黑龙江省绥化市绥棱县第一中学2022-2023学年高一下学期开学考试数学试题

SL 2022~2023学年度下学期高一开学初考试卷

数  学

2023.2

考生注意：

1. 本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.

2. 考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.

3. 本卷命题范围：人教A版必修第一册5.5结束.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 若是锐角，则是（    ）

A. 第一象限角  B. 第三象限角

C. 第一象限角或第三象限角 D. 第二象限角或第四象限角

3. 若不等式成立的充分条件为，则实数a的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 函数（且）的图象恒过定点A，且点A在角的终边上，则（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 已知函数，利用零点存在定理确定各零点所在的范围，下列区间中不一定存在零点的是（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 幂函数在区间上单调递增，且，则的值（    ）

A. 等于0 B. 恒小于0 C. 恒大于0 D. 无法判断

7. 若关于x的不等式的解集为，则ab的值为（    ）

A. －1 B. 1 C. 2 D. 3

8. 德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割，如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是两底角为的等腰三角形（另一种是两底角为的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得（    ）

A.  B.  C.  D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.

9. 已知，且，把底数相同的指数函数与对数函数图象的公共点称为（或）的“亮点”.当时，在下列四点中，不能成为“亮点”的有（    ）

A.  B.  C.  D.

10. 已知，且，则下列说法正确的是（    ）

A. 的最小值为9  B. xy的最大值为

C. 的最小值为 D. 的最小值为6

11. 已知函数的部分图象与y轴交于点，与x轴的一个交点为，如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A.   B. 的最小正周期为6

C. 的图象关于直线对称 D. 在上单调递减

12. 已知函数的定义域是，且，当时，，，则下列说法正确的是（    ）

A.

B. 函数在上是减函数

C.

D. 不等式的解集为

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 函数的定义域为______.

14. 已知，则______.

15. 已知不等式，对任意实数x都成立，则m的取值范围为______.

16. 已知函数，若在上单调递减，则a的取值范围为______.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

已知，为锐角，，.

（1）求的值；

（2）求的值.

18.（本小题满分12分）

已知p：，使为假命题.

（1）求实数m的取值集合B；

（2）设为非空集合，若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

19.（本小题满分12分）

已知函数，且为奇函数.

（1）求b，然后判断函数的单调性并用定义加以证明；

（2）若恒成立，求实数k的取值范围.

20.（本小题满分12分）

已知函数（其中a为常数）.

（1）求的单调递增区间；

（2）若时，的最小值为4，求a的值.

21.（本小题满分12分）

已知函数.

（1）若的解集为，求的零点；

（2）若在内恰有1个零点，求a的取值范围.

22.（本小题满分12分）

已知函数，其反函数为.

（1）定义在的函数，求的最小值；

（2）设函数的定义域为D，若有，且满足，我们称函数为“奇点函数”.已知函数为其定义域上的“奇点函数”，求实数m的取值范围.

SL 2022~2023学年度下学期高一开学初考试卷·数学

参考答案

1. D  由得，所以，故选D.

2. C  当k为奇数时，为第三象限角；当k为偶数时，为第一象限角.故选C.

3. A  由得，由题意得，则且，解得，故选A.

4. C  令，所以，所以函数的图象过定点.因为点A在角的终边上，所以，即有.故选C.

5. D  ，，，，，，可得在，，上存在零点.故选D.

6. C  由，解得或.当时，；当时，.因为函数在上是单调递增函数，故.又，所以，所以，则.故选C.

7. B  因为关于x的不等式的解集为，所以当时，，即.由题意可知与x轴只有一个交点，即，即，化简得，解得，所以.

8. A  正五边形的一个内角为，则，，，所以.

9. ABC  由题意得，，

由于，所以点不在函数的图象上，所以点不是“亮点”；

由于，所以点不在函数的图象上，所以点不是“亮点”；

由于，所以点不在函数的图象上，所以点不是“亮点”；

由于，，所以点在函数和的图象上，所以点是“亮点”.故选ABC.

10. ACD  因为，，所以，当且仅当，即，时等号成立，A正确；

，即，当且仅当，即，时等号成立，B错；

，当且仅当时等号成立，C正确；

，当且仅当时等号成立，D正确.故选ACD.

11. ABC  因为函数的图象与y轴交于点，所以，又，所以，A正确；

因为的图象与x轴的一个交点为，即，所以，.又，解得，所以，所以，求得的最小正周期为，B正确；

，所以是的一条对称轴，C正确；

令，，解得，，所以函数在，上单调递减，D错误.

12. ABD  对于A，令，得，所以，故A正确；

对于B，令，得，所以，

任取，，且，则，

因为，所以，所以，

所以在上是减函数，故B正确；

对于C，

，故C错误；

对于D，因为，且，所以，

所以，

所以等价于，

又在上是减函数，且，所以，

解得，故D正确，故选ABD.

13.   .

14.   由得，

∴.

15.   当时，成立，符合题意；

当时，则有，解得.综上，.

16.   由题意得，即，得.所以a的取值范围为.

17. 解：（1），为锐角，，∴，……1分

∵，∴，∴，……3分

则.……5分

（2）

.……10分

18. 解：（1）p为假命题等价于关于x的方程无实数根.

当时，，解得，有实数根，不符合题意；……2分

当时，由题意得，得，

.……6分

（2）因为为非空集合，所以，解得.……8分

若是的充分不必要条件，则，故，得，∴.

故a的取值范围为.……12分

19. 解：（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，即；经检验时，是定义在上的奇函数.……2分

设，且，则.……4分

因为，所以，，，

所以，所以，所以在上是增函数；……6分

（2）依题意为奇函数，又由（1）知在上是增函数，由，得，所以，即，解得.所以实数k的取值范围是.……12分

20. 解：（1）.……3分

令，，所以，，……5分

所以的单调递增区间为，.……6分

（2）因为，所以，令，

又因为在上递增，在上递减，且，，

所以的最小值为，所以，此时，……10分

所以，所以.……12分

21. 解：（1）依题意得方程的两根为－1，b.

将代入方程得，

于是方程可化为，解得或.……3分

所以函数的零点为－1，.

（2）因为函数在内恰有1个零点，

所以该函数图象在内与x轴只有一个公共点.……4分

（i）当时，由，得，故满足题意；……5分

（ii）当时，

①当函数的图象穿过x轴时，则由，解得，

此时且，满足题意.……7分

当时，，满足题意；……8分

当时，，满足题意.……9分

②当函数的图象不穿过x轴时，则由，解得.……10分

由即，解得，

故满足题意.……11分

综上所述，a的取值范围是.……12分

22. 解：（1）由题意得，所以，.……2分

令，，设，，则为开口向上，对称轴为的抛物线，在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，即的最小值为－1.……5分

（2）①设在上存在满足“奇点函数”性质，则.……6分

令，则，当且仅当时取等号，又，所以，即，所以，所以，所以；……8分

②设在存在满足“奇点函数”性质，则，即有解，因为在上单调递减，所以；……10分

同理当在存在满足“奇点函数”性质时，解得；……11分

所以实数m的取值范围.……12分