九年级上册数学第22章 二次函数专题23 二次函数公共点及取值范围问题

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专题23 二次函数公共点及取值范围问题
思路点拨
公共点问题（也是交点问题）是中考的常考题型，基本解题思路：要结合图象性质分析出交点情况，利用特殊点（特殊位置）分类讨论求值，或通过解析式的联立建立方程确定交点情况。
直击中考
1．（2020·四川南充·统考中考真题）如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，1），（3，3），（1，3），若抛物线y=ax2的图象与正方形有公共点，则实数a的取值范围是（   ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出抛物线经过两个特殊点时的a的值即可解决问题．
【详解】解：当抛物线经过（1，3）时，a=3，
当抛物线经过（3，1）时，a=，
观察图象可知≤a≤3，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．





2．（2021·四川德阳·统考中考真题）已知函数y的图象如图所示，若直线y＝kx﹣3与该图象有公共点，则k的最大值与最小值的和为 _____．

【答案】17
【分析】根据题意可知，当直线经过点（1，12）时，直线y=kx-3与该图象有公共点；当直线与抛物线只有一个交点时，（x-5）2+8=kx-3，可得出k的最大值是15，最小值是2，即可得它们的和为17．
【详解】解：当直线经过点（1，12）时，12=k-3，解得k=15；
当直线与抛物线只有一个交点时，（x-5）2+8=kx-3，
整理得x2-（10+k）x+36=0，
∴10+k=±12，解得k=2或k=-22（舍去），
∴k的最大值是15，最小值是2，
∴k的最大值与最小值的和为15+2=17．
故答案为：17．
【点睛】本题考查分段函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，结合图象求出k的最大值和最小值是解题的关键．



3．（2022·湖南·统考中考真题）如图，已知抛物线的图像与轴交于，两点，与轴交于点，点为抛物线的顶点．

(1)求抛物线的函数表达式及点的坐标；
(2)若四边形为矩形，．点以每秒1个单位的速度从点沿向点运动，同时点以每秒2个单位的速度从点沿向点运动，一点到达终点，另一点随之停止．当以、、为顶点的三角形与相似时，求运动时间的值；
(3)抛物线的对称轴与轴交于点，点是点关于点的对称点，点是轴下方抛物线图像上的动点．若过点的直线与抛物线只有一个公共点，且分别与线段、相交于点、，求证：为定值．
【答案】(1)；顶点为
(2)或
(3)见解析

【分析】（1）设二次函数表达式为：，将、代入，进行计算即可得，根据二次函数的性质即可得；
（2）依题意，秒后点的运动距离为，则，点的运动距离为，分情况讨论：①当时，②当时，进行解答即可得；
（3）根据对称的性质得，根据直线与抛物线图像只有一个公共点，即可得，利用待定系数法可得直线的解析式为：，直线的解析式为：，联立，结合已知，解得：，同理可得：，运用三角函数求出GH，GK即可得．
【详解】（1）解：设二次函数表达式为：，
将、代入得：
，
解得，，
抛物线的函数表达式为：，
又，，
顶点为；
（2）解：依题意，秒后点的运动距离为，则，点的运动距离为．
①当时，
，
解得；
②当时，
，
解得；
综上得，当或时，以、、为顶点的三角形与相似；
（3）解：点关于点的对称点为点，
，
直线与抛物线图像只有一个公共点，
只有一个实数解，
△，
即：，
解得：，
利用待定系数法可得直线的解析式为：，直线的解析式为：，
联立，结合已知，
解得：，
同理可得：，
则：，，
，
的值为．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，函数与方程的关系，一元二次方程根的判别式等知识，联立两函数关系求出点和的横坐标是解题的关键．
4．（2022·黑龙江大庆·统考中考真题）已知二次函数图像的对称轴为直线．将二次函数图像中y轴左侧部分沿x轴翻折，保留其他部分得到新的图像C．

(1)求b的值；
(2)①当时，图像C与x轴交于点M，N（M在N的左侧），与y轴交于点P．当为直角三角形时，求m的值；
②在①的条件下，当图像C中时，结合图像求x的取值范围；
(3)已知两点，当线段与图像C恰有两个公共点时，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)
(2)①，② 或 或
(3)或

【分析】（1）根据二次函数的对称轴为直线，求出值即可；
（2）①由（1）知，二次函数的解析式为，令，则，可得，令，则，求出，，则，，，证明，则，即，整理得，，求出满足要求的的值即可；②由①可知，二次函数解析式为，轴左侧图像的解析式为，可画图像C如图所示，令，则，求出满足要求的值，令，则，求出满足要求的值，然后结合图求x的取值范围即可；
（3）由题意知，二次函数的解析式为，为平行于轴的线段，由题意知，分两种情况求解：①当线段与图像在轴左侧有一个交点时，线段与图像在轴右侧有一个交点，即令，，当时，根据的取值范围求的取值范围，当时，根据的取值范围求的取值范围，然后取公共部分即可；②当线段与图像在轴左侧没有交点，线段与图像在轴右侧有两个交点，即令，，当时，根据的取值范围求的取值范围，当时，根据的取值范围求的取值范围，然后取公共部分即可．
（1）
解：由题意知，二次函数的对称轴为直线，
解得，
∴的值为．
（2）
①解：由（1）知，二次函数的解析式为，
令，则，
∴，
令，则，
解得，或，
∴，，
∴，，，
∵为直角三角形，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
整理得，，
解得，或（不合题意，舍去），
∴的值为．
②解：由①可知，二次函数解析式为，            
∴轴左侧图像的解析式为，与轴的交点坐标为，
∴图像C如下所示，

∴令，则，
解得，或（不合题意，舍去），
令，则，
解得，或，
∴由图像可知求x的取值范围为或或．
（3）
解：由题意知，二次函数的解析式为，为平行于轴的线段，
∴由线段与图像恰有两个公共点可知，①当线段与图像在轴左侧有一个交点时，线段与图像在轴右侧有一个交点，即令，，
∴当时，，有，
当时，，有，
∴；
②当线段与图像在轴左侧没有交点，线段与图像在轴右侧有两个交点，即令，，
∴当时，，有或，
当时，，有，
∴；
综上所述，的取值范围为或．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的翻折，二次函数综合，相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
5．（2021·四川绵阳·统考中考真题）如图，二次函数的图象与一次函数的图象交于点、（点在右侧），与轴交于点，点的横坐标恰好为．动点、同时从原点出发，沿射线分别以每秒和个单位长度运动，经过秒后，以为对角线作矩形，且矩形四边与坐标轴平行．

（1）求的值及秒时点的坐标；
（2）当矩形与抛物线有公共点时，求时间的取值范围；
（3）在位于轴上方的抛物线图象上任取一点，作关于原点的对称点为，当点恰在抛物线上时，求长度的最小值，并求此时点的坐标．
【答案】（1），；（2）；（3），
【分析】（1）将，代入，求出a，即可得到抛物线解析式，当秒时，，设的坐标为，建立方程求解即可；
（2）经过秒后，，，由（1）方法知，的坐标为，的坐标为进而得出的坐标为，的坐标为将代入，将代入，解方程即可得到答案；
（3）设，则关于原点的对称点为，当点恰好在抛物线上时，坐标为．过和作坐标轴平行线相交于点S，如图③则
．又得，消去得，即可求解．
【详解】解：（1）由题意知，交点A坐标为，代入，
解得，
∴抛物线解析式为．
当秒时，，设的坐标为，
则，
解得或（舍），
所以的坐标为．
（2）经过秒后，，，
由（1）方法知，的坐标为，的坐标为，
由矩形的邻边与坐标轴平行可知，的坐标为，的坐标为．
矩形在沿着射线移动的过程中，点与抛物线最先相交，
如图①，然后公共点变为2个，点与抛物线最后相离，然后渐行渐远．

如图②，将代入，得，
解得，或（舍），
将代入，得，
解得，或（舍）．
所以，当矩形与抛物线有公共点时，时间的取值范围是．

（3）设，则关于原点的对称点为，当点恰好在抛物线上时，坐标为．过和作坐标轴平行线相交于点S，如图③则
．又得，
消去得


，
当时，长度的最小值为．
此时，，解得，
所以，点的坐标是．

【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，待定系数法求函数解析式，二次函数的最值，勾股定理，矩形的性质，中心对称等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
6．（2021·河南·统考中考真题）如图，抛物线与直线交于点A(2，0)和点．

（1）求和的值；
（2）求点的坐标，并结合图象写出不等式的解集；
（3）点是直线上的一个动点，将点向左平移个单位长度得到点，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围．
【答案】（1），；（2）不等式>的解集为或；（3）点M的横坐标的取值范围是：或．
【分析】（1）把A(2，0)分别代入两个解析式，即可求得和的值；
（2）解方程求得点B的坐标为(-1，3)，数形结合即可求解；
（3）画出图形，利用数形结合思想求解即可．
【详解】解：（1）∵点A(2，0)同时在与上，
∴，，
解得：，；
（2）由（1）得抛物线的解析式为，直线的解析式为，
解方程，得：．
∴点B的横坐标为，纵坐标为，
∴点B的坐标为(-1，3)，
观察图形知，当或时，抛物线在直线的上方，
∴不等式>的解集为或；
（3）如图，设A、B向左移3个单位得到A1、B1，
∵点A(2，0)，点B(-1，3)，
∴点A1 (-1，0)，点B1 (-4，3)，
∴A A1BB13，且A A1∥BB1，即MN为A A1、BB1相互平行的线段，
对于抛物线，
∴顶点为(1，-1)，
如图，当点M在线段AB上时，线段MN与抛物线只有一个公共点，
此时，
当线段MN经过抛物线的顶点(1，-1)时，线段MN与抛物线也只有一个公共点，
此时点M1的纵坐标为-1，则，解得，
综上，点M的横坐标的取值范围是：或．
．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质；能够画出图形，结合函数图象，运用二次函数的性质求解是关键．
7．（2021·湖北宜昌·统考中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，顶点坐标记为．抛物线的顶点坐标记为．

（1）写出点坐标；
（2）求，的值（用含的代数式表示）；
（3）当时，探究与的大小关系；
（4）经过点和点的直线与抛物线，的公共点恰好为3个不同点时，求的值．
【答案】（1）；（2），；（3）当时，，当时，，当时，，当或时，；（4），，，
【分析】（1）令，解出x即可，
（2）把函数顶点式，即可得出结论，
（3）令，结合函数图像分类讨论即可，
（4）由题意可得：直线的解析式为：，再根据已知条件画出函数图像分三类情况讨论，进而得出n的值；
【详解】（1）∵，令，，
∴，，
∴．
（2），
∴，
∵，
∴．
（3）∵，，
当时，，
此时或，
．
由如图1图象可知：
当时，，
当时，，
当时，，
当或时，．

（4）设直线的解析式为：，
则，
由（1）-（2）得，，
∴，
直线的解析式为：．
第一种情况：如图3，

当直线经过抛物线，的交点时，
联立抛物线与的解析式可得：
①
联立直线与抛物线的解析式可得：
，
则，②
当时，把代入得：，
把，代入直线的解析式得：
，
∴，
∴．
此时直线与抛物线，的公共点恰好为三个不同点．
当时，把代入①得：
，
该方程判别式，所以该方程没有实数根．
第二种情况：如图4，

当直线与抛物线或者与抛物线只有一个公共点时．
当直线与抛物线只有一个公共点时，
联立直线与抛物线可得，
∴，
此时，即，
∴，
∴．
由第一种情况而知直线与抛物线公共点的横坐标为，，
当时，，∴．
所以此时直线与抛物线，的公共点恰好为三个不同点．
如图5，

当直线与抛物线只有一个公共点，
∵，，
∴，
联立直线与抛物线，
，
，
当时，，
此时直线与抛物线，的公共点只有一个，
∴．
综上所述：∴，，，．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到二次函数的顶点式、一次函数与二次函数的综合、数形结合思想等等，其中（4），要正确画图，并注意分类求解，避免遗漏．
8．平面直角坐标系中，抛物线经过、两点，点A、C在这条抛物线上，它们的横坐标分别为m和．
(1)求这条抛物线所对应的函数关系式．
(2)当时，y的取值范围是，求t的值．
(3)抛物线上A、C两点和它们之间的部分记作图象G，设G的最高点纵坐标与最低点纵坐标之差为h．当点C在对称轴右侧时，求h与m之间的函数关系式．
(4)以线段为对角线作矩形，轴．当矩形与抛物线有且只有三个公共点时，设第三个公共点为F，若与矩形的面积之比为，请直接写出m的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)或

【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）将二次函数化为顶点式，确定最小值及对称轴，结合题意得出在对称轴的左侧，y随x值的增大而减小，然后建立方程求解即可；
（3）先求出当A、C两点恰好关于对称时，，然后分三种情况分析当时，点A离对称轴较点C离对称轴远，当时，点C离对称轴较点A离对称轴远，当时，点C离对称轴较点A离对称轴远，依次求解即可确定函数解析式；
（4）结合（3）分三种情况讨论：当及时，矩形与抛物线有且只有两个公共点，不符题意，当，当，分别作出相应图象，结合面积比及二次函数的基本性质求解即可．
【详解】（1）解：将点、代入，得，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：，
∴抛物线的最低点顶点为，最小的函数值为，对称轴为，
∵当时，y的取值范围是，
∴，即在对称轴的左侧，y随x值的增大而减小，
∴当时，，当时，，
解得：或（舍去），
∴；
（3）解：当A、C两点恰好关于对称时，
，
解得：，
∵点C在对称轴右侧时，
∴，即，
∴当时，点A离对称轴较点C离对称轴远，

∴，，
∴；
当时，点C离对称轴较点A离对称轴远，

∴，，
∴；
当时，点C离对称轴较点A离对称轴远，

∴，，
∴；
综上可得：；
（4）解：结合（3）分类讨论为：
当及时，矩形与抛物线有且只有两个公共点，不符题意，如图所示（作出了的情况，其他两种情况与此类似）：
不符合题意，

当，如图所示：

∵矩形，轴，
∴，
∵与矩形的面积之比为，
∴，
∴点F为CD的中点，
∵，
∴，
∵点C的横坐标为，
∴点F的横坐标为，纵坐标与点C的纵坐标相等，
∴点C，F关于对称，
∴，
解得：；
当，如图所示：

∵矩形，轴，
∴，
∵与矩形的面积之比为，
∴，
∴点F为AB的中点，
∵，
∴，
∵点A的横坐标为，
∴点F的横坐标为，纵坐标与点A的纵坐标相等，
∴点A，F关于对称，
∴，
解得：；
综上可得或．
【点睛】题目主要考查二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，动点问题确定相应函数解析式，矩形的性质等，理解题意，进行分类讨论，作出相应图象是解题关键及难点．
9．（2022秋·河南安阳·九年级校考阶段练习）如图，抛物线与坐标轴交于，两点，直线与抛物线交于，两点，已知点坐标为．

(1)求二次函数和一次函数解析式；
(2)求出点坐标，并结合图象直接写出不等式的解集；
(3)点是直线上的一个动点，将点向上平移2个单位长度得到点，若线段与抛物线有公共点，请直接写出点的横坐标的取值范围．
【答案】(1)，
(2)，
(3)或

【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）观察函数图象即可求解；
（3）求出时的值，再观察函数图象即可求解．
【详解】（1）解：将点B的坐标分别代入两个函数表达式得：
，解得：，
故二次函数和一次函数的表达式分别为：，；
（2）联立一次函数和二次函数表达式得：，
解得：或，
即点，
观察函数图象知，不等式的解集为：；
（3）如图，当点恰好在抛物线上时，由点向上平移2个单位长度得到点，可知，即，
解得：或1，

由图象可知，线段与抛物线有公共点，点的横坐标为：或．
【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，数练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．
10．（2023春·河北张家口·九年级张家口市第五中学校考期末）在平面直角坐标系中，抛物线（c为常数），

(1)当时，求抛物线的对称轴和顶点坐标；
(2)若抛物线与x轴有两个交点，自左向右分别为点A．B，且，求抛物线的解析式；
(3)当时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，直接写出c的取值范围．
【答案】(1)对称轴为，顶点坐标为
(2)或
(3)

【分析】（1）根据二次函数的性质，求出对称轴和顶点坐标即可解决问题；
（2）分两种情形①当点A、B都在原点的右侧时，如解图1，②当点A在原点的左侧，点B在原点的右侧时，如解图2，分别求解即可；
（3）把问题转化为不等式即可解决问题；
【详解】（1）解：当时，抛物线为，
∴对称轴为，
顶点坐标为；
（2）解：抛物线与x轴有两个交点，

①当点A、B都在原点的右侧时，如解图1，
设，
∵，
∴，
∵二次函数的对称轴为，
由抛物线的对称性得，解得，
∴，
∵点A在抛物线上，
∴，解得，
此时抛物线的解析式为；
②当点A在原点的左侧，点B在原点的右侧时，如解图2，
设，
∵，且点A、B在原点的两侧，
∴，
由抛物线的对称性得，
解得，
∴，
∵点A在抛物线上，
∴，解得，
此时抛物线的解析式为，
综上，抛物线的解析式为或；
（3）∵抛物线与x轴有公共点，
∴对于方程，判别式，
∴．
当时，；当时，，
∵抛物线的对称轴为，且当时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，
∴且，解得，
综上，当时，抛物线与x轴有且只有一个公共点．
【点睛】本题考查二次函数与x轴交点、待定系数法、不等式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
11．（2023秋·北京通州·九年级统考期末）如图，抛物线的图象与x轴交点为A和B，与y轴交点为，与直线交点为A和C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)在直线上是否存在一点M，使得是等腰直角三角形，如果存在，求出点M的坐标，如果不存在请说明理由．
(3)若点E是x轴上一个动点，把点E向下平移4个单位长度得到点F，点F向右平移4个单位长度得到点G，点G向上平移4个单位长度得到点H，若四边形与抛物线有公共点，请直接写出点E的横坐标的取值范围．
【答案】(1)
(2)存在，
(3)

【分析】（1）先求得，然后将，代入，即可求函数的解析式；
（2）设，根据是等腰三角形，分类讨论，根据勾股定理即可求解；
（3）设点E的横坐标，分别求出，，，，当F点在抛物线上时，或，当G点在抛物线上时，或，结合图象可得时，四边形与抛物线有公共点．
【详解】（1）解：由得，时，，
∴．
∵抛物线经过、D两点，
∴，解得
∴抛物线的解析式为．
（2）解：由，令，，
解得：，
∴；
∵，
∴，
∵是直线上的点，设，
当为斜边时，,
∴，
解得：，
∴
当为直角时，,
∴
解得：（根据图形，不合题意舍去）
∴
综上所述，存在
（3）解：∵点E的横坐标，
∴，
由题可知，，，，
当F点在抛物线上时，，
解得或，
当G点在抛物线上时，，
解得或，
∴时，四边形与抛物线有公共点．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，正方形的性质，数形结合解题是关键．
12．（2022秋·广东广州·九年级校考期末）已知二次函数的最大值为4，且该抛物线与y轴的交点为C，顶点为D．
(1)求该二次函数的解析式．
(2)点是x轴上的动点，
①求最大值时点P的坐标；
②设是y轴上的动点，若线段PQ与函数的图象只有一个公共点，求t的取值范围．
【答案】(1)
(2)①    ②或或

【分析】（1）可用对称轴公式直接求出的对称轴，然后写出顶点的坐标，将顶点坐标代入即可求出点的坐标．
（2）①求出直线的解析式，再求出与轴的交点，即可求出点的坐标，的长度即为的最大值．
②根据题意去掉解析式中的绝对值和画出图象，分别表示出关键点即抛物线与轴交点与点重合时的图象，由图象即可得出的取值范围．
【详解】（1）解：在二次函数中，
，
的对称轴为直线，
的最大值为，
抛物线的顶点，
将代入中，
得，
该二次函数的解析式为；
（2）解：①，
当三点在一条直线上时，取得最大值，
如图1，

连接并延长交轴于点，
将点，代入，
得，
解得，
，
当时，，
，又，
的最大值为，；
②可化为
，
将，代入，
得：，
解得：，
，
情况一：如图，


当线段过点，即点与点重合时，线段与函数
的图象只有一个公共点，此时；
综合图，图，
所以当时，线段与函数的图象只有一个公共点；
情况二，如图，

当线段过点，即点与点重合时，线段与函数的图象只有一个公共点，此时；
如图，

当线段过点，即点与点重合时，，此时线段与函数的图像有两个公共点，
综合图象，
所以当时，
线段与函数的图象只有一个公共点；
情况三：如图，

将带入，
整理，得，
，
令，
解得，
当时，线段与函数
的图象只有一个公共点，
综上所述，的取值范围为或或
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，三角形三边关系，抛物线与直线公共点的个数等，熟练掌握以上知识点并根据题意画出图象是解题的关键．
13．（2022秋·河南信阳·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线（m、b均为常数）交于点和点B．

(1)求m和b的值；
(2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式的解集；
(3)点M是直线AB上的一个动点，点N在点M正下方（即轴），且，若线段MN与抛物线只有一个公共点，请直接写出点M的横坐标的取值范围．
【答案】(1)，
(2)或
(3)点M的横坐标的取值范围为或

【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）求出点的坐标为，再观察函数图象即可求解；
（3）根据题意确定出且，根据二次函数与不等式的关系求出的取值范围即可．
【详解】（1）解：将点A的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，
将点A的坐标代入直线表达式得：，解得；
故，；
（2）解：由（1）得，直线和抛物线的表达式为：，，
联立上述两个函数表达式并解得，或（不符合题意，舍去），
即点B的坐标为，
从图象看，不等式的解集为或；
（3）解：由题意设点M的坐标为，则点，
∵线段MN与抛物线只有一个公共点，
∴，解得：或，
∴点M的横坐标的取值范围为或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查一次函数的性质、二次函数的性质、根据图像的交点坐标解不等式，其中（3），求不等式组的解集是解题的关键．
14．（2022秋·北京通州·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A，点B，C为直线上的两个动点（点B在点C的左侧），且．
(1)求点A的坐标（用含a的代数式表示）；
(2)若是以为直角边的等腰直角三角形，求抛物线的解析式；
(3)过点A作x轴的垂线，交直线于点D，点D恰好是线段BC三等分点且满足，若抛物线与线段只有一个公共点，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．
【答案】(1)顶点A的坐标为；
(2)抛物线的解析式为：或；
(3)或．

【分析】（1）把解析式化成顶点式，即可求解；
（2）分当点C的坐标为时、点B的坐标为时，两种情况分别求解；
（3）分、两种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：，
故顶点A的坐标为；
（2）解：点A所在的直线为：，
联立与并解得：，
故两个直线的交点为；
①当点C的坐标为：时，
则点B，点A，，
故抛物线的解析式为：；
②当点B的坐标为：时，
则点A，则，
故抛物线的解析式为：；
综上，抛物线的解析式为：或；
（3）解：点A，则点D，
由于，则点B、C的坐标分别为：、，
将抛物线与直线联立并解得：，

故点E、F的坐标分别为：、，
①当时，点E、B、C、F的坐标分别为：、、、，而点A，
此时，抛物线于只有一个公共点；
②当时，
当点C、F重合时，则，解得：；
当点B、E重合时，，解得：，
故；
综上，或．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰直角三角形的性质等，其中（2）、（3），都要注意分类求解，避免遗漏．
15．（湖北武汉·统考中考真题）已知抛物线和
（1）如何将抛物线平移得到抛物线？
（2）如图1，抛物线与轴正半轴交于点，直线经过点，交抛物线于另一点.请你在线段上取点，过点作直线轴交抛物线于点，连接

①若，求点的横坐标
②若，直接写出点的横坐标
（3）如图2，的顶点、在抛物线上，点在点右边，两条直线、与抛物线均有唯一公共点，、均与轴不平行．若的面积为2，设、两点的横坐标分别为、，求与的数量关系

【答案】（1）见解析；（2）①点的横坐标为.②.（3）.
【分析】(1)根据两个抛物线的顶点坐标即可确定平移方式；
(2)①如图1，设抛物线与轴交于点，直线与轴交于点，确定出点A、C、D的坐标，进而由，轴，可得，两点关于轴对称，设关于轴的对称点为，从而可得直线的解析式为，继而解方程组即可求得答案；
②如图2，，设P，Q，分别表示出PQ长，AP2，再根据AP=PQ，得到关于m的方程，解方程即可求得答案；
(3)如图3，分别求出直线NE、NE、MN的解析式，作轴交于点，表示出EF的长，继而根据三角形面积公式进行求解即可.
【详解】(1)抛物线的顶点坐标是(1，-4)，
抛物线的顶点坐标是(0，0)，
所以将先向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到或将先向上平移4个单位长度，再向左平移1个单位长度得到；
(2)①如图1，设抛物线与轴交于点，直线与轴交于点，

，
当x=0时，y=-3，
当y=0时，x=-1或x=3，
∴，，
∵直线经过，∴，，
∵，轴，∴，两点关于轴对称，
设关于轴的对称点为，则，
∴直线的解析式为，
由，得，，，
∴，
∴，
∴点的横坐标为；
②如图2，，
设P，Q，
则有PQ=-=-m2+m+7，
又∵A(3，0)，
∴AP2=(3-m)2+()2=，
∵AP=PQ，
∴(-m2+m+7)2=，
∴[(m-3)(3m+7)]2=，
∴(m-3)2(3m+7)2=25(m-3)2，
∵m≠3，
∴(3m+7)2=25，
∴m1=-，m2=-4(舍去)，
∴m=-；

(3)如图3，

∵，∴，，
设直线的解析式为，
∵，∴，
由得，，
依题意有，，∴，
∴直线的解析式为，
同理，直线的解析式为，
由得，，
∵，，
∴直线的解析式为，
作轴交于点，则，
∴，
∴，
∴.
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及了抛物线的平移、抛物线与直线的交点、待定系数法、勾股定理、三角形的面积等，综合性较强，有一定的难度，正确把握相关知识，准确画出符合题意的图形，利用数形结合思想进行解答是解题的关键.
16．（2020·广西河池·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于（p，0），（q，0），则该抛物线的解析式可以表示为：y＝a（x﹣p）（x﹣q）＝ax2﹣a（p+q）x+apq．
（1）若a＝1，抛物线与x轴交于（1，0），（5，0），直接写出该抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）若a＝﹣1，如图（1），A（﹣1，0），B（3，0），点M（m，0）在线段AB上，抛物线C1与x轴交于A，M，顶点为C；抛物线C2与x轴交于B，M，顶点为D．当A，C，D三点在同一条直线上时，求m的值；
（3）已知抛物线C3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），线段EF的端点E（0，3），F（4，3）．若抛物线C3与线段EF有公共点，结合图象，在图（2）中探究a的取值范围．

【答案】（1）y＝x2﹣6x+5；（3，﹣4）；（2）；（3）a≥或a≤﹣
【分析】（1）结合题意，利用配方法解决问题即可．
（2）求出两个抛物线的顶点坐标，根据A，C，D三点在同一条直线上，构建方程求解即可．
（3）求出两种特殊情形a的值，结合图象判断即可解决问题．
【详解】解：（1）由题意抛物线的解析式为y＝（x﹣1）（x﹣5）＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，
∴y＝x2﹣6x+5，抛物线的顶点坐标为（3，﹣4）．
（2）如图1中，过点C作CE⊥AB于E，过点D作DF⊥AB于F．

由题意抛物线C1为y＝﹣（x+1）（x﹣m）＝﹣（x﹣）2+，
∴C（，），
抛物线C2为y＝﹣（x﹣m）（x﹣3）＝﹣（x﹣）2+，
∴D（，），
∵A，C，D共线，CE∥DF，
∴＝，
∴＝，
解得m＝，
经检验，m＝是分式方程的解，
∴m＝．
（3）如图2﹣1，当a＞0时，

设抛物线的解析式为y＝a（（x+1）（x﹣3），
当抛物线经过F（4，3）时，3＝a×5×1，
∴a＝，
观察图象可知当a≥时，满足条件．
如图2﹣2中，当a＜0时，顶点在线段EF上时，顶点为（1，3），

把（1，3）代入y＝a（x+1）（x﹣3），可得a＝﹣，
观察图象可知当a≤﹣时，满足条件，
综上所述，满足条件的a的范围为：a≥或a≤﹣．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题，属于中考常压轴题．
17．（2021·贵州黔西·中考真题）如图，直线l：y＝2x＋1与抛物线C：y＝2x2＋bx＋c相交于点A（0，m），B（n，7）．

(1)填空：m＝ ，n＝ ，抛物线的解析式为 ．
(2)将直线l向下移a（a＞0）个单位长度后，直线l与抛物线C仍有公共点，求a的取值范围．
(3)Q是抛物线上的一个动点，是否存在以AQ为直径的圆与x轴相切于点P？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)1，3，y＝2x2﹣4x＋1
(2)0＜a
(3)存在，P（1，0）或P（，0）

【分析】（1）将A（0，m），B（n，7）代入y=2x+1，可求m、n的值，再将A（0，1），B（3，7）代入y=2x2+bx+c，可求函数解析式；
（2）由题意可得y=2x+1-a，联立，得到2x2-6x+a=0，再由判别式Δ≥0即可求a是取值范围；
（3）设Q（t，s），则，半径，再由AQ2=t2+（s-1）2=（s+1）2，即可求t的值．
【详解】（1）将A（0，m），B（n，7）代入y＝2x＋1，
可得m＝1，n＝3，
∴A（0，1），B（3，7），
再将A（0，1），B（3，7）代入y＝2x2＋bx＋c得，
，可得，
∴y＝2x2﹣4x＋1，
故答案为：1，3，y＝2x2﹣4x＋1；
（2）由题意可得y＝2x＋1﹣a，
联立，
∴2x2﹣6x＋a＝0，
∵直线l与抛物线C仍有公共点
∴Δ＝36﹣8a≥0，
∴a，
∴0