九年级上册数学第22章 二次函数专题11 二次函数与等腰三角形存在性问题（

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专题11 二次函数与等腰三角形存在性问题
解题点拨
【问题描述】
如图，点A坐标为（1,1），点B坐标为（4,3），在x轴上取点C使得△ABC是等腰三角形．

【几何法】“两圆一线”得坐标
（1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；
（2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC；
（3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB．

【注意】若有三点共线的情况，则需排除．

作图并不难，问题是还需要把各个点坐标算出来，可通过勾股或者三角函数来求．


同理可求，下求．

显然垂直平分线这个条件并不太适合这个题目，如果A、B均往下移一个单位，当点A坐标为（1,0），点B坐标为（4,2）时，可构造直角三角形勾股解：

而对于本题的，或许代数法更好用一些．
【代数法】表示线段构相等

（1）表示点：设点坐标为（m，0），又A点坐标（1,1）、B点坐标（4,3），
（2）表示线段：，
（3）分类讨论：根据，可得：，
（4）求解得答案：解得：，故坐标为．

【小结】
几何法：（1）“两圆一线”作出点；
（2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标．

代数法：（1）表示出三个点坐标A、B、C；
（2）由点坐标表示出三条线段：AB、AC、BC；
（3）根据题意要求取①AB=AC、②AB=BC、③AC=BC；
（4）列出方程求解．

问题总结：
（1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上；
（2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解；
（3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口．


直击中考
1．已知抛物线经过、、，直线是抛物线的对称轴．

(1)求抛物线的函数解析式及顶点坐标；
(2)设点是直线上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标；
(3)在直线上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，顶点坐标为
(2)的坐标
(3)存在．点的坐标为，，，

【分析】（1）可设交点式，用待定系数法求出待定系数即可求得解析式，然后化为顶点式求得顶点坐标；
（2）由图知：、点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接，那么与直线的交点即为符合条件的点；
（3）由于的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①、②、③；可先设出点的坐标，然后用点纵坐标表示的三边长，再按上面的三种情况列式求解．
【详解】（1）∵、经过抛物线，
可设抛物线为．
又， 经过抛物线，代入，得，即．
∴抛物线的解析式为，即
∵．
∴顶点坐标为；
（2）连接，直线与直线的交点为． 则此时的点，使的周长最小．
设直线的解析式为，
将，代入，得：
，解得：．
直线的函数关系式．
当时，，即的坐标．

（3）存在．点的坐标为，，，．
抛物线的对称轴为： ，
设，．
、，
．
若，则，得：，得：．
②若，则，得：，得：．
③若，则，得：，得：，，
当时，、、三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去．
综上可知，符合条件的M点，点的坐标为，，，．
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，待定系数法求解析式，化为顶点式，周长问题，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
2．（2021春·广东江门·九年级广东省江门市实验中学校考期中）如图，已知抛物线的图象与x轴交于和点B且．（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点F是直线下方抛物线上的一点，当的面积最大时，请求出点F的坐标；
(3)在（2）的条件下，是否存在这样的点，使得为等腰三角形？如果有，请直接写出点Q的坐标；如果没有，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或或或

【分析】（1）首先求出点B的坐标，然后将A，B的坐标代入函数即可；
（2）如图1中，作轴交于N，求出直线的解析式，设，则，再用含m的代数式表示出的面积，用函数的思想即可推出结论；
（3）此问要分三种情况进行讨论，分别用勾股定理可求出m的值，进一步写出点Q的坐标．
【详解】（1）解：∵，，点B在点A的左边，
∴点B的坐标为，
将，代入函数，
得，
解得，，
∴抛物线解析式为；
（2）如图1中，

作轴交BC于N，
设直线BC的解析式为，
将、代入解析式得：
，
解得：
∴，
设，则，
∴





，
∴当时，的面积有最大值，
此时，
∴点F的坐标是；
（3）存在点，使得为等腰三角形，理由如下：
①如图2﹣1，

当时，
由题意可列，
解得，，
∴，；
②如图2﹣2，

当时，
由题意可列，
解得，，
∴；
③如图2﹣3，

当时，
由题意可列，
解得，，，
∴，；
设直线的解析式为，
将，代入，
得，
解得，，
∴，
当时，，
∴点B，F，Q重合，故舍去，
∴点Q有坐标为或或或．
【点睛】题目主要考查二次函数综合问题；点的坐标；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；坐标系中两点之间的距离等，理解题意，对等腰三角形进行分类讨论是解题关键．
3．（2022·广西·中考真题）已知抛物线经过A（－1，0）、B（0、3）、 C（3，0）三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM ，交BC于点F

(1)求抛物线的表达式；
(2)求证：∠BOF＝∠BDF ：
(3)是否存在点M使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长
【答案】(1)
(2)见解析
(3)存在，或

【分析】（1）设抛物线的表达式为，将A（－1，0）、B（0、3）、C（3，0）代入，直接利用待定系数法求解即可；
（2）由正方形的性质可得，即可证明，根据全等三角形的性质即可求证；
（3）分别讨论：当点M在线段BD的延长线上时，当点M在线段BD上时，依次用代数法和几何法求解即可．
（1）
设抛物线的表达式为，
将A（－1，0）、B（0、3）、C（3，0）代入，
得，解得，
抛物线的表达式为；
（2）
四边形OBDC是正方形，
，
，
，
；
（3）
存在，理由如下：
当点M在线段BD的延长线上时，此时，
，
设，
设直线OM的解析式为，
，
解得，
直线OM的解析式为，
设直线BC的解析式为，
把B（0、3）、 C（3，0）代入，得，
解得，
直线BC的解析式为，
令，解得，则，
，
四边形OBDC是正方形，
，
，
，
，
，
解得或或，
点M为射线BD上一动点，
，
，
，
当时，解得或，
，
．
当点M在线段BD上时，此时，，

，
，
，
由（2）得，
四边形OBDC是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
综上，ME的长为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，求一次函数解析式，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等，熟练掌握知识点是解题的关键．
4．（2021·辽宁朝阳·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴分别交于点A(﹣1，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)．
（1）求抛物线的解析式及对称轴；
（2）如图1，点D与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上，若∠BPD＝90°，求点P的坐标；
（3）点M是抛物线上位于对称轴右侧的点，点N在抛物线的对称轴上，当BMN为等边三角形时，请直接写出点M的坐标．

【答案】（1）y＝﹣x2＋2x＋3，对称轴x＝1；（2）P(1，1)或(1，2)；（3）M(，)或(，)  
【分析】（1）利用待定系数法求解即可．
（2）如图1中，连接BD，设BD的中点T，连接PT，设P（1，m）．求出PT的长，构建方程求出m即可．
（3）分两种情形：当点M在第一象限时，△BMN是等边三角形，过点B作BT⊥BN交NM的延长线于T，设N（1，t），设抛物线的对称轴交x轴于E．如图3﹣2中，当点M在第四象限时，设N（1，n），过点B作BT⊥BN交NM的延长线于T．分别利用相似三角形的性质求出点M的坐标，再利用待定系数法求解．
【详解】解：（1）把A（﹣1，0），点C（0，3）的坐标代入y＝﹣x2＋bx＋c，得到，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2＋2x＋3，对称轴x＝﹣＝1．
（2）如图1中，连接BD，设BD的中点T，连接PT，设P（1，m）．

∵点D与点C关于对称轴对称，C（0，3），
∴D（2，3），
∵B（3，0），
∴T（，），BD＝，
∵∠BPD＝90°，DT＝TB，
∴PT＝BD＝，
∴（1﹣）2＋（m﹣）2＝（）2，
解得m＝1或2，
∴P（1，1），或（1，2）．
（3）当点M在第一象限时，△BMN是等边三角形，过点B作BT⊥BN交NM的延长线于T，设N（1，t），作TJ⊥x轴于点J，设抛物线的对称轴交x轴于E．

∵△BMN是等边三角形，
∴∠NMB＝∠NBM＝60°，
∵∠NBT＝90°，
∴∠MBT＝30°，BT＝BN，
∵∠NMB＝∠MBT＋∠BTM＝60°，
∴∠MBT＝∠BTM＝30°，
∴MB＝MT＝MN，
∵∠NBE＋∠TBJ＝90°，∠TBJ＋∠BTJ＝90°，
∴∠NBE＝∠BTJ，
∵∠BEN＝∠TJB＝90°，
∴△BEN∽△TJB，
∴＝，
∴BJ＝t，TJ＝2，
∴T（3＋t，2），
∵NM＝MT，
∴M（，），
∵点M在y＝﹣x2＋2x＋3上，
∴＝﹣（）2＋2×＋3，
整理得，3t2＋（4＋2）t﹣12＋4＝0，
解得t＝﹣2（舍弃）或，
∴M（，）．
如图3﹣2中，当点M在第四象限时，设N（1，n），过点B作BT⊥BN交NM的延长线于T．

同法可得T（3﹣n，﹣2），M（，），
则有＝﹣（）2＋2×＋3，
整理得，3n2＋（2﹣4）n﹣12﹣4＝0，
解得n＝或（舍去），
∴M（， ），
综上所述，满足条件的点M的坐标为（，）或（，）．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，结合等边三角形的判定与性质、勾股定理和一元二次方程求解计算是解题的关键．
5．（2021·江苏宿迁·统考中考真题）如图，抛物线与轴交于A(-1，0)，B(4，0)，与轴交于点C．连接AC，BC，点P在抛物线上运动．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图①，若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当∠CAQ=∠CBA45°时，求点P的坐标；
(3)如图②，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，过点P作轴的垂线交BC于点H，当△PFH为等腰三角形时，求线段PH的长．

【答案】（1）；（2）（6，-7）；（3）PH=或1.5或
【分析】（1）根据待定系数法解答即可；
（2）求得点C的坐标后先利用勾股定理的逆定理判断∠ACB=90°，继而可得∠ACO=∠CBA，在x轴上取点E（2，0），连接CE，易得△OCE是等腰直角三角形，可得∠OCE=45°，进一步可推出∠ACE=∠CAQ，可得CE∥PQ，然后利用待定系数法分别求出直线CE与PQ的解析式，再与抛物线的解析式联立方程组求解即可；
（3）设直线AP交y轴于点G，如图，由题意可得若△PFH为等腰三角形，则△CFG也为等腰三角形，设G（0，m），求出直线AF和直线BC的解析式后，再解方程组求出点F的坐标，然后分三种情况求出m的值，再求出直线AP的解析式，进而可求出点P的坐标，于是问题可求解．
【详解】解：（1）把A(-1，0)，B(4，0)代入，得
，解得：，
∴抛物线的解析式是；
（2）令x=0，则y=2，即C（0，2），
∵，，AB2=25，
∴，
∴∠ACB=90°，
∵∠ACO+∠CAO=∠CBA+∠CAO=90°，
∴∠ACO=∠CBA，
在x轴上取点E（2，0），连接CE，如图，
则CE=OE=2，
∴∠OCE=45°，
∴∠ACE=∠ACO+45°=∠CBA+45°=∠CAQ，
∴CE∥PQ，
∵C（0，2），E（2，0），
∴直线CE的解析式为y=-x+2，
设直线PQ的解析式为y=-x+n，把点A（-1，0）代入，可得n=-1，
∴直线PQ的解析式为y=-x-1，
解方程组，得或，
∴点P的坐标是（6，-7）；

（3）设直线AP交y轴于点G，如图，
∵PH∥y轴，
∴∠PHC=∠OCB，∠FPH=∠CGF，
∴若△PFH为等腰三角形，则△CFG也为等腰三角形，
∵C（0，2），B（4，0），
∴直线BC的解析式为，
设G（0，m），∵A（-1，0），
∴直线AF的解析式为y=mx+m，
解方程组，得，
∴点F的坐标是，
∴，
当CG=CF时，，解得：（舍去负值），
此时直线AF的解析式为y=x+，
解方程组，得或，
∴点P的坐标是（，），此时点H的坐标是（，），
∴PH=；
当FG=FC时，，解得m=或m=（舍）或m=2（舍），
此时直线AF的解析式为y=x+，
解方程组，得或，
∴点P的坐标是（3，2），此时点H的坐标是（3，），
∴PH=2-=1.5；
当GF=GC时，，解得或m=2（舍去），
此时直线AF的解析式为y=x+，
解方程组，得或，
∴点P的坐标是（，），此时点H的坐标是（，），
∴PH=；

综上，PH=或1.5或．
【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征、直线与抛物线的交点以及等腰三角形的判定和性质等知识，具有相当的难度，熟练掌握二次函数的图象和性质、灵活应用数形结合的思想是解题的关键．
6．（2020·广西·中考真题）如图，已知抛物线y＝a（x+6）（x﹣2）过点C（0，2），交x轴于点A和点B（点A在点B的左侧），抛物线的顶点为D，对称轴DE交x轴于点E，连接EC．
（1）直接写出a的值，点A的坐标和抛物线对称轴的表达式；
（2）若点M是抛物线对称轴DE上的点，当△MCE是等腰三角形时，求点M的坐标；
（3）点P是抛物线上的动点，连接PC，PE，将△PCE沿CE所在的直线对折，点P落在坐标平面内的点P′处．求当点P′恰好落在直线AD上时点P的横坐标．

【答案】（1）a＝﹣，A（-6，0），直线x＝﹣2；（2）（﹣2，2）或（﹣2，4）或（﹣2，2）或（﹣2，﹣2）；（3）或．
【分析】（1）将点C坐标代入抛物线解析式中，即可得出结论；
（2）分三种情况：当ME＝MC、CE＝CM、EM＝CE时，直接利用等腰三角形的性质，即可得出结论；
（3）先判断出△PQE≌△P'Q'E（AAS），得出PQ＝P'Q'，EQ＝EQ'，进而得出P'Q'＝n，EQ'＝QE＝m+2，确定出点P'（n﹣2，2+m），将点P'的坐标代入直线AD的解析式中，和点P代入抛物线解析式中，联立方程组，求解即可得出结论．
【详解】（1）∵抛物线y＝a（x+6）（x﹣2）过点C（0，2），
∴2＝a（0+6）（0﹣2），
∴a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+6）（x﹣2）＝﹣（x+2）2+，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2；
（2）如图1，由（1）知，抛物线的对称轴为x＝﹣2，
∴E（﹣2，0），
∵C（0，2），
∴OC＝OE＝2，
∴CE＝OC＝2，∠CED＝45°，
∵△CME是等腰三角形，
∴①当ME＝MC时，
∴∠ECM＝∠CED＝45°，
∴∠CME＝90°，
∴M（﹣2，2），
②当CE＝CM时，
∴MM1＝CM＝2，
∴EM1＝4，
∴M1（﹣2，4），
③当EM＝CE时，
∴EM2＝EM3＝2，
∴M2（﹣2，﹣2），M3（﹣2，2），
即满足条件的点M的坐标为（﹣2，﹣2）或（﹣2，4）或（﹣2，2）或（﹣2，﹣2）；
（3）如图2，
由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣（x+6）（x﹣2）＝﹣（x+2）2+，
∴D（﹣2，），
令y＝0，则（x+6）（x﹣2）＝0，
∴x＝﹣6或x＝2，
∴点A（﹣6，0），
∴直线AD的解析式为y＝x+4，
过点P作PQ⊥x轴于Q，过点P'作P'Q'⊥DE于Q'，
∴∠EQ'P'＝∠EQP＝90°，
由（2）知，∠CED＝∠CEB＝45°，
由折叠知，EP'＝EP，∠CEP'＝∠CEP，
∴△PQE≌△P'Q'E（AAS），
∴PQ＝P'Q'，EQ＝EQ'，
设点P（m，n），
∴OQ＝m，PQ＝n，
∴P'Q'＝n，EQ'＝QE＝m+2，
∴点P'（n﹣2，2+m），
∵点P'在直线AD上，
∴2+m＝（n﹣2）+4①，
∵点P在抛物线上，
∴n＝﹣（m+6）（m﹣2）②，
联立①②解得，m＝或，
即点P的横坐标为或．

【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，结合等腰三角形、全等三角形等几何图形，熟练运用数形结合利用几何关系寻找等量关系是解题的关键．
7．（2021·贵州遵义·校考模拟预测）如图，直线与轴、轴分别交于B、C两点，抛物线经过点B、C的，与轴另一交点为A，顶点为D．

(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线对称轴是否存在一点E，使得是等腰三角形，若存在，求出E的点坐标，若不存在，请说明理由；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或或或或
(3)或

【分析】（1）先求出B、C坐标，然后把B、C坐标代入抛物线解析式中求解即可；
（2）设点E的坐标为，则,,，再分三种情况：当，当，当讨论求解即可；
（3）如图所示，当点P在x轴上方时，过点B作于F，先证明是等腰直角三角形，则可设，则，进而得到，求出得到点P的坐标，利用对称性求出点P在x轴下方时的坐标即可得到答案．
【详解】（1）解：∵直线与轴、轴分别交于B、C两点，
∴，
把代入抛物线解析式中得：
，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
设点E的坐标为，
∴,,，
当时，则，
解得，
∴点E的坐标为或；
当时，则，
解得或，
∴点E的坐标为或；
当时，则，
解得，
∴点E的坐标为；
综上所述，点E的坐标为或或或或；
（3）解：如图所示，当点P在x轴上方时，过点B作于F，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴可设，则，
∴，
由对称性可知，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
∴由对称性可知当点P在x轴下方时，点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或

【点睛】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求函数解析式，勾股定理，等腰三角形的定义，等腰直角三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键．
8．（2022春·陕西汉中·九年级统考期末）如图，已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点．

(1)求拋物线的解析式；
(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，点坐标为或或或，理由见解析

【分析】（1）将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式，用待定系数法即可求出二次函数的解析式．
（2）根据题意，分以下三种情况进行讨论：①；②；③；即可利用等腰三角形的性质求解．
【详解】（1）（1）因为点在抛物线上，
，即．
将点、代入，得

解得
∴抛物线的解析式为
（2）存在，理由如下：
抛物线的解析式为，
其对称轴为，
∴，
∵，
∴，
①当时：
如图，

作于点，则，
∴，
此时点的坐标为；
②当时：
∵，，
∴，，
∴，
∴，
此时点的坐标为或；
③当时：
如图，

作于点，
设，则．
在中，由勾股定理得，
即，
解得．
此时点的坐标为．
综上所述：点坐标为或或或
【点睛】本题主要考查求二次函数的解析式、二次函数的应用及等腰三角形的存在性问题；正确的画出对应图形，并结合每种对应情况进行分类讨论是解题的关键．
9．（2022·甘肃嘉峪关·校考一模）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知，．

(1)求抛物线的表达式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
(3)点E是线段上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出四边形的最大面积及此时E点的坐标．
【答案】(1)
(2)存在；，，
(3)，

【分析】（1）将点A、C的坐标分别代入可得二元一次方程组，解方程组即可得出m、n的值；
（2）根据二次函数的解析式可得对称轴方程，由勾股定理求出的值，以点C为圆心，为半径作弧，交对称轴于；以点D为圆心为半径作圆交对称轴于点，，作垂直于对称轴于点H，由等腰三角形的性质就可以求出结论；
（3）由二次函数的解析式可求出B点的坐标，从而可求出直线的解析式，从而可设E点的坐标，进而可表示出F的坐标，由四边形的面积可求出S与的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．
【详解】（1）解：已知抛物线经过点，，
则，解得，
抛物线表达式为：；
（2）解：由（1）可知抛物线对称轴为直线，
则点坐标为，
的长为,
如图1所示，使是以为腰的等腰三角形的点有，，三种情况，其中，
过点作,    垂足为点，
，
，
，
，
，
，
，
综上可得，在抛物线的对称轴上存在点P，使是以为腰的等腰三角形， P点的坐标为，，，
；
（3）解：根据题意作图2，过点作,垂足为点，
令，则，
，，
故点坐标为，，
设直线解析式为，过点，，
，解得，
则直线解析式为，
设，，
，







，
故时，四边形的面积取得最大值为，此时点坐标为，
．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、抛物线中等腰三角形的存在性、抛物线中四边形面积最大值的存在性、勾股定理等知识，采用数形结合和分类讨论思想是解题关键．
10．（2022·贵州遵义·统考二模）如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图象经过点和点，与一次函数的图象交于点，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点B．

(1)求一次函数与二次函数的解析式；
(2)在二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)y=x-1，y=-x2-2x+3
(2)（-1，1+ ）（-1，1−），（-1，−5+）（-1，−5-）．

【分析】（1）分别利用利用待定系数法求出一次函数和二次函数的解析式；
（2）首先表示出AB2，AM2、BM2的长，再分AB=AM、AB=BM、AM=BM三种情况列方程求解．
(1)
解：把点A坐标代入y=kx−1得
-5=-4k-1，
解得k=1，
∴一次函数解析式为y=x−1，
把点(1,0)、点(0,3)、点（-4,-5）分别代入二次函数解析式得

解得
∴二次函数解析式为 ；
(2)
因为抛物线的对称轴为 ，
令  得 或 （舍去），
∴点B坐标为（2，1），设点M（-1，t），
则 ，
，
，
当AB=AM时，有 ，
解得t= ,
故点M坐标为（-1，）（-1，），
当AB=BM时，有 ，
解得t= ,
故点M坐标为（-1，）（-1，），
当MB=AM时，有 ，
解得t=-2,
故点M坐标为（-1，-2），
此时点M在AB上，三角形不存在，故舍去，
故点M坐标为（-1，）（-1，），（-1，）（-1，）．
【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式和等腰三角形的分类讨论，解决问题的关键是掌握待定系数法和两点间距离公式．
11．（2022秋·四川泸州·九年级专题练习）如图：已知关于x的二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3）．

(1)求二次函数的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；
(3)有一个点M在线段CB上运动，作MN⊥x轴交抛物线于点N，问当M、N点位于何处时，△BCN的面积最大，求最大面积.
【答案】(1)
(2)存在，P（2，2） （2，3+）（2，3，-）（2，）（2，-）
(3)当，时，△BCN的面积最大，最大面积为

【分析】（1）根据题中所给的解析式及A（1，0）和C（0，3）利用待定系数法求解析式即可；
（2）根据等腰三角形的性质，分三种情况，利用两点之间距离公式列出方程求解即可；
（3）平面直角坐标系中三角形面积问题，找平行于坐标轴的边为底，然后表示出面积即可得出结论．
【详解】（1）解：已知关于x的二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点C（0，3），
，
解得，
二次函数的解析式为
（2）解：存在，
由（1）知抛物线的对称轴为直线x=2，
设P（2，n），C（0，3），B（3，0），则根据两点之间距离公式可得PC2=22+（n-3）2 ，PB2=（2-3）2+n2，CB2=18，当△PBC为等腰三角形时，分三种情况：
①当PC=PB时，22+（n-3）2=（2-3）2+n2，解得n=2；
②当PC=BC时，22+（n-3）2=18，解得n1=3+，n2=3-；
③当PB=CB时，（2-3）2+n2=18，解得n1=，n2=-；
综上所述：P（2，2）、（2，）、（2，）、（2，）、（2，）；
（3）解：设直线，
把C（3，0）代入得，
解得，
∴直线BC的解析式为，
设，
∴，
∴，
∴ ，
当时，最大，
当时，，
∴，
当时， ，
∴
综上所述，当，时，△BCN的面积最大，最大面积为．
【点睛】本题考查二次函数综合，涉及到待定系数求二次函数表达式、二次函数综合中的等腰三角形问题、二次函数综合中的三角形面积问题，熟练掌握二次函数的图像与性质，理解常见二次函数综合题型的解题方法步骤是解决问题的关键．
12．（2022·天津·九年级专题练习）如图，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴相交于点C，M是抛物线的顶点，直线是抛物线的对称轴，且点C的坐标为．

(1)求抛物线的解析式；
(2)已知P为线段上一个动点，过点P作轴于点D．若的面积为S．
①求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
②当S取得最大值时，求点P的坐标．
(3)在（2）的条件下，在线段上是否存在点P，使为等腰三角形？如果存在，直接写出满足条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②S有最大值为，此时
(3)存在，或

【分析】（1）点C坐标代入解析式可求c的值，由对称轴可求b的值，即可求解；
（2）①先求出点M，点A，点B的坐标，利用待定系数法可求BM解析式，由三角形的面积公式可求解；
②利用二次函数的性质可求解；
（3）分三种情况讨论，利用两点距离公式列出方程可求解．
【详解】（1）解：将点代入中，得，
∵直线是抛物线的对称轴，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：①∵
∴．
∵令，则，
解得，
∴．
∵点，点，
∴直线的解析式为．
∵点P在直线上，且轴于点D，，
∴点，
∴．
∵点P在线段上，且点，点，
∴．
∴S与m之间的函数关系式为；
②∵
∴当时，S有最大值为，
此时
把代入，得
∴
∴当时，S有最大值为，此时．
（3）解：存在满足条件的点P，点P的坐标为或．理由如下：
设，则，，
所以，
，
，
若，即，
解得（舍去），
所以点P；
若，即，
解得（舍去），
所以点P；
若，即，
解得或，均不合题意，故舍去，
所以点P的坐标为或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
13．（2022·广西贵港·统考三模）如图，已知抛物线经过点和点，P是直线AB下方抛物线上的一个动点， PC∥y轴与AB交于点C，PD⊥AB于点D，连接PA．

(1)求抛物线的表达式；
(2)当△PCD的周长取得最大值时，求点P的坐标和△PCD周长的最大值；
(3)当△PAC是等腰三角形时，请直接给出点P的坐标．
【答案】(1)
(2)最大值为；此时点P的坐标为
(3)，，

【分析】（1）利用待定系数解答，即可求解；
（2）先求出直线AB的表达式为y＝x－1，可得△PCD是等腰直角三角形，从而得到△PCD的周长为：，设点P的坐标为，则点C的坐标为，利用二次函数的性质，即可求解；
（3）分三种情况讨论，即可求解．
(1)
解：由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为．
(2)
解：设直线AB的表达式为，
∵A（0，－1），B（5，4），
∴，解得：，
∴直线AB的表达式为y＝x－1，
设直线AB交x轴于点M，

当y=0时，x=1，
∴OA=OB=1，
∵∠AOM=90°，
∴∠OAB＝45°，
∵CP∥y轴，
∴∠DCP=45°，
∵PD⊥AB，
∴△PCD是等腰直角三角形，即CD=PD，
∴，即，
∴△PCD的周长为：，
设点P的坐标为，则点C的坐标为，
∴，
∵，
∴当时，△PCD周长取得最大值，最大值为．
此时点P的坐标为．
(3)
解：如图，过点A作P1A⊥y轴交抛物线于点P1，
∵CP2∥y轴，
∴∠ACP2=45°，
∴△ACP1是等腰直角三角形，
∵点A（0，-1），
∴点P1的纵坐标为-1，
当y=-1时，，
解得：（舍去），
此时点P1（4，－1）；

如图，过点A作P2A⊥AB轴交抛物线于点P2，
∵CP2∥y轴，
∴∠ACP2=45°，
∴△ACP2是等腰直角三角形，
∴点C、P2关于直线AP1对称，
设点 ，则点C，
∴，解得：（舍去），
∴此时点P2（3，－4）；
如图，若AC=CP3，作CE⊥y轴于点E，

∵∠CAE=45°，
∴△ACE是等腰直角三角形，即AE=CE，
∴，
设点 ，则点C，
∴，
解得：（舍去），
∴此时点；
综上所述，点P的坐标为或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键．
14．（2022·黑龙江·统考三模）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，．

(1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式；
(2)点D在抛物线的对称轴上，若的值最小，则点D的坐标为_______，此时的面积为_______；
(3)P是第二象限抛物线上一动点，过点P作轴于点M，与直线AC交于点N，当线段PN的长度最大时，求此时点P的坐标；
(4)在（3）的条件下，当线段PN的长度最大时，在直线AC上是否存在点Q，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
注：二次函数的顶点坐标为．
【答案】(1)；
(2)
(3)点P的坐标为
(4)存在．点Q的坐标为（，）或（，）或或

【分析】（1）求出点A，C的坐标，然后利用待定系数法求解析式即可；
（2）根据轴对称的性质可知直线AC与抛物线对称轴的交点即为D点，求出抛物线对称轴，代入一次函数解析式即可求出点D的坐标，再根据求的面积；
（3）设点P的横坐标为a，线段PN的长为m，用含a的式子表示出m，然后根据二次函数的性质求出a即可解决问题；
（4）分情况讨论：①当NP＝NQ时，②当PN＝PQ时，分别根据两点间距离公式求出点Q的横坐标即可，③当QP＝QN时，则点Q在线段PN的垂直平分线上，求出点Q的纵坐标即可．
（1）
解：，
点A，C的坐标分别，
把点分别代入得，
解得：，
抛物线的解析式为，
设直线AC的解析式为，
把点分别代入得，
解得： ，
∴直线AC的解析式为；
（2）
∵点B关于对称轴对称的点为点A，
∴的最小值为AC，
∴直线AC与抛物线对称轴的交点即为D点，如图1，
抛物线的对称轴为，
把代入得：，
∴点D的坐标为，
令，解得：，，
∴B（1，0），
∴，
故答案为：；

（3）
如图2，设点P的横坐标为a，线段PN的长为m，
点P在抛物线上，过点P作x轴的垂线与直线AC交于点N，
点P的坐标为，点N的坐标为，
，
∴当时，m有最大值，
当时，有，
∴此时点P的坐标为；

（4）
当x＝－2时，，
∴N（－2，2），
∵P，
∴PN＝6－2＝4，
分情况讨论：
①当NP＝NQ时，
设点Q坐标为，
则，
解得：或，
∴或，
∴此时点Q的坐标为Q1（，）或Q2（，）；
②当PN＝PQ时，
设点Q坐标为，
则，
解得：或－2（舍去），
∴此时点Q3的坐标为（2，6）；
③当QP＝QN时，则点Q在线段PN的垂直平分线上，
∴点Q的纵坐标为4，
当时，解得，
∴此时点Q4的坐标为（0，4），
综上所述，点Q的坐标为（，）或（，）或或．

【点睛】本题是二次函数与一次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象和性质，待定系数法的应用，轴对称的性质，二次函数的最值，等腰三角形的性质以及两点间距离公式的应用等，其中最后一问有一定的难度，正确分类讨论是解题的关键．
15．（2021·新疆乌鲁木齐·乌鲁木齐市第九中学校考一模）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，经过A、C两点的抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的另一交点为．

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点P是该抛物线上的动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交AC于点E，设点P的横坐标为t（－4＜t＜0）．
①求出四边形PAOC面积S与t的函数表达式，并求S的最大值；
②当△PEC为等腰三角形时，求所有满足条件的t的值．
【答案】(1)
(2)①，的最大值为；②或或

【分析】（1）利用直线的表达式求出、两点坐标，设抛物线的交点式方程，利用待定系数法求解；
（2）①根据题意，用表示的坐标，将四边形的面积转化为与梯形的面积进行求解；②用表示各线段的长，对等腰三角形的腰和底进行分类讨论，分别在三种情况下计算的值．
(1)
解：直线与x轴、y轴的交点坐标分别为、．
抛物线与x轴的另一交点为，
设所求抛物线的函数表达式为，
把点代入，得，解得．
所求抛物线的函数表达式为，即．
(2)
解：①点的坐标为．
,
即，
整理得．
当时，最大，最大值为．
②点的坐标为，点的坐标为，点．
，，
分三种情况讨论：
（Ⅰ）如图1，当时，，
解得，（舍去）．
（Ⅱ）如图2，当时，过点作于点，则为的中点．
，
解得，（舍去）．
（Ⅲ）如图3，当时，过点作于点，则为的中点．
，
．
，，
，
即，
，即，
，解得，（舍去）．
综上，满足条件的的值为或或．
．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与四边形面积的应用，等腰三角形的性质与判定，勾股定理的应用，三角函数的应用，解决本题的关键是掌握相关性质定理．
16．（2022·山东济宁·统考二模）已知抛物线经过点和，与x轴交于另一点B，顶点为D．

(1)求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；
(2)如图，点E，F分别在线段AB，BD上（E点不与A，B重合），且，设，，求n与m的函数关系式，并求出n的最大值；
(3)在（2）问的条件下，能否为等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)（）；
(3)能；5或

【分析】（1）将点和代入二次函数解析式求出的值，进而可得抛物线解析式，根据顶点式可得顶点坐标；
（2）如图1，过点D作轴于点K，由函数的图象与性质可得，，，则，，勾股定理求得，证明，则，即，整理可得，根据题意求最值即可；
（3）由题意知，分三种情况求解：①当时，，则，，与条件矛盾，不成立；②当时，，则，可求的值；③当时，，，即，可求的值．
（1）
解：∵抛物线经过点和，
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为，
∴点D坐标为．
（2）
解：如图1，过点D作轴于点K，
∵抛物线的对称轴为直线，，顶点，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，，
∴，
∴，
∵，
，，
∴n的最大值为．

（3）
解：能为等腰三角形．
理由如下：∵，，，
∴，，由题意知，分三种情况求解：①当时，，
∵，
∴，即E与A重合，B与F重合，与条件矛盾，不成立．
②当时，，
∵，
∴，
∴，
∴；
③当时，
则，
∴，
∴，即，
∴；
综上所述，当BE的长为5或时，为等腰三角形．
【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对二次函数知识的熟练掌握与灵活运用．