九年级上册数学第22章 二次函数专题26 二次函数与定值定点问题

专题26 二次函数与定值定点问题

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1．（2022·四川巴中·统考中考真题）如图1，抛物线，交轴于A、B两点，交轴于点，为抛物线顶点，直线垂直于轴于点，当时，．

(1)求抛物线的表达式；

(2)点是线段上的动点（除、外），过点作轴的垂线交抛物线于点．

①当点的横坐标为2时，求四边形的面积；

②如图2，直线，分别与抛物线对称轴交于、两点．试问，是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

2．（2022·湖南·统考中考真题）如图，已知抛物线的图像与轴交于，两点，与轴交于点，点为抛物线的顶点．

(1)求抛物线的函数表达式及点的坐标；

(2)若四边形为矩形，．点以每秒1个单位的速度从点沿向点运动，同时点以每秒2个单位的速度从点沿向点运动，一点到达终点，另一点随之停止．当以、、为顶点的三角形与相似时，求运动时间的值；

(3)抛物线的对称轴与轴交于点，点是点关于点的对称点，点是轴下方抛物线图像上的动点．若过点的直线与抛物线只有一个公共点，且分别与线段、相交于点、，求证：为定值．

3．（2022·四川达州·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C．

(1)求该二次函数的表达式；

(2)连接，在该二次函数图象上是否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由；

(3)如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线，分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

4．（2021·黑龙江大庆·统考中考真题）如图，抛物线与轴交于除原点和点，且其顶点关于轴的对称点坐标为．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）抛物线的对称轴上存在定点，使得抛物线上的任意一点到定点的距离与点到直线的距离总相等．

①证明上述结论并求出点的坐标；

②过点的直线与抛物线交于两点．证明：当直线绕点旋转时，是定值，并求出该定值；

（3）点是该抛物线上的一点，在轴，轴上分别找点，使四边形周长最小，直接写出的坐标．

5．（2021·四川广元·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点的坐标值：

（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；

（2）是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求的最小值；

（3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作轴，垂足为F，的外接圆与相交于点E．试问：线段的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

6．（2021·湖北武汉·统考中考真题）抛物线交轴于，两点（在的左边）．

（1）的顶点在轴的正半轴上，顶点在轴右侧的抛物线上．

①如图（1），若点的坐标是，点的横坐标是，直接写出点，的坐标；

②如图（2），若点在抛物线上，且的面积是12，求点的坐标；

（2）如图（3），是原点关于抛物线顶点的对称点，不平行轴的直线分别交线段，（不含端点）于，两点，若直线与抛物线只有一个公共点，求证的值是定值．

7．（2020·四川·统考中考真题）如图1，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与x轴交于点A，B．与y轴交于点C．连接AC，BC．已知△ABC的面积为2．

（1）求抛物线的解析式；

（2）平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于P，Q两点．过P，Q向x轴作垂线，垂足分别为G，H．若四边形PGHQ为正方形，求正方形的边长；

（3）如图2，平行于y轴的直线交抛物线于点M，交x轴于点N （2，0）．点D是抛物线上A，M之间的一动点，且点D不与A，M重合，连接DB交MN于点E．连接AD并延长交MN于点F．在点D运动过程中，3NE+NF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

8．（2022·山东日照·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+2mx+3m，点A（3，0）．

(1)当抛物线过点A时，求抛物线的解析式；

(2)证明：无论m为何值，抛物线必过定点D，并求出点D的坐标；

(3)在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上位于第一象限的点，连接AB，PD交于点M，PD与y轴交于点N．设S=S△PAM－S△BMN，问是否存在这样的点P，使得S有最大值？若存在，请求出点P的坐标，并求出S的最大值；若不存在，请说明理由．

9．（2022·湖南益阳·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线E：y＝﹣（x﹣m）2+2m2（m＜0）的顶点P在抛物线F：y＝ax2上，直线x＝t与抛物线E，F分别交于点A，B．

(1)求a的值；

(2)将A，B的纵坐标分别记为yA，yB，设s＝yA﹣yB，若s的最大值为4，则m的值是多少？

(3)Q是x轴的正半轴上一点，且PQ的中点M恰好在抛物线F上．试探究：此时无论m为何负值，在y轴的负半轴上是否存在定点G，使∠PQG总为直角？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

10．（2022·湖北鄂州·统考中考真题）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点 F（0，）的距离MF，始终等于它到定直线l：y＝﹣上的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣叫做抛物线的准线方程．其中原点O为FH的中点，FH=2OF= ，例如，抛物线y＝x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y＝﹣．其中MF=MN，FH=2OH=1．  

(1)【基础训练】

请分别直接写出抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程：　   　，　   　．

(2)【技能训练】

如图2所示，已知抛物线y＝x2上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标；

(3)【能力提升】

如图3所示，已知过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；

(4)【拓展升华】

古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB，使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足：＝＝．后人把这个数称为“黄金分割”把点C称为线段AB的黄金分割点．

如图4所示，抛物线y＝x2的焦点F（0，1），准线l与y轴交于点H（0，﹣1），E为线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点．当＝时，请直接写出△HME的面积值．

11．（2022·四川成都·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于，两点（点在点的左侧），点关于轴的对称点为．

(1)当时，求，两点的坐标；

(2)连接，，，，若的面积与的面积相等，求的值；

(3)试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．

12．（2021·湖南益阳·统考中考真题）已知函数的图象如图所示，点在第一象限内的函数图象上．

（1）若点也在上述函数图象上，满足．

①当时，求的值；

②若，设，求w的最小值；

（2）过A点作y轴的垂线，垂足为P，点P关于x轴的对称点为，过A点作x轴的线，垂足为Q，Q关于直线的对称点为，直线是否与y轴交于某定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．