高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册*1.4 数学归纳法习题

这是一份高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册*1.4 数学归纳法习题，共6页。试卷主要包含了已知f=k+++…+2k,则，用数学归纳法证明下列各式，已知f=+…+,则等内容，欢迎下载使用。
*1.4　数学归纳法A级 必备知识基础练1.用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3,n∈N+),第一步验证(　　)A.n=1 B.n=2 C.n=3 D.n=42.对于不等式<n+2(n∈N+),某同学用数学归纳法证明的过程如下:(1)当n=1时,<1+2,不等式成立.(2)假设当n=k时,不等式成立,即<k+2,那么,当n=k+1时,<=(k+1)+2.这表明,当n=k+1时,不等式也成立.由(1)和(2)可以断定,不等式对任何正整数n都成立.则上述证法(　　)A.过程全部正确B.n=1的验证不正确C.n=k的假设不正确D.从n=k到n=k+1的递推不正确3.一个关于自然数n的命题,如果证得当n=1时命题成立,并在假设当n=k(k≥1且k∈N+)时命题成立的基础上,证明了当n=k+2时命题成立,那么综合上述,对于(　　)A.一切正整数命题成立B.一切正奇数命题成立C.一切正偶数命题成立D.以上都不对4.已知f(k)=k+(k+1)+(k+2)+…+2k(k∈N+),则(　　)A.f(k+1)-f(k)=2k+2B.f(k+1)-f(k)=3k+3C.f(k+1)-f(k)=4k+2D.f(k+1)-f(k)=4k+35.用数学归纳法证明“+…+(n∈N+)”时,由n=k到n=k+1,不等式左边的变化是(　　)A.增加一项B.增加两项C.增加两项,同时减少一项D.以上结论都不正确6.用数学归纳法证明下列各式:(1)12-22+32-42+…+(-1)n-1n2=(-1)n-1·(n∈N+);(2)12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1)(n∈N+).               B级 关键能力提升练7.用数学归纳法证明1++…+<2-(n≥2,n∈N+)时,第一步需要证明(　　)A.1<2-B.1+<2-C.1+<2-D.1+<2-8.在数列{an}中,已知a1=1,当n≥2时,an-an-1=2n-1,依次计算a2,a3,a4后,猜想an的表达式是(　　)A.an=3n-2 B.an=n2C.an=3n-1 D.an=4n-39.已知f(n)=+…+,则(　　)A.f(n)共有n项,当n=2时,f(2)=B.f(n)共有n+1项,当n=2时,f(2)=C.f(n)共有n2-n项,当n=2时,f(2)=D.f(n)共有n2-n+1项,当n=2时,f(2)=10.设数列{an}的前n项和为Sn,且对任意的自然数n都有(Sn-1)2=anSn,通过计算S1,S2,S3,猜想Sn=　　　　　. 11.用数学归纳法证明不等式:1++…+<2(n∈N+).          12.数列{an}满足Sn=2n-an(n∈N+).(1)计算a1,a2,a3,a4,并由此猜想通项公式an;(2)用数学归纳法证明你的猜想.         C级 学科素养创新练13.在数列{an}中,a1=2,an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n(n∈N+),其中λ>0.(1)求a2,a3,a4,并由此猜想数列{an}的通项公式;(2)用数学归纳法证明你的猜想.
*1.4　数学归纳法1.C　由题知,n的最小值为3,所以第一步验证n=3时不等式是否成立.2.D　n=1的验证及假设都正确,但从n=k到n=k+1的递推中没有使用假设,只是通过放缩法直接证明不等式,不符合数学归纳法证题的要求.故选D.3.B　本题证明了当n=1,3,5,7,…时,命题成立,即对一切正奇数命题成立.4.B　由f(k)=k+(k+1)+(k+2)+…+2k(k∈N+),可知f(k+1)-f(k)=(k+1)+(k+2)+(k+3)+…+(2k-1)+2k+(2k+1)+2(k+1)-[k+(k+1)+(k+2)+…+2k]=3(k+1).故选B.5.C　当n=k时,不等式左边为+…+,当n=k+1时,不等式左边为+…+,故不等式左边的变化是增加两项,同时减少一项.6.证明(1)①当n=1时,左边=12=1,右边=(-1)0×=1,左边=右边,等式成立.②假设当n=k时,等式成立,即12-22+32-42+…+(-1)k-1k2=(-1)k-1·,那么,当n=k+1时,12-22+32-42+…+(-1)k-1·k2+(-1)k(k+1)2=(-1)k-1·+(-1)k(k+1)2=(-1)k(k+1)·[(k+1)-]=(-1)(k+1)-1·.这表明,当n=k+1时,等式也成立.根据①和②可以断定,对于任何n∈N+,等式都成立.(2)①当n=1时,左边=12-22=-3,右边=-3,等式成立.②假设当n=k时,等式成立,即12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1),那么,当n=k+1时,12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2+(2k+1)2-(2k+2)2=-k(2k+1)+(2k+1)2-(2k+2)2=-k(2k+1)-(4k+3)=-(2k2+5k+3)=-(k+1)[2(k+1)+1].这表明,当n=k+1时,等式也成立.由①和②可以断定,等式对任何n∈N+都成立.7.C　当n=2时,不等式的两边分别是1+<2-,故选C.8.B　计算出a1=1,a2=4,a3=9,a4=16.可猜想an的表达式是an=n2,故选B.9.D　结合f(n)中各项的特征可知,分子均为1,分母为n,n+1,…,n2的连续自然数,共有n2-n+1个,且f(2)=.10.　由(S1-1)2=S1·S1,得S1=,由(S2-1)2=(S2-S1)S2,得S2=,依次得S3=,S4=,猜想Sn=.11.证明(1)当n=1时,左边=1,右边=2.左边<右边,不等式成立.(2)假设当n=k时,不等式成立,即1++…+<2,那么,当n=k+1时,1++…+<2=2.这表明,当n=k+1时,不等式也成立.由(1)和(2)可以断定,不等式对任意n∈N+都成立.12.(1)解当n=1时,a1=S1=2-a1,解得a1=1;当n=2时,a1+a2=S2=2×2-a2,解得a2=;当n=3时,a1+a2+a3=S3=2×3-a3,解得a3=;当n=4时,a1+a2+a3+a4=S4=2×4-a4,解得a4=.由此猜想an=(n∈N+).(2)证明①当n=1时,a1=1,猜想成立.②假设当n=k时,猜想成立,即ak=,那么,当n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak=2+ak-ak+1,则2ak+1=2+ak,则ak+1=.这表明,当n=k+1时,猜想也成立.由①和②可以断定,猜想an=对任何正整数n都成立.13.(1)解由a1=2,an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n,可得a2=λ2+22,a3=2λ3+23,a4=3λ4+24,猜想an=(n-1)λn+2n.(2)证明①当n=1时,a1=(1-1)λ+2=2,猜想成立.②假设当n=k时,猜想成立,即ak=(k-1)λk+2k,那么,当n=k+1时,ak+1=λak+λk+1+(2-λ)2k=λ·(k-1)λk+λ·2k+λk+1+(2-λ)2k=k·λk+1-λk+1+λ·2k+λk+1+2k+1-λ·2k=k·λk+1+2k+1=[(k+1)-1]·λk+1+2k+1.这表明,当n=k+1时,猜想也成立.由①和②可以断定,猜想对任何正整数n都成立.