湖北省武汉市光谷实验中学2023-2024学年九年级上学期9月月考数学试题（含答案）

光谷实验中学2023－2024学年度九年级上学期9月月考

数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．下列方程是一元二次方程的是（）

A．x2－2y＝0 B．＋x＝2 C．x2＋2x＝x2＋1 D．2－x2＝0

2．方程x2－x－2＝0的根的情况是（）

A．有两个不等实根 B．有两个相等实根

C．无实根 D．以上三种情况都有可能

3．某厂四月份生产零件60万个，第二季度共生产零件282万个，设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）

A．60(1＋x)2＝282 B．60＋60(1＋x)＋60(1＋x2)＝282

C．60(1＋2x)＝282 D．60＋60(1＋x)＋60(1＋x)2＝282

4．二次函数y＝－3x2＋2的顶点坐标是（）

A．(2，0) B．(－2，0) C．(0，2) D．(0，－2)

5．已知m、n是方程x2＋x－2023＝0两根，则m2＋2m＋n的值（）

A．2023 B．2024 C．2022 D．无法确定

6．已知点(−4，y1)、(−1，y2)、(2，y3)都在函数y＝－x2＋5的图象上，则y1、y2、y3的大小关系

为（）

A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2

7．若x1，x2是关于x的方程x2＋bx−2b＝0的两个根，且x12＋x22＝12，则b的值为（）

A．2 B．−6 C．2或−6 D．6或−2

8．已知关于x的方程(m2－1)x2＋(2m－2)x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是（）

A．m＜1 B．m≤1 C．m＜1且m≠−1 D．m≠±1

9．在直角坐标系xOy中，已知点P(m，n)，m，n满足(m2＋1＋n2)(m2＋3＋n2)＝8，则OP的长为（）

A． B．1 C．5 D．或1

10．已知关于的一元二次方程x2＋cx＋a＝0的两个整数根恰好比方程x2＋ax＋b＝0的两个根都大1，则a＋b＋c的值为（）

A．3或－3 B．－3或29 C．3或－29 D．3或29

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

11．若x＝2是方程x2－6x＋m＋2＝0的一个根，则方程的另一个根是______________．

12．若y＝（a－3）x|a|－1＋5x是二次函数，则a＝________．

13．某种植物主干长出若干数目的枝干，每个分支又长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分支的总数是73，每个枝干长出小分支．

14．关于x的一元二次方程x2＋mx＋4＝0有两个相等的实数根，则m的值为 ．

15．下列说法：

①若一元二次方程x2＋bx＋a＝0有一个根是a（a≠0），则代数式a＋b的值是－1；

②若b2＞6ac，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0一定有两个不相等的实数根；

③若b＝a＋2c，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0一定有两个不相等的实数根；

④已知两实数m，n满足m2＋3m－9＝0，n2＋3n－9＝0，且m≠n，则＋的值为－3．

其中正确的有（只需填序号）．

16．如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y＝－x＋2上的一个动点，将Q绕点P（1，0）顺时针旋转90°，得到点Q'，连接OQ'，则OQ'的最小值为__________．

三、解答题（共72分）

17．用你喜欢的方法解下列一元二次方程

（1）（2x－1）2－4＝0 （2）2x2－4x－7＝0

18．关于x的方程x2－2mx＋m2－m＝0有两个实数根．

（1）求实数m的取值范围；

（2）设该方程的两个实数根分别为x1，x2，若＋，求m的值．

19．某种商品的标价为200元/件，由于疫情的影响，销量不佳，店家经过两次降价后的价格为128元/件，并且两次降价的百分率相同．

（1）求该种商品每次降价的百分率；

（2）若该种商品进价为80元/件，若以128元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种费用100元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天盈利1475元，每件应降价多少元？

20．如图，△ABC的顶点均为格点，AC与网格线交于点D．仅用无刻度尺的直尺在网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．

（1）如图1，画出△ABC的角平分线CE；

（2）如图1，平移AB至DN，使点A的对应点为点D；

（3）如图2，在AB上找一点G，使DG＋CG最小；

（4）如图3，AB与网格线交于点E，过点E作EQ⊥AC于Q．

21．若一个函数的解析式等于另两个函数解析式的和，则这个函数称为另两个函数的“生成函数”．现有关于x的两个二次函数y1，y2，且y1＝a（x－m）2＋4（m＞0），y1，y2的“生成函数”为：y＝x2＋4x＋14；当x＝m时，y2＝15；二次函数y2的图象的顶点在y轴上．

（1）求m的值；

（2）求二次函数y1，y2的解析式．

22．如图，在矩形ABCD中，AB＝a，AD＝b(a＞b)．

（1）若a，b为方程x2－mx＋m－1＝0的两根，且BD＝，求m的值；

（2）在（1）的条件下，P为CD上一点（异于C、D两点），P在什么位置时，△APB是直角三角形？

（3）P为直线上的一动点（异于C、D两点），当a，b满足什么条件时，使△APB为直角三角形的P点有且只有一个？请直接写出a，b满足的数量关系．

23．如图，△ABC中，AB＝AC，∠DAE的边AD、AE分别交直线BC于点D、E（D在E的左边），∠BAC＝2∠DAE＝α；

（1）如图1，若α＝120°，AB＝12，当点D与点B重合时，△ADE的面积为___________；

（2）若α＝90°，BC＝12，BD和CE的长度分别是方程x2−7x＋m＝0的两根，请在图2中画出图形并求△ADE面积；

（3）如图3，若α＝60°，D、E分别在点C的两侧，CD＝3，CE＝4，直接写出BD的长____________．

图1 图2

 图2备用 图3

24．如图，抛物线y1＝ax2经过点A（－2，m）、B（1，2），直线AB交x轴于点C．

（1）直线AB的解析式为__________________，点C的坐标是____________；

（2）直线AB上有点M，点M是否存在某个位置使MA＋MC＝6？若存在，请求出M的坐标，若不存在，请说理由；

（3）平面内有抛物线y2，且抛物线y2向上平移4个单位可与抛物线y1重合，在抛物线y2上有一动点N，△ABN的面积为S，若点N符合条件的位置有且只有3个，求S的值．