新教材2023_2024学年高中数学第1章数列培优课数列求和分层作业湘教版选择性必修第一册

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培优课　数列求和A级 必备知识基础练1.若数列{an}的通项公式是an=(-1)n·(3n-2),则它的前100项之和S100=(　　)A.150 B.120 C.-120 D.-1502.已知数列{an}的前n项和Sn=2n-1,则数列{}的前n项和Tn=(　　)A.(2n-1)2 B.4n-1C. D.3.数列{an}的通项公式为an=,若{an}的前n项和为5,则n的值为　　　　　. 4.设等差数列{an-bn}的公差为2,等比数列{an+bn}的公比为2,且a1=2,b1=1.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列{2an+2n}的前n项和Sn.              5.已知数列{an}是等差数列,a1=1,a2+a3+…+a10=144.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=,设Sn是数列{bn}的前n项和,求Sn.                        B级 关键能力提升练6.数列{an},{bn}满足anbn=1,an=n2+5n+6,n∈N+,则{bn}的前10项之和为(　　)A. B. C. D.7.已知在前n项和为Sn的数列{an}中,a1=1,an+1=-an-2,则S101=(　　)A.-97 B.-98 C.-99 D.-1008.记Sn为数列{an}的前n项和,若a1=1,a2=2,且an+2-an=1+(-1)n+1,则S100的值为(　　)A.5 050 B.2 600 C.2 550 D.2 4509.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a2=3,a7=13.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求证:当n∈N+时,=(Sn)2.                 10.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=2an-1,n∈N+.(1)证明数列{an}是等比数列,并求{an}的通项公式;(2)设bn=n·an,求数列{bn}的前n项和Tn.              C级 学科素养创新练11.(多选题)已知数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,a1=1,b1=2,a2+b2=7,a3+b3=13.记cn=数列{cn}的前n项和为Sn,则(　　)A.an=2n-1B.bn=2nC.S9=1 409D.S2n=2n2-n+(4n-1)12.在等比数列{an}中,an>0,公比q∈(0,1),且a1a5+2a3a5+a2a8=25,a3与a5的等比中项为2.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=5-log2an,数列{bn}的前n项和为Sn,设Tn=+…+,求Tn. 
培优课　数列求和1.A　S100=a1+a2+a3+…+a99+a100=-1+4-7+…+(-295)+298=50×3=150.故选A.2.C　由等比数列前n项和的性质可知数列{an}为等比数列,且an=Sn-Sn-1=2n-1,则=4n-1,该数列{}是以1为首项,以4为公比的等比数列,其前n项和Tn=.故选C.3.35　依题意得an=,所以Sn=()+()+…+()=-1.又因为Sn=-1=5,所以n=35.4.解(1)因为a1=2,b1=1,所以a1-b1=1,a1+b1=3,依题意可得an-bn=1+2(n-1)=2n-1,an+bn=3×2n-1,故an=.(2)由(1)可知2an+2n=2n-1+5×2n-1,故Sn=(1+3+…+2n-1)+5×(1+2+…+2n-1)=+5×(2n-1)=5×2n+n2-5.5.解(1)因为在等差数列{an}中,a2+a3+…+a10=144,a1=1,所以9+45d=144,所以d=3.所以数列{an}的通项公式an=3n-2.(2)因为bn=),所以Sn=b1+b2+…+bn=+…+)=(1-)=.6.D　因为anbn=1,an=n2+5n+6,所以bn=,故{bn}的前10项之和为+…+,故选D.7.C　由an+1=-an-2,得an+an+1=-2,则S101=a1+(a2+a3)+…+(a100+a101)=1-2×50=-99.故选C.8.B　当n为奇数时,an+2-an=2,数列{a2n-1}是首项为1,公差为2的等差数列;当n为偶数时,an+2-an=0,数列{a2n}是首项为2,公差为0的等差数列,即常数列.则S100=(a1+a3+…+a99)+(a2+a4+…+a100)=50+×2+50×2=2600.故选B.9.(1)解设等差数列{an}的公差为d,由a2=3,a7=13,可得解得所以an=1+2(n-1)=2n-1.故数列{an}的通项公式为an=2n-1.(2)证明由(1)有Sn==n2.所以=(n2)2=n4,(Sn)2=(n2)2=n4,故当n∈N+时,=(Sn)2.10.解(1)当n=1时,a1=S1=2a1-1,可得a1=1;当n>1时,an=Sn-Sn-1=2an-1-(2an-1-1),即an=2an-1.则数列{an}是首项为1,公比为2的等比数列,可得an=2n-1.(2)∵bn=n·an=n·2n-1,∴Tn=1×20+2×21+3×22+…+n×2n-1, ①∴2Tn=1×2+2×22+3×23+…+(n-1)×2n-1+n×2n, ②①-②得-Tn=1+2+22+23+…+2n-1-n×2n=-n×2n=-1-(n-1)×2n.∴Tn=(n-1)×2n+1.11.ABD　设数列{an}的公差为d,数列{bn}的公比为q,依题意有故an=2n-1,bn=2n,故A,B正确;则c2n-1=a2n-1=4n-3,c2n=b2n=4n,所以数列{cn}的前2n项和S2n=(a1+a3+…+a2n-1)+(b2+b4+…+b2n)==2n2-n+(4n-1),S9=S8+a9=385,故C错误,D正确.12.解(1)∵a1a5+2a3a5+a2a8=25,∴+2a3a5+=25.又an>0,∴a3+a5=5.又a3与a5的等比中项为2,∴a3a5=4.∵q∈(0,1),∴a3>a5,∴a3=4,a5=1.∴q=,a1=16.∴an=16×=25-n.(2)∵bn=5-log2an=5-(5-n)=n,∴Sn=.∴Tn=+…+=2[+…+]=2.