2022-2023学年四川省泸州市泸县四中高二（上）期末数学试卷（理科）

这是一份2022-2023学年四川省泸州市泸县四中高二（上）期末数学试卷（理科），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年四川省泸州市泸县四中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是　　A．8号学生 B．200号学生 C．616号学生 D．815号学生2．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则，的值分别为　　A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，83．已知直线过点，且倾斜角为，则直线的方程为　　A． B． C． D．4．双曲线的渐近线方程是　　A． B． C． D．5．已知直线，，若，则实数的值为　　A．3 B．0或3 C．1 D．或16．圆与圆的位置关系为　　A．外离 B．外切 C．相交 D．内切7．为了解某社区居民的家庭年收入年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入（万元）8.28.610.011.212支出（万元）7.407.508.008.50但是统计员不小心丢失了一个数据（用代替），在数据丢失之前得到回归直线方程为，则的值等于　　A．8.60 B．8.80 C．9.25 D．9.528．执行如图所示的程序框图，如果输入的，，那么输出的的最大值为　　A．0 B．1 C．2 D．39．已知实数，满足上，且，若不等式恒成立，则实数的最大值为　　A．9 B．25 C．16 D．1210．设抛物线的焦点为，点在上，若以为直径的圆过点，则的值为　　A． B．5 C． D．1011．已知在菱形中，，，把沿折起到△位置，若二面角大小为，则四面体的外接球体积是　　A． B． C． D．12．已知点为椭圆的左焦点，过原点的直线交椭圆于，两点，若，，则的离心率　　A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取　　名学生．14．设；．若是的必要而不充分条件，则实数的取值范围是 　　．15．在，上随机取一个实数，则“”发生的概率为 　　．16．已知，分别是双曲线的左、右焦点，以坐标原点为圆心，为半径的圆与该双曲线左支交于，两点，则该双曲线离心率为 　　时，△为等边三角形．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答17．（10分）已知函数．（1）当时，函数在上单调，求的取值范围；（2）若的解集为，求关于的不等式的解集．18．（12分）微信中有个“微信运动”，记录一天行走的步数．小王的“微信步数排行榜”里有120个好友．（1）若小王想统计性别对于运动步数的影响，他选择以分层抽样的方法选取一个30人的样本，已知小王“微信步数排行榜”里有的好友中男性比女性多24人，那么他所选取的样本中有女性多少人？（2）某一天，小王的微信显示“您今天超越了的好友运动步数”，于是小王对120个好友的步数做了统计，作出如下频率分布直方图，若数据均匀分布，求这天大家的运动平均步数．并估算小王这天的运动步数（结果精确到．19．（12分）已知关于，的方程．（1）若方程表示圆，求的取值范围；（2）当时，曲线与直线相交于，两点，求的值．20．（12分）如图，点，，，，在抛物线上，且抛物线的焦点是的重心，为的中点．（1）求抛物线的方程和的坐标；（2）求的坐标及所在的直线方程．21．（12分）图1是由正方形，，组成的一个等腰梯形，其中，将、分别沿，折起使得与重合，如图2．（1）设平面平面，证明：；（2）若二面角的余弦值为，求长． 22．（12分）已知椭圆的离心率为，设，是上的动点，以为圆心作一个半径的圆，过原点作该圆的两切线分别与椭圆交于点、，若存在圆与两坐标轴都相切．（1）求椭圆的方程；（2）若直线，的斜率都存在且分别为，，求证：为定值；（3）证明：为定值？并求的最大值．
2022-2023学年四川省泸州市泸县四中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是　　A．8号学生 B．200号学生 C．616号学生 D．815号学生【解析】：从1000名学生从中抽取一个容量为100的样本，系统抽样的分段间隔为，号学生被抽到，则根据系统抽样的性质可知，第一组随机抽取一个号码为6，以后每个号码都比前一个号码增加10，所有号码数是以6为首项，以10为公差的等差数列，设其数列为，则，当时，，即在第62组抽到616．故选：．2．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则，的值分别为　　A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8【解析】：乙组数据平均数；；甲组数据可排列成：9，12，，24，27．所以中位数为：，．故选：．3．已知直线过点，且倾斜角为，则直线的方程为　　A． B． C． D．【解析】：因为直线的倾斜角为，所以该直线斜率不存在，与轴垂直，又因为直线过点，所以直线的方程为．故选：．4．双曲线的渐近线方程是　　A． B． C． D．【解析】：双曲线的渐近线方程是，整理可得．故选：．5．已知直线，，若，则实数的值为　　A．3 B．0或3 C．1 D．或1【解析】：因为，所以，解得或3．故选：．6．圆与圆的位置关系为　　A．外离 B．外切 C．相交 D．内切【解析】：根据题意，圆，其圆心为，半径，圆，其圆心为，半径，圆心距，有，两圆外切，故选：．7．为了解某社区居民的家庭年收入年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入（万元）8.28.610.011.212支出（万元）7.407.508.008.50但是统计员不小心丢失了一个数据（用代替），在数据丢失之前得到回归直线方程为，则的值等于　　A．8.60 B．8.80 C．9.25 D．9.52【解析】：由题意可知：，，所以，解得．故选：．8．执行如图所示的程序框图，如果输入的，，那么输出的的最大值为　　A．0 B．1 C．2 D．3【解析】：由程序框图知：算法的功能是求可行域内，目标还是的最大值，画出可行域如图：当时，的值最大，且最大值为3．故选：．9．已知实数，满足上，且，若不等式恒成立，则实数的最大值为　　A．9 B．25 C．16 D．12【解析】：因为，所以，又因为，所以，，又因为恒成立，即恒成立，所以，又因为，当且仅当，即，时，等号成立．所以，所以的最大值为：25．故选：．10．设抛物线的焦点为，点在上，若以为直径的圆过点，则的值为　　A． B．5 C． D．10【解析】：抛物线的焦点为，设，，以为直径的圆过点，，，，，，解得，，；．故选：．11．已知在菱形中，，，把沿折起到△位置，若二面角大小为，则四面体的外接球体积是　　A． B． C． D．【解析】：过球心作平面，则为等边三角形的中心，四边形是菱形，，是等边三角形，设，交于点，则，△和是全等的正三角形，；，，，，，球的半径．外接球的体积．故选：．12．已知点为椭圆的左焦点，过原点的直线交椭圆于，两点，若，，则的离心率　　A． B． C． D．【解析】：设椭圆的右焦点为，焦距为．连接，．根据椭圆对称性可知四边形为平行四边形，则，且由，可得，所以，，则，由余弦定理可得：，所以，所以椭圆的离心率．故选：．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取　15　名学生．【解析】：高一、高二、高三年级的学生人数之比为，高二在总体中所占的比例是，用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，要从高二抽取，故答案为：1514．设；．若是的必要而不充分条件，则实数的取值范围是 　，　．【解析】：：由，两边平方得，解得：．，化为：，解得．若非是非的必要而不充分条件，则是的充分不必要条件．，解得．则实数的取值范围为，．故答案为：，．15．在，上随机取一个实数，则“”发生的概率为 　　．【解析】：由题意知，在，上满足事件“”的范围是，，，由几何概型的公式得到所求概率为．故答案为：．16．已知，分别是双曲线的左、右焦点，以坐标原点为圆心，为半径的圆与该双曲线左支交于，两点，则该双曲线离心率为 　　时，△为等边三角形．【解析】：连结，是圆的直径，，即，又△是等边三角形，，，因此，在△中，，，．根据双曲线的定义，得，解得，双曲线的离心率为．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答17．（10分）已知函数．（1）当时，函数在上单调，求的取值范围；（2）若的解集为，求关于的不等式的解集．【解析】：（1）当时，的对称轴为，由于函数在上单调，所以或，解得或，所以的取值范围是，，．（2）由于的解集为，所以，所以，所以不等式，即，所以，，解得或，所以不等式的解集为．18．（12分）微信中有个“微信运动”，记录一天行走的步数．小王的“微信步数排行榜”里有120个好友．（1）若小王想统计性别对于运动步数的影响，他选择以分层抽样的方法选取一个30人的样本，已知小王“微信步数排行榜”里有的好友中男性比女性多24人，那么他所选取的样本中有女性多少人？（2）某一天，小王的微信显示“您今天超越了的好友运动步数”，于是小王对120个好友的步数做了统计，作出如下频率分布直方图，若数据均匀分布，求这天大家的运动平均步数．并估算小王这天的运动步数（结果精确到．【解析】：（1）由题意得好友中男性有72人，女性有48人，选取30人的样本，则应选取女性人；（2）由解得，则运动平均步数（万步），运动步数在，的频率为0.35，在，的频率为0.8，则位数位于，间，小王的运动步数为（万步）．19．（12分）已知关于，的方程．（1）若方程表示圆，求的取值范围；（2）当时，曲线与直线相交于，两点，求的值．【解析】：（1）方程可化为，显然，时，方程表示圆．（2）圆的圆心，圆心到直线的距离为，圆的半径，又，．20．（12分）如图，点，，，，在抛物线上，且抛物线的焦点是的重心，为的中点．（1）求抛物线的方程和的坐标；（2）求的坐标及所在的直线方程．【解析】：（1）由点在抛物线上，则，则，即抛物线的方程为，的坐标为；（2）由点，，，，在抛物线上，且抛物线的焦点是的重心，则，即，即的坐标为，又，则，即所在的直线方程为，即．21．（12分）图1是由正方形，，组成的一个等腰梯形，其中，将、分别沿，折起使得与重合，如图2．（1）设平面平面，证明：；（2）若二面角的余弦值为，求长． 【解答】（1）证明：因为，平面，平面，所以平面，因为平面平面，平面，所以，于是．（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，设，，0，，，0，，，2，，，2，，，0，1，，，1，，，0，，，2，，设平面和平面的法向量分别为，，和，，，，令，，，，，令，，，．所以二面角的余弦值为，整理得，解得或，因为二面角是锐角，所以舍去，故长为．22．（12分）已知椭圆的离心率为，设，是上的动点，以为圆心作一个半径的圆，过原点作该圆的两切线分别与椭圆交于点、，若存在圆与两坐标轴都相切．（1）求椭圆的方程；（2）若直线，的斜率都存在且分别为，，求证：为定值；（3）证明：为定值？并求的最大值．【解析】：（1）由椭圆的离心率，则，又存在与两坐标轴都相切，则此时圆心，代入，解得：，则，椭圆方程：．（2）证明：因为直线，与圆相切，由直线与圆联立，可得，同理，由判别式为0可得，是方程的两个不相等的实数根，，因为点，在椭圆上，所以，所以．（3）证明：当直线，不落在坐标轴上时，设，，，，因为，所以，因为，，，在椭圆上，所以，整理得，所以，所以．当直线落在坐标轴上时，显然有，综上，，所以，所以的最大值为．、