高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册第2章 平面解析几何初步2.3 两条直线的位置关系精练

2.3.2　两条直线的交点坐标

A级 必备知识基础练

1.下列直线与直线x+y=0只有一个交点的是(　　)

A.y=-x+3 B.-x-y+=0

C.x-y+2=0 D.2x+2y-5=0

2.两条直线l1:2x-y-1=0与l2:x+3y-11=0的交点坐标为(　　)

A.(3,2) B.(2,3)

C.(-2,-3) D.(-3,-2)

3.关于x,y的方程组没有实数解,则实数a的值是(　　)

A.4 B.2 C.-4 D.-2

4.已知两条直线2x+3y-k=0和x-6y+12=0的交点在y轴上,那么k的值是(　　)

A.-6 B.6 C.2 D.-2

5.三条直线x=2,x-y-1=0,x+ky=0相交于一点,则k的值为　　　　　. 

6.经过两条直线2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交点,并且与直线x+y=1平行的直线方程为　　　　　　　,与直线x+y=1垂直的直线方程为　　　　　　　　　　. 

7.已知两直线l1:3x-y+4=0和l2:x+y-4=0.

(1)判断两直线是否相交,若相交,求出其交点;

(2)求过直线l1与l2的交点且斜率为-2的直线方程.

B级 关键能力提升练

8.任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上,后人称这条直线为欧拉线.若已知△ABC的顶点A(-4,0),B(0,4),其欧拉线方程为x-y+2=0,则三角形外心的坐标是(　　)

A.(1,3) 

B.(-1,1)

C.(-2,0) 

D.(0,-2)

9.无论k为何值,直线(k+2)x+(1-k)y-4k-5=0都过一个定点,则该定点为(　　)

A.(1,3) 

B.(-1,3)

C.(3,1) 

D.(3,-1)

10.若直线kx-k+y+1=0与直线x+3y-3=0交点在第一象限,则实数k的取值范围为(　　)

A.

B.

C.∪(2,+∞)

D.(-∞,-2)∪

11.△ABC中,A(1,5),高BE,CF所在的直线方程分别为x-2y=0,x+5y+10=0,则BC所在直线的方程是(　　)

A.x+4y=0

B.5x-y=28

C.3x+5y=0

D.5x-3y=28

12.(多选题)若三条直线2x+y-4=0,x-y+1=0与ax-y+2=0共有两个交点,则实数a的值可以为(　　)

A.1 B.-1

C.2 D.-2

13.已知定点A(0,1),点B在直线x+y+1=0上运动,当线段AB最短时,点B的坐标是　　　　　. 

14.已知△ABC的两个顶点A(-10,2),B(6,4),垂心是H(5,2),则顶点C的坐标为　. 

15.若△ABC的顶点A(5,1),AB边上的中线CM所在直线方程为2x-y-5=0,AC边上的高BH所在直线方程为x-2y-5=0.

(1)求点C的坐标;

(2)求直线BC的方程.

C级 学科素养创新练

16.P1(a1,b1),P2(a2,b2)是直线y=kx+1(k为常数)上两个不同的点,则关于x和y的方程组的解的情况是(　　)

A.无论k,P1,P2如何,总是无解

B.无论k,P1,P2如何,总有唯一解

C.存在k,P1,P2,使是方程组的一组解

D.存在k,P1,P2,使之有无穷多解

17.已知直线l被两条直线l1:4x+y+3=0和l2:3x-5y-5=0截得的线段的中点为P(-1,2),求直线l的一般式方程.

2.3.2　两条直线的交点坐标

1.C　由题可知,A,B,D选项中的直线均与x+y=0平行,只有C选项中的直线与x+y=0相交.故选C.

2.B　解方程组

故直线l1与l2的交点坐标为(2,3).

3.C　依题意得直线2x-ay+1=0与直线x+2y-1=0平行,且a≠0.所以=-,解得a=-4.故选C.

4.B　由x-6y+12=0可得直线与y轴的交点坐标为(0,2).将点(0,2)代入2x+3y-k=0,可得k=6.

5.-2　设三条直线交于一点P,

则联立解得

即P点坐标为(2,1).

∵直线x+ky=0过点P,即2+k=0,解得k=-2.

6.x+y-3=0　x-y-1=0　解方程组所以两直线交点坐标为(2,1).

由于直线x+y=1的斜率为k=-1,因此过交点且与直线x+y=1平行的直线方程为y-1=-(x-2),整理得x+y-3=0.过交点且与直线x+y=1垂直的直线方程的斜率为1,则所求直线方程为y-1=x-2,整理得x-y-1=0.

7.解(1)∵,∴两直线相交.

解方程组解得即两直线交点为(0,4).

(2)(方法1)∵所求直线斜率为-2,且过直线l1与l2的交点,则所求的直线方程为y-4=-2(x-0),整理得2x+y-4=0.

(方法2)显然x+y-4=0不是所求方程,可设所求直线方程为3x-y+4+λ(x+y-4)=0(λ∈R),整理得(3+λ)x+(λ-1)y+4(1-λ)=0,∴-=-2,解得λ=5.整理得所求直线方程为2x+y-4=0.

8.B　∵A(-4,0),B(0,4),则线段AB的中点坐标为(-2,2).

∵线段AB的垂直平分线过点(-2,2)及原点,∴线段AB的垂直平分线方程为x+y=0.

又外心在欧拉线x-y+2=0上,联立解得故三角形ABC的外心为(-1,1).

9.D　直线方程可化为(2x+y-5)+k(x-y-4)=0,则已知直线一定过直线2x+y-5=0和直线x-y-4=0的交点.解方程组解得所以所求定点为(3,-1).故选D.

10.C　当k=时,kx-k+y+1=+y+=0,与x+3y-3=0平行,不符合题意,∴k≠.

解方程组

∴k>2或k<-.故选C.

11.C　∵两边AB,AC上的高线方程分别为x+5y+10=0与x-2y=0,∴它们的斜率分别为-,故AB和AC的斜率分别为5,-2,∴AB和AC的方程分别为y-5=5(x-1),y-5=-2(x-1).整理为一般式可得5x-y=0,2x+y-7=0.

解方程组即B(0,0).

同理,解方程组即C(5,-3).

故BC所在直线的方程为y=x,整理得3x+5y=0.故选C.

12.AD　由题意可得三条直线中,有两条直线互相平行.

∵直线x-y+1=0和直线2x+y-4=0不平行,

∴直线x-y+1=0和直线ax-y+2=0平行或直线2x+y-4=0和直线ax-y+2=0平行.

∵直线x-y+1=0的斜率为1,直线2x+y-4=0的斜率为-2,直线ax-y+2=0的斜率为a,

∴a=1或a=-2.故选AD.

13.(-1,0)　当直线AB和直线x+y+1=0垂直时,线段AB的距离最短,此时直线AB的方程的斜率为k=1,所以直线AB的直线方程为y=x+1.

解方程组即点B的坐标是(-1,0).

14.(6,-6)　∵A(-10,2),B(6,4),垂心H(5,2),∴kBH==2.

∵直线BH与直线AC垂直,则kAC=-.

故直线AC的方程为y-2=-(x+10),整理得x+2y+6=0.

又kAH=0,∴BC所在直线与x轴垂直,故直线BC的方程为x=6,联立直线AC与BC的方程得点C的坐标为C(6,-6).

15.解(1)因为AC边上的高BH所在直线方程为x-2y-5=0,所以kAC=-2.又因为A(5,1),所以直线AC的方程为y-1=-2(x-5),整理得2x+y-11=0.

解方程组所以点C的坐标为(4,3).

(2)设B(a,b),因为AB边上的中线CM所在直线方程为2x-y-5=0,

所以解得

所以B(-1,-3),kBC=.

所以直线BC的方程为y-3=(x-4),整理得6x-5y-9=0.

16.B　由题意则a1b2-a2b1=a1(ka2+1)-a2(ka1+1)=a1-a2.∵直线y=kx+1的斜率存在,

∴a1≠a2,a1-a2≠0,∴方程组总有唯一解.故A,D错误,B正确;

若是方程组的一组解,则则点(a1,b1),(a2,b2)在直线x+2y=1,即y=-x+上,但已知这两个点在直线y=kx+1上,这两条直线不是同一条直线,∴不可能是方程组的一组解,故C错误.故选B.

17.解设l与l1的交点坐标为A(a,y1),l与l2的交点坐标为B(b,y2),∴y1=-4a-3,y2=-1,由中点坐标公式得=-1,=2,

即解得

将a=-2,b=0代入y1=-4a-3,y2=-1得y1=5,y2=-1,∴A(-2,5),B(0,-1),∴l的方程为,整理得3x+y+1=0.