湖北省黄冈市2023-2024学年高三数学上学期9月调研考试试题（Word版附解析）

黄冈市2023年高三年级9月调研考试

数学试题

黄冈市教育科学研究院命制

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）

1. 已知全集为，集合，满足，则下列运算结果为的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由题意作出Venn图，再由集合的运算逐一判断即可

【详解】全集，集合，满足，绘制Venn图，如下：

对于A：，A错误；

对于B：，B错误；

对于C：，C错误；

对于D：，D正确.

故选：D.

2. 若复数，则（    ）

A. 0 B.  C. 1 D. 2

【答案】A

【解析】

【分析】根据等比数列的求和公式以及的周期性即可求解.

【详解】，

故选：A

3. 已知数列是正项等比数列，数列满足.若，（    ）

A. 24 B. 32 C. 36 D. 40

【答案】C

【解析】

【分析】利用等比数列的性质，结合对数的运算法则即可得解.

【详解】因为是正项等比数列，，

所以，则，

所以

.

故选：C.

4. 柯西不等式（Cauchy—SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时即时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】运用柯西不等式直接求解即可.

【详解】该函数的定义域为，由柯西不等式可得：

，

当且仅当时取等号，即当时取等号，

故选：A

5. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由，结合诱导公式、二倍角余弦公式可得，即可求值.

【详解】由题意有：，

∴，又，

∴.

故选：A.

6. 已知函数在内单调递减，是函数的一条对称轴，且函数为奇函数，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用正弦型函数的对称性、奇偶性、单调性进行求解即可.

【详解】因为函数在内单调递减，是函数的一条对称轴，

所以有，

所以，

因为是奇函数，

所以，由可得：，

而，所以，

当时，，

因为，所以，

即，

当时，，显然此时函数单调递减，符合题意，

所以；

当时，，

因为，所以，

即，

当时，，显然此时函数不是单调递减函数，不符合题意，

故选：D

7. 在中，，，，则的面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由正弦定理求出，进而得到，，从而求出，利用三角形面积公式求出答案.

【详解】由正弦定理得，

因为，，，

所以，故，

则，

因为，

所以，，

故，

故.

故选：D

8. 已知函数及其导函数定义域均为，记，且，为偶函数，则（    ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】C

【解析】

【分析】对两边同时求导，结合函数的周期和偶函数的性质进行求解即可.

【详解】因为为偶函数，，

所以，

对两边同时求导，得，所以有

所以函数的周期为，

在中，令，所以，

因此，

因为为偶函数，

所以有，

，

由可得：，

所以，

故选：C

【点睛】关键点睛：本题的关键是对两边同时求导，再利用赋值法进行求解.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 以下说法正确的有（    ）

A. “”是“”的必要不充分条件

B. 命题“，”的否定是“，”

C. “”是“”的充分不必要条件

D. 设，，则“”是“”的必要不充分条件

【答案】CD

【解析】

【分析】根据充分、必要条件、存在量词命题的否定等知识确定正确答案.

【详解】A选项，，解得，

所以“”是“”的充分不必要条件，A选项错误.

B选项，因为由，得，即，

命题“，”的否定是“，”，所以B选项错误.

C选项，；

所以，所以“”是“”的充分不必要条件，

所以C选项正确.

D选项，由于，所以“”是“”的必要不充分条件，

所以D选项正确.

故选：CD

10. 已知，则下列选项正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据对数运算、基本不等式等知识确定正确答案.

【详解】依题意，，则，，

所以，

所以，所以A选项正确.

，所以B选项正确.

，

则，所以，所以C选项正确.

，

所以

，所以D选项错误.

故选：ABC

11. 设数列前项和为，满足，且，则下列选项正确的是（    ）

A.

B. 数列为等差数列

C. 当时有最大值

D. 设，则当或时数列的前项和取最大值

【答案】ABD

【解析】

【分析】A选项，根据求出为等差数列，公差为，首项为，得到通项公式；B选项，计算出，得到，从而得到，得到B正确；C选项，根据及二次函数的最值得到C错误；D选项，先得到时，，，，当时，，且，得到结论.

【详解】A选项，当时，，

又，解得，

当时，①，

②，①-②得，

，

即，故，

因为，所以不能对任意的恒成立，

故，

所以，

故为等差数列，公差为，首项为，

所以通项公式为，A正确；

B选项，，

故，则当时，，

故为等差数列，B正确；

C选项，，

故当时，取得最大值，C错误；

D选项，令得，令得，

则当时，，

当时，，当时，，

当时，，

又，，

则当或时数列的前项和取最大值，D正确.

故选：ABD

12. 点，分别是的外心､垂心，则下列选项正确的是（    ）

A 若且，则

B. 若，且，则

C. 若，，则的取值范围为

D. 若，则

【答案】BCD

【解析】

【分析】A.根据向量的运算以及基本定理的推理，确定点的位置，即可判断A；B.根据条件，确定的形状，即可判断B；C.建立坐标系，将利用三角函数表示，根据三角函数的性质，即可判断C；根据垂心的性质，得，再结合数量积公式，即可求解.

【详解】A.由，可知，点共线，

又可知，点在的角平分线上，

所以为的角平分线，与不一定相等，故A错误；

B.若，则点是的中点，点又是的外心，

所以，，故B正确；

C. 因为，所以，如图，建立平面直角坐标系，

设，，，

因为，所以，

得，，

，，

，，则，故C正确；

D.因为，所以，

即，则，

同理，，所以，

设，

因为，所以，

即，则，

，即，

则，

，，故D正确.

故选：BCD

【点睛】关键点点睛：本题考查向量数量积公式的应用，以及垂心，外心的综合应用问题，本题的C选项的关键是转化为三角函数表示点的坐标，利用三角函数即可求解，D选项的关键是公式的应用.

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 若向量，满足，，且，则与的夹角为___________.

【答案】

【解析】

【分析】利用平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可.

【详解】由，

由，

因为，所以

故答案为：

14. 若“使”为假命题，则实数的取值范围为___________.

【答案】

【解析】

【分析】将问题转化为“在上恒成立”，再利用对勾函数的单调性求得最值，从而得解.

【详解】因为“使”为假命题，

所以“，”为真命题，

其等价于上恒成立，

又因对勾函数在上单调递减，在上单调递增，

而，所以，

所以，即实数的取值范围为.

故答案为：.

15. 设矩形的周长为12，把沿向折叠，折后交于点，则的面积最大值为___________.

【答案】

【解析】

【分析】作图，令折叠后对应为，且()，易得，再设且，勾股定理列方程得，最后应用三角形面积公式、基本不等式求面积最大值，注意取值条件.

【详解】如下图，折叠后对应为，令且，则，

由图知：，，，则，

所以，而，

令且，则，

所以，则，

则，

当且仅当时等号成立，

所以的面积最大值为.

故答案为：

16. 若存在两个不等的正实数，，使得成立，则实数的取值范围为___________.

【答案】

【解析】

【分析】对已知等式进行变形，构造新函数，利用导数判断函数的单调性，结合题意进行求解即可.

【详解】，

构造函数，

所以原问题等价于存在两个不等正实数，，使得，

显然函数不是正实数集上的单调函数，

，

设，

当时，单调递增，

当时，单调递减，故，

当时，即时，单调递增，所以不符合题意；

当时，即时，显然存在，使得，

因此一定存在区间，使得在上异号，因此函数在上单调性不同，

因此一定存在两个不等的正实数，，使得成立，

故答案为：

【点睛】关键点睛：本题的关键是由构造函数.

四､解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 设等差数列前项和，，满足，.

（1）求数列的通项公式；

（2）记，设数列的前项和为，求证.

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据等差数列的通项公式进行求解即可；

（2）利用等差数列前项和公式，结合裂项相消法进行求解即可.

【小问1详解】

依题意有，

，，

又为等差数列，设公差为，

，.

【小问2详解】

由（1）可得，

，，，，，

.

18. 已知函数

（1）若其图象在点处的切线方程为，求，的值；

（2）若1是函数的一个极值点，且函数在上单调递增，求实数的取值范围.

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）由题意，且，由此即可得解.

（2）一方面：由题意，且至少有两个零点（否则单调递增没有极值点）；另一方面：由题意在上恒成立，分离变量即可；结合两方面即可得解.

【小问1详解】

点在切线上，

，①

，，②

联立①②解得，.

【小问2详解】

依题意有，，，

且，；

又，，

则时，，即，

令，，求导得，所以单调递增，

；

又，所以的取值范围为.

19. 设，，函数.

（1）求关于的不等式解集；

（2）若在上的最小值为，求的取值范围.

【答案】（1）答案见解析；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）由题可得，然后分类讨论即得；

（2）根据二次函数的性质结合条件可得，进而即得.

【小问1详解】

因为，又，，

的解集等价于的解集，

当即时，不等式的解集为，

当即时，不等式的解集为，

当即时，不等式的解集为；

综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为；

【小问2详解】

因为，，，函数的对称轴为，抛物线开口向下，

又在上的最小值为，

，即，

，即的取值范围为.

20. 已知向量，，设，且的图象关于点对称.

（1）若，求的值；

（2）若函数的图象与函数的图象关于直线对称，且在区间上的值域为，求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合正弦的二倍角公式、正弦型函数的对称性、同角的三角函数关系式、两角差的正弦公式进行求解即可；

（2）根据函数对称性，结合正弦型函数的性质进行求解即可.

【小问1详解】

若的图象关于点对称，则，

，.

，.

若，则，同理可得.

；

【小问2详解】

若函数的图象与的图象关于直线对称，则

.

因为，所以，

而在上的值域为，

则，即，

因为，所以，

，故的取值范围为

21. 在中，，，分别为角，，所对的边，为边上的高，设，且.

（1）若，求的值；

（2）求的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）首先根据余弦定理，并结合三角形面积公式，求得，再代入二倍角的正切公式，即可求解；（2）首先通过辅助线，构造可得，结合（1）的结果可得的范围，再根据二倍角公式，求得的取值范围.

【小问1详解】

在中，，若.

又，

【小问2详解】

由（1）知.

如图，在中，过作的垂线，且使，则，

，即，得，

，

,

设，，在区间单调递减，

，即,

22. 已知函数.

（1）讨论函数的极值点个数；

（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）答案见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据函数极值的定义，结合一元二次方程根的判别式分类讨论进行求解即可；

（2）利用换元法构造函数，根据导数的性质进行求解即可.

【小问1详解】

，，.

令，方程的判别式为，

①：当即时，，单调递增，无极值点；

②：当即时，函数有两个零点，，

（i）当时.，，当时，单调递减，

当时，单调递增，有一个极小值点；

（ii）当时，，

当与时，单调递增，

当时，单调递减，有两个极值点.

综上：当时无极值点；当时有两个极值点；

当时有一个极小值点.

【小问2详解】

不等式恒成立，即.

令，，

.

令，，

当时，，单调递增，又，

时，不合题意，.

当时，单调递减，当时单调递增，.

而，.

令，，当时单调递增，

当时单调递减，

，即.

..