河南省信阳市罗山县彭新镇一中2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷

这是一份河南省信阳市罗山县彭新镇一中2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

河南省信阳市罗山县彭新一中2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷（解析版）
一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的.）
1．（3分）若方程（m﹣1）x2+x＝1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（　　）
A．m≠1 B．m≥0
C．m≥0且m≠1 D．m为任意正实数
2．（3分）一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0配方后可变形为（　　）
A．（x+4）2＝17 B．（x+4）2＝15 C．（x﹣4）2＝17 D．（x﹣4）2＝15
3．（3分）方程x2﹣3＝0的根是（　　）
A．x＝3 B．x1＝3，x2＝﹣3
C． D．
4．（3分）已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1＝0，当b＜0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是（　　）
A．b＝﹣1 B．b＝2 C．b＝﹣2 D．b＝0
5．（3分）下列关于x的一元二次方程中，有两个相等实数根的是（　　）
A．x2+1＝0 B．x2+x﹣1＝0 C．x2+2x﹣3＝0 D．4x2﹣4x+1＝0
6．（3分）若x1＝﹣1是关于x的方程x2+mx﹣5＝0的一个根，则此方程的另一个根x2＝（　　）
A．﹣5 B． C．5 D．﹣
7．（3分）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2＝0的两根，下列结论一定正确的是（　　）
A．x1≠x2 B．x1+x2＞0 C．x1•x2＞0 D．x1＜0，x2＜0
8．（3分）菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长为方程y2﹣7y+10＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（　　）
A．8 B．20 C．8或20 D．10
9．（3分）今年我市计划扩大城区绿地面积，现有一块长方形绿地，它的短边长为60m（长边不变），使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加1600m2．设扩大后的正方形绿地边长为xm，下面所列方程正确的是（　　）
A．x（x﹣60）＝1600 B．x（x+60）＝1600
C．60（x+60）＝1600 D．60（x﹣60）＝1600
10．（3分）有一个两位数，它的数字和等于8，交换数字位置后，则原来的两位数为（　　）
A．26 B．62 C．26或62 D．以上均不对
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两根为x1＝1，x2＝2，则x2+bx+c分解因式的结果为　 　．
12．（3分）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣mx+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　 　．
13．（3分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣5x+a＝0的两个实数根，且x12﹣x22＝10，则a＝　 　．
14．（3分）一个三角形的两边长为3和4，若第三边长是方程x2﹣8x+15＝0的一个根，则这个三角形的形状为 　 　，面积为 　 　．
15．（3分）以下是龙湾风景区旅游信息：
旅游人数
收费标准
不超过30人
人均收费80元
超过30人
每增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于50元
根据以上信息，某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社2800元．从中可以推算出该公司参加旅游的人数为　 　．
三、解答题
16．用适当的方法解下列方程．
（1）x2﹣2x＝2x+1；
（2）x2﹣2x＝3；
（3）（x﹣1）（x+3）＝12；
（4）（2y+1）2+3（2y+1）+2＝0．
17．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2＝0．
（1）求证：不论m为何值，方程总有实数根；
（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根？
18．如图所示，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修建两条同样宽的道路，若耕地面积需要551m2，求修建的路宽为多少？

19．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
20．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，猪舍面积为80m2？

21．水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，张阿姨决定降价销售．
（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是　 　斤（用含x的代数式表示）；
（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？
22．“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为优选品种，提高产量，某农业科技小组对A，B两个品种各种植了10亩．收获后A，B两个品种的售价均为2.4元/kg，A，B两个品种全部售出后总收入为21600元．
（1）请求出A，B两个品种去年平均亩产量分别是多少？
（2）今年，科技小组加大了小麦种植的科研力度，在A，预计A，B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%．由于B品种深受市场的欢迎，而A品种的售价不变．A，B两个品种全部售出后总收入将在去年的基础上增加
23．手机下载一个APP，缴纳一定数额的押金，就能以每小时0.5到1元的价格解锁一辆自行车任意骑行…最近的网红非“共享单车”莫属．共享单车为解决市民出行的“最后一公里”难题帮了大忙，随意停放、加装私锁、大卸八块等毁坏单车的行为也层出不穷．某共享单车公司一月投入部分自行车进入市场，一月底发现损坏率不低于10%，使可使用的自行车达到7500辆．
（1）一月份该公司投入市场的自行车至少有多少辆？
（2）二月份的损坏率达到20%，进入三月份，该公司新投入市场的自行车比二月份增长4a%，毁坏共享单车的行为引起了一场国民素质的大讨论，三月份的损坏率下降为，三月底可使用的自行车达到7752辆，求a的值．

参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的.）
1．（3分）若方程（m﹣1）x2+x＝1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（　　）
A．m≠1 B．m≥0
C．m≥0且m≠1 D．m为任意正实数
【分析】根据一元二次方程的定义进行解答．
【解答】解：依题意得：m﹣1≠0，
解得m≠2．
故选：A．
【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
2．（3分）一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0配方后可变形为（　　）
A．（x+4）2＝17 B．（x+4）2＝15 C．（x﹣4）2＝17 D．（x﹣4）2＝15
【分析】先移项，再两边配上一次项系数一半的平方可得．
【解答】解：∵x2﹣8x﹣3＝0，
∴x2﹣7x＝1，
∴x2﹣5x+16＝1+16，即（x﹣4）3＝17，
故选：C．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
3．（3分）方程x2﹣3＝0的根是（　　）
A．x＝3 B．x1＝3，x2＝﹣3
C． D．
【分析】这个式子先移项，变成x2＝3，从而把问题转化为3的平方根．
【解答】解：移项得x2＝3，
∴x＝±．
故选：D．
【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．
4．（3分）已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1＝0，当b＜0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是（　　）
A．b＝﹣1 B．b＝2 C．b＝﹣2 D．b＝0
【分析】先根据判别式得到Δ＝b2﹣4，在满足b＜0的前提下，取b＝﹣1得到Δ＜0，根据判别式的意义得到方程没有实数解，于是b＝﹣1可作为说明这个命题是假命题的一个反例．
【解答】解：Δ＝b2﹣4，由于当b＝﹣5时，而Δ＜0，所以当b＝﹣1时．
故选：A．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了根的判别式．
5．（3分）下列关于x的一元二次方程中，有两个相等实数根的是（　　）
A．x2+1＝0 B．x2+x﹣1＝0 C．x2+2x﹣3＝0 D．4x2﹣4x+1＝0
【分析】逐一求出四个选项中方程的判别式△的值，由此即可得出结论．
【解答】解：A、在方程x2+1＝2中，Δ＝02﹣5×1×1＝﹣6＜0，
∴此方程无解；
B、在方程x2+x﹣7＝0中，Δ＝13﹣4×1×（﹣4）＝5＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根；
C、在方程x8+2x﹣3＝7中，Δ＝22﹣2×1×（﹣3）＝16＞7，
∴此方程有两个不相等的实数根；
D、在方程4x2﹣7x+1＝0中，Δ＝（﹣4）2﹣4×6×1＝0，
∴此方程有两个相等的实数根．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
6．（3分）若x1＝﹣1是关于x的方程x2+mx﹣5＝0的一个根，则此方程的另一个根x2＝（　　）
A．﹣5 B． C．5 D．﹣
【分析】设方程的另一根为x2，由一个根为x1＝﹣1，利用根与系数的关系求出两根之积，列出关于x2的方程，求出方程的解得到x2的值，即为方程的另一根．
【解答】解：∵x1＝﹣1是关于x的方程x2+mx﹣5＝0的一个根，设另一个为x2，
∴﹣1•x2＝﹣4，
解得：x2＝5，
则方程的另一根是x5＝5．
故选：C．
【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
7．（3分）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2＝0的两根，下列结论一定正确的是（　　）
A．x1≠x2 B．x1+x2＞0 C．x1•x2＞0 D．x1＜0，x2＜0
【分析】A、根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＞0，由此即可得出x1≠x2，结论A正确；
B、根据根与系数的关系可得出x1+x2＝a，结合a的值不确定，可得出B结论不一定正确；
C、根据根与系数的关系可得出x1•x2＝﹣2，结论C错误；
D、由x1•x2＝﹣2，可得出x1、x2异号，结论D错误．
综上即可得出结论．
【解答】解：A∵Δ＝（﹣a）2﹣4×4×（﹣2）＝a2+5＞0，
∴x1≠x3，结论A正确；
B、∵x1、x2是关于x的方程x4﹣ax﹣2＝0的两根，
∴x2+x2＝a，
∵a的值不确定，
∴B结论不一定正确；
C、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2＝6的两根，
∴x1•x2＝﹣6，结论C错误；
D、∵x1•x2＝﹣8，
∴x1、x2异号，结论D错误．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
8．（3分）菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长为方程y2﹣7y+10＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（　　）
A．8 B．20 C．8或20 D．10
【分析】边AB的长是方程y2﹣7y+10＝0的一个根，解方程求得y的值，根据菱形ABCD的一条对角线长为6，根据三角形的三边关系可得出菱形的边长，即可求得菱形ABCD的周长．
【解答】解：∵解方程y2﹣7y+10＝2得：y＝2或5
∵对角线长为2，2+2＜2；
∴菱形的边长为5．
∴菱形ABCD的周长为4×7＝20．
故选：B．
【点评】本题考查菱形的性质，由于菱形的对角线和两边组成了一个三角形，根据三角形三边的关系来判断出菱形的边长是多少，然后根据题目中的要求进行解答即可．
9．（3分）今年我市计划扩大城区绿地面积，现有一块长方形绿地，它的短边长为60m（长边不变），使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加1600m2．设扩大后的正方形绿地边长为xm，下面所列方程正确的是（　　）
A．x（x﹣60）＝1600 B．x（x+60）＝1600
C．60（x+60）＝1600 D．60（x﹣60）＝1600
【分析】设扩大后的正方形绿地边长为xm，根据“扩大后的绿地面积比原来增加1600m2”建立方程即可．
【解答】解：设扩大后的正方形绿地边长为xm，根据题意得
x2﹣60x＝1600，即x（x﹣60）＝1600．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是弄清题意，并找到等量关系．
10．（3分）有一个两位数，它的数字和等于8，交换数字位置后，则原来的两位数为（　　）
A．26 B．62 C．26或62 D．以上均不对
【分析】首先设原两位数个位数字为x，则十位数字为8﹣x，则原来的两位数是10（8﹣x）+x，交换数字位置后得到的新的两位数是10x+8﹣x，再根据新的两位数与原两位数之积为1612列出方程，再解即可．
【解答】解：设原两位数个位数字为x，则十位数字为8﹣x
[10（8﹣x）+x][10x+3﹣x]＝1612，
解得：x1＝6，x3＝2，
当x＝6时，7﹣x＝2，
当x＝2时，4﹣x＝6，
则原来的两位数为62或26，
故选：C．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两根为x1＝1，x2＝2，则x2+bx+c分解因式的结果为　（x﹣1）（x﹣2）　．
【分析】已知了方程的两根，可以将方程化为：a（x﹣x1）（x﹣x2）＝0（a≠0）的形式，对比原方程即可得到所求代数式的因式分解的结果．
【解答】解：已知方程的两根为：x1＝1，x4＝2，可得：
（x﹣1）（x﹣7）＝0，
∴x2+bx+c＝（x﹣4）（x﹣2）．
【点评】一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c是常数），若方程的两根是x1和x2，则ax2+bx+c＝a（x﹣x1）（x﹣x2）
12．（3分）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣mx+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　m≠2且m≠1　．
【分析】若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．还要注意二次项系数不为0．
【解答】解：∵方程为一元二次方程，
∴（m﹣1）≠0，即m≠3，
∵方程有两个不相等实数根，
∴Δ＝（﹣m）2﹣4（m﹣5）＝（m﹣2）2＞8，
∴m≠2，
综合得m≠1且m≠7．
故答案为：m≠1且m≠2．
【点评】总结：（1）一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
①Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
②Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；
③Δ＜0⇔方程没有实数根．
（2）一元二次方程的二次项系数不为0．
13．（3分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣5x+a＝0的两个实数根，且x12﹣x22＝10，则a＝　　．
【分析】由两根关系，得根x1+x2＝5，x1•x2＝a，解方程得到x1+x2＝5，即x1﹣x2＝2，即可得到结论．
【解答】解：由两根关系，得根x1+x2＝3，x1•x2＝a，
由x82﹣x22＝10得（x1+x2）（x2﹣x2）＝10，
若x1+x3＝5，即x1﹣x4＝2，
∴（x1﹣x3）2＝（x1+x3）2﹣4x3•x2＝25﹣4a＝4，
∴a＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
14．（3分）一个三角形的两边长为3和4，若第三边长是方程x2﹣8x+15＝0的一个根，则这个三角形的形状为 　等腰三角形或直角三角形　，面积为 　或6　．
【分析】首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理，确定第三边的长，进而求其周长和面积．
【解答】解：解方程x2﹣8x+15＝2，得x1＝3，x3＝5，即第三边的边长为3或4．
∵1＜第三边的边长＜7，
∴第三边的边长为8或5．
当x＝5时，
又42+46＝52，∴此三角形是直角三角形，
∴这个三角形的面积是：×3×8＝6．
当x＝3时，此三角形是等腰三角形，
等腰三角形的高为＝，
此等腰三角形的面积为×4×；
故答案为：等腰三角形或直角三角形，或7．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了三角形三边的关系．
15．（3分）以下是龙湾风景区旅游信息：
旅游人数
收费标准
不超过30人
人均收费80元
超过30人
每增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于50元
根据以上信息，某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社2800元．从中可以推算出该公司参加旅游的人数为　40　．
【分析】首先确定是否超过三十人，然后设参加这次旅游的人数为x人，根据总费用为2800元列出一元二次方程求解即可．
【解答】解：（因为30×80＝2400＜2800，所以人数超过30人；
设参加这次旅游的人数为x人，依题意可知：x[80﹣（x﹣30）]＝2800
解之得，x＝40或x＝70，
当x＝70时，80﹣（x﹣30）＝80﹣40＝40＜50，
 即：参加这次旅游的人数为40人．
故答案为：40．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，此类题目贴近生活，有利于培养学生应用数学解决生活中实际问题的能力．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
三、解答题
16．用适当的方法解下列方程．
（1）x2﹣2x＝2x+1；
（2）x2﹣2x＝3；
（3）（x﹣1）（x+3）＝12；
（4）（2y+1）2+3（2y+1）+2＝0．
【分析】（1）利用配方法求解求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可；
（3）利用因式分解法求解即可；
（4）利用因式分解法求解可得．
【解答】解：（1）x2﹣2x＝5x+1，
x2﹣2x＝1，
x2﹣7x+4＝1+4，即）（x﹣2）2＝3，
∴x﹣2＝±，
∴x6＝2+，x5＝2﹣；
（2）x6﹣2x＝3，
x4﹣2x﹣3＝7，
（x﹣3）（x+1）＝4，
∴x﹣3＝0或x+7＝0，
∴x1＝8，x2＝﹣1；
（3）（x﹣7）（x+3）＝12，
x2+4x﹣15＝0，
（x+5）（x﹣3）＝0，
∴x+5＝4或x﹣3＝0，
∴x3＝﹣5，x2＝4；
（4）（2y+1）3+3（2y+6）+2＝0，
（7y+1+2）（8y+1+1）＝2，
∴2y+3＝4或2y+2＝5，
∴y1＝﹣，y2＝﹣1．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解．
17．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2＝0．
（1）求证：不论m为何值，方程总有实数根；
（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根？
【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案．
（2）根据因式分解法可求出方程的两根，根据题意给出的条件即可求出m的值．
【解答】（1）证明：Δ＝（m+2）2﹣6m＝（m﹣2）2≥8，
∵m≠0，
∴当m取任何值时，方程总有实数根．
（2）解：mx2﹣（m+4）x+2＝0，
∴（x﹣3）（mx﹣2）＝0，
∴x＝6或x＝，
由题意可知：m≠2且m≠3且m≠﹣1，
由题意可知：m＝1．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
18．如图所示，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修建两条同样宽的道路，若耕地面积需要551m2，求修建的路宽为多少？

【分析】可以把两条互相垂直的小路平移到矩形两边上，这样便于表达耕地的长（30﹣x）m，宽260﹣x）m，根据耕地的面积可以列出方程，再解方程即可．
【解答】解：设修建的路宽为xm，依题意得：
（30﹣x）（20﹣x）＝551，
解得：x1＝1，x5＝49（不合题意，舍去）．
答：修建的路宽为1m．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是利用平移表示出耕地的长和宽，再根据耕地的面积列出方程．
19．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【分析】（1）把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，整理得a＝b，从而可判断三角形的形状；
（2）根据判别式的意义得Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，然后根据勾股定理可判断三角形的形状；
（3）利用等边三角形的性质得a＝b＝c，方程化为x2+x＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形；
理由：把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝5，则a＝b；
（2）△ABC为直角三角形；
理由：根据题意得Δ＝（2b）2﹣7（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c4＝a2，所以△ABC为直角三角形；
（3）∵△ABC为等边三角形，
∴a＝b＝c，
∴方程化为x2+x＝6，解得x1＝0，x5＝﹣1．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
20．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，猪舍面积为80m2？

【分析】设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m．根据矩形的面积公式建立方程求出其解就可以了．
【解答】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m，由题意得
x（25﹣4x+1）＝80，
化简，得x2﹣13x+40＝6，
解得：x1＝5，x8＝8，
当x＝5时，26﹣3x＝16＞12（舍去），26﹣2x＝10＜12，
答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m．
【点评】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用及一元二次方程的解法的运用，解答时寻找题目的等量关系是关键．
21．水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，张阿姨决定降价销售．
（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是　（100+200x）　斤（用含x的代数式表示）；
（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？
【分析】（1）销售量＝原来销售量+下降销售量，据此列式即可；
（2）根据销售量×每斤利润＝总利润列出方程求解即可．
【解答】解：（1）将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是100+；

（2）根据题意得：（4﹣2﹣x）（100+200x）＝300，
解得：x＝或x＝1，
当x＝时，销售量是100+200×；
当x＝4时，销售量是100+200＝300（斤）．
∵每天至少售出260斤，
∴x＝1．
答：张阿姨需将每斤的售价降低1元．
【点评】本题考查理解题意的能力，第一问关键求出每千克的利润，求出总销售量，从而利润．第二问，根据售价和销售量的关系，以利润作为等量关系列方程求解．
22．“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为优选品种，提高产量，某农业科技小组对A，B两个品种各种植了10亩．收获后A，B两个品种的售价均为2.4元/kg，A，B两个品种全部售出后总收入为21600元．
（1）请求出A，B两个品种去年平均亩产量分别是多少？
（2）今年，科技小组加大了小麦种植的科研力度，在A，预计A，B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%．由于B品种深受市场的欢迎，而A品种的售价不变．A，B两个品种全部售出后总收入将在去年的基础上增加
【分析】（1）设A、B两个品种去年平均亩产量分别是x千克和y千克；根据题意列方程组即可得到结论；
（2）根据题意列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）设A、B两个品种去年平均亩产量分别是x千克和y千克；
根据题意得，，
解得：，
答：A、B两个品种去年平均亩产量分别是400千克和500千克；
（2）2.4×400×10（1+a%）+8.4（1+a%）×500×10（3+2a%）＝21600（1+a%），
解得：a1＝0（不合题意，舍去），a3＝10，
答：a的值为10．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，二元一次方程组的应用，正确的理解题意是解题的关键．
23．手机下载一个APP，缴纳一定数额的押金，就能以每小时0.5到1元的价格解锁一辆自行车任意骑行…最近的网红非“共享单车”莫属．共享单车为解决市民出行的“最后一公里”难题帮了大忙，随意停放、加装私锁、大卸八块等毁坏单车的行为也层出不穷．某共享单车公司一月投入部分自行车进入市场，一月底发现损坏率不低于10%，使可使用的自行车达到7500辆．
（1）一月份该公司投入市场的自行车至少有多少辆？
（2）二月份的损坏率达到20%，进入三月份，该公司新投入市场的自行车比二月份增长4a%，毁坏共享单车的行为引起了一场国民素质的大讨论，三月份的损坏率下降为，三月底可使用的自行车达到7752辆，求a的值．
【分析】（1）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得一月份该公司投入市场的自行车至少有多少辆；
（2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得a的值．
【解答】解：（1）设一月份该公司投入市场的自行车x辆，
x﹣（7500﹣1200）≥10%x，
解得，x≥7000，
答：一月份该公司投入市场的自行车至少有7000辆；
（2）由题意可得，
[7500×（1﹣20%）+1200（1+8a%）]（1﹣a%）＝7752，
化简，得
a2﹣250a+4600＝0，
解得：a8＝230，a2＝20，
∵，
解得，a＜80，
∴a＝20，
答：a的值是20．
【点评】本题考查一元二次方程、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用方程的思想和不等式的性质解答．