3时,中途上车的人数为7a―4b-4=7×5―3×4―4=19.
已知一个三位数,它的数码是顺序相继的三个数码,如123,789,将数码反序排成一个新的三位数,那么其中较大的三位数减去较小的三位数的差总是198,你能说出其中的道理吗?
解:设一个三位数的百位上的数字为x,则十位上的数字为x+1,个位上的数字为x+2,则这个三位数可表示为100x+10(x+1)+(x+2).“将数码反序排成的一个新的三位数”为100(x+2)+10(x+1)+x.显然新的三位数较大,所以[100(x+2)+10(x+1)+x]-[100x+10(x+1)+(x+2)]
=100x+200+10x+10+x-100x-10x-10-x-2
=198.

能力微专训　整式化简求值

(见学生用书P58)


整式加减是后面乘除运算的基础,也是代数式运算、列方程和解方程等运算的基础,因此起始年级要培养学生养成良好的运算习惯,加强对学生运算能力的锻炼.
在进行整式加减时注意:去括号、添括号时要随时检查符号的对错;合并同类项时只把系数相加,但不要漏掉字母和字母的指数部分.

同类项
　如果3a2b2m-1与-2a2bm+2是同类项,则m的值为(B)
A.1　　　B.3　　　C.-1　　　D.-3
根据不含某项解决问题
　若多项式x2+2kxy-5y2-2x-6xy+4中不含xy项,则k=　3　. 
变式演练　若多项式(x2-3kxy-3y2)+(13xy-8)中不含xy项,则常数k的值是 19　. 
根据多项式的次数解决问题
　已知多项式15xm+1y2+2xy2-4x3+1是六次四项式,单项式26x2ny5-m的次数与该多项式的次数相同,求(-m)3+2n的值.
解:因为多项式是六次四项式,所以m+1+2=6,
解得m=3,单项式26x2ny5-m应为26x2ny2,由题意可知2n+2=6,
解得n=2,
所以(-m)3+2n=(-3)3+2×2=-23.
方法归纳交流　根据多项式与单项式的次数与系数的确定方法,得出关于m与n的等式计算.
变式演练　已知整式(a-1)x3-2x-(a+3).
(1)若它是关于x的一次式,求a的值并写出常数项;
(2)若它是关于x的三次二项式,求a的值并写出最高次项.
解:(1)若它是关于x的一次式,则a-1=0,
所以a=1,常数项为-(a+3)=-4.
(2)若它是关于x的三次二项式,则a-1≠0,a≠1,a+3=0,
所以a=-3,所以最高次项为-4x3.
整式整体代入求值
　已知a-2b=1,2b-c=-1,c-d=2,求a-6b+5c-3d的值.
解:因为a-2b=1,2b-c=-1,c-d=2,
所以原式=a-2b-4b+2c+3c-3d=(a-2b)-2(2b-c)+3(c-d)=1+2+6=9.
变式演练　已知整式m2+m-1=0,那么整式2023-2m2-2m的值是(A)
A.2021 B.-2021
C.2025 D.-2025
图形规律问题
　人行道是由同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成的,图中的每一个小正方形表示一块地砖,如果按图①②③…的次序铺设地砖,那么图中的白色小正方形地砖的块数是(C)

A.150 B.200 C.355 D.505
变式演练　下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定的规律组成的,其中第①个图形一共有5个实心圆点,第②个图形有8个实心圆点,第③个图形有11个实心圆点,…,按此规律排列下去,第⑥个图形中的实心圆点的个数为(C)

A.18 B.19 C.20 D.21

整式化简求值
　先化简,再求值:
3a2b-2ab2-2ab-32a2b+ab+3ab2,其中a=-3,b=-2.
解:原式=3a2b-2ab2-2ab+3a2b+ab+3ab2
=6a2b+ab2-ab.
当a=-3,b=-2时,
原式=6×(-3)2×(-2)+(-3)×(-2)2-(-3)×(-2)
=6×9×(-2)+(-3)×4-6
=-108-12-6
=-126.
方法归纳交流　代数式求值问题有以下三种:①已知条件不化简,所给代数式化简;②已知条件化简,所给代数式不化简;③已知条件和所给代数式都要化简.一般化简时,根据去括号法则、合并同类项法则把原式化简,再把a、b的值代入计算.
变式演练　先化简,再求值:5b2-7a2+2(a2-b2+ab)-(2b2-6a2),其中a=-2,b=12.
解:原式=5b2-7a2+2a2-2b2+2ab-2b2+6a2
=a2+2ab+b2,
当a=-2,b=12时,
原式=a2+2ab+b2
=4+2×(-2)×12+14
=4-2+14
=94.

1.已知A=a-2ab+b2,B=a+2ab+b2.
(1)求14(B-A)的值;
(2)若3A-2B的值与a的取值无关,求b的值.
解:(1)因为A=a-2ab+b2,B=a+2ab+b2,
所以14(B-A)=14×(a+2ab+b2-a+2ab-b2)=14×4ab=ab.
(2)因为A=a-2ab+b2,B=a+2ab+b2,
所以3A-2B=3(a-2ab+b2)-2(a+2ab+b2)
=3a-6ab+3b2-2a-4ab-2b2
=a-10ab+b2
=(1-10b)a+b2,
因为3A-2B的值与a的取值无关,
所以1-10b=0,
即b=110.
2.已知A、B分别是关于x和y的多项式,一同学在计算多项式2A-B结果的时候,不小心把表示A的多项式弄脏了,现在只知道B=2y2+3ay+2y-3,2A-B=-4y2-ay-2y+1.
(1)请根据仅有的信息试求出A表示的多项式.
(2)若多项式A+2B中不含y项,求a的值.
解:(1)2A=(2y2+3ay+2y-3)+(-4y2-ay-2y+1)
=2y2+3ay+2y-3-4y2-ay-2y+1
=-2y2+2ay-2,
所以A=-y2+ay-1.
(2)A+2B
=(-y2+ay-1)+2(2y2+3ay+2y-3)
=-y2+ay-1+4y2+6ay+4y-6
=3y2+(7a+4)y-7,
由题意可知7a+4=0,
所以a=-47.
3.如图,同样大小的菱形按照一定的规律排列,其中第①个图形中一共有3个菱形,第②个图形中一共有7个菱形,第③个图形中一共有13个菱形,…,按此规律排列下去,第⑦个图形中菱形的个数为　57　. 

4.如图,同样大小的圆按一定的规律排列,其中第1个图形中一共有4个圆,第2个图形中一共有8个圆,第3个图形中一共有14个圆,第4个图形中一共有22个圆……按此规律排列下去,第9个图形中圆的个数是　92　.