2024荆州沙中学高二上学期9月月考数学试题含解析

2023—2024学年度上学期2022级

9月月考数学试卷

命题人：冯韵      审题人：郑华

考试时间：2023年9月14日

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 用简单随机抽样的方法从含有个个体的总体中抽取一个容量为的样本，其中某一个体“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是（    ）

A. 、 B. 、

C. 、 D. 、

2. 已知为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是（    ）

A. ，， B. ，，

C. ，， D. ，，

3. 已知两个向量，，且，则的值为（    ）

A 1 B. 2 C. 4 D. 8

4. 已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（    ）

A  B.  C.  D.

5. 如图，元件通过电流的概率均为0．9，且各元件是否通过电流相互独立，则电流能在M，N之间通过的概率是

A. 0．729 B. 0．8829 C. 0．864 D. 0．9891

6. 同时抛掷两颗骰子，观察向上的点数，记事件“点数之和为7”，事件“点数之和为3的倍数”，则（    ）

A. 为不可能事件 B. 与为互斥事件

C. 为必然事件 D. 与为对立事件

7. 袋子里装有形状大小完全相同的4个小球，球上分别标有数字1，2，3，4，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，A表示事件“第一次取出的球上数字是1”，表示事件“第二次取出的球上数字是2”，表示事件“两次取出的球上数字之和是5”，表示事件“两次取出的球上数字之和是6”，通过计算，则可以得出（    ）

A. 与相互独立 B. 与相互独立 C. 与相互独立 D. 与相互独立

8. 在边长为1菱形ABCD中，，将沿对角线AC折起得三棱锥. 当三棱锥体积最大时，此三棱锥的外接球的表面积为（      ）

A.  B.  C.  D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 下列说法正确的是（    ）

A. 若空间中的，，，满足，则，，三点共线

B. 空间中三个向量，，，若，则，，共面

C. 对空间任意一点和不共线三点，，，若，则，，，四点共面

D. 设是空间的一组基底，若，，则不能为空间的一组基底

10. 已知空间向量，则下列选项中正确的是（    ）

A. 当时， B. 当时，

C. 当时， D. 当时，

11. 如图，正方体的棱长为，点为底面的中心，点为侧面内（不含边界）的动点，则（    ）

A.

B. 存在一点，使得

C. 三棱锥的体积为

D. 若，则面积的最小值为

12. 已知长方体的棱，，点满足：，、、，下列结论正确的是（    ）

A. 当，时，到的距离为

B. 当时，点的到平面的距离的最大值为1

C. 当，时，直线与平面所成角的正切值的最大值为

D. 当，时，四棱锥外接球的表面积为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外的任意一点，若点P在平面ABC内，且，则实数______________．

14. 如图，在二面角中，且，垂足分别为A，B，已知，，则二面角所成平面角为______．

15. 如图，在三棱锥中，，平面ABC，于点E，M是AC的中点，，则的最小值为______．

16. 中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，，，若鳖臑的外接球的体积为，则阳马的外接球的表面积等于______.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．

17. 在中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足.

（1）求B；

（2）若，且的面积为，是的中线，求的长.

18. 某市为了了解人们对“中国梦”伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有20人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图.

（1）根据频率分布直方图，估计这20人的平均年龄和第80百分位数；

（2）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，求这20人中35~45岁所有人的年龄的方差.

19. 为了普及垃圾分类知识，某校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为q（），且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知每题甲、乙两人同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为．

（1）求p和q的值；

（2）求甲、乙两人共答对3道题的概率．

20. 我省从2021年开始，高考不分文理科，实行“3+1+2”模式，其中“3”指的是语文、数学，外语这3门必选科目，“1”指的是考生需要在物理、历史这2门首选科目中选择1门，“2”指的是考生需要在思想政治、地理、化学、生物这4门再选科目中选择2门。已知福建医科大学临床医学类招生选科要求是首选科目为物理，再选科目为化学、生物至少1门。

（1）从所有选科组合中任意选取1个，求该选科组合符合福建医科大学临床医学类招生选科要求的概率；

（2）假设甲、乙、丙三人每人选择任意1个选科组合是等可能的，求这三人中恰好有一人的选科组合符合福建医科大学临床医学类招生选科要求的概率.

21. 如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，，分别是的中点．

（1）证明：；

（2）若为上的动点，与平面所成最大角的正弦值为，求二面角的余弦值.

22. 如图，在矩形ABCD中，，，M是线段AD上的一动点，将沿着BM折起，使点A到达点的位置，满足点平面且点在平面内的射影E落在线段BC上.

（1）当点M与端点D重合时，证明：平面；

（2）求三棱锥的体积的最大值；

（3）设直线CD与平面所成的角为，二面角的平面角为，求的最大值.