高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册2.4 点到直线的距离复习练习题

2.4　点到直线的距离

A级 必备知识基础练

1.点(2,5)到直线y=2x的距离为(　　)

A. B. C. D.

2.已知直线l1:x+ay-1=0与直线l2:2x-y+1=0平行,则l1与l2之间的距离为(　　)

A. B. C. D.

3.点P在x轴上,若它到直线4x-3y-3=0的距离等于1,则点P的坐标是(　　)

A.(2,0) B.(0,2)

C.(-,0) D.(2,0)或(-,0)

4.平面上到直线3x-4y-1=0的距离为2的点的轨迹方程是(　　)

A.3x-4y-11=0

B.3x-4y+9=0

C.3x-4y+11=0或3x-4y-9=0

D.3x-4y-11=0或3x-4y+9=0

5.已知点P(3,1)到直线l:x+ay-3=0的距离为,则a=　　　　　. 

6.若直线l与直线x-2y+4=0平行,且直线l到直线x-2y+4=0的距离和原点到直线l的距离相等,则直线l的方程是　. 

7.已知A(a,-5)与B(0,10)两点间的距离是17,则a的值为　　　　　. 

8.已知直线l经过点(-2,3),且原点到直线l的距离等于2,求直线l的方程.

B级 关键能力提升练

9.已知P,Q分别为直线l1:3x+4y-4=0与l2:3x+4y+1=0上的两个动点,则线段PQ的长度的最小值为(　　)

A. B.1 C. D.2

10.已知直线l过点Q(1,2),且点P(0,4)到直线l的距离为2,则这样的直线l的条数为(　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

11.已知A(-2,-4),B(1,5)两点到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则实数a的值为(　　)

A.-3 B.-3或3 C.-1 D.-1或1

12.(多选题)两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(-3,-1),并且各自绕着点A,B同时旋转(旋转过程两直线保持平行),如果两条平行直线间的距离为d,则d的值可以为(　　)

A.3 B.12 C.10 D.5

13.若动点A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为　　　　　. 

14.已知△ABC三边所在直线方程:lAB:3x-2y+6=0,lAC:2x+3y-22=0,lBC:3x+4y-m=0(m∈R,m≠30).

(1)判断△ABC的形状;

(2)当BC边上的高为1时,求m的值.

15.在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC的三个顶点A(m,n),B(2,1),C(-2,3),且BC边上中线AD的方程为x-2y+t=0(t∈R).

(1)求t的值;

(2)若点A到直线BC的距离为,求中线AD的长度.

C级 学科素养创新练

16.设实数x,y满足x+y=4,则的最小值为(　　)

A. B.4 C.2 D.8

17.已知点A(-1,1),B(3,5),若点A,B到直线l的距离都为2,求直线l的方程.

2.4　点到直线的距离

1.A　直线y=2x可化为2x-y=0,由点到直线的距离公式得.故选A.

2.D　由l1∥l2得,a=-,则直线l1的方程为x-y-1=0,整理可得直线l1:2x-y-2=0,所以直线l1与l2之间的距离d=,故选D.

3.D　设P点坐标为(x,0),则点P到直线4x-3y-3=0的距离d==1,解得x=2或x=-,故点P的坐标为(2,0)或,故选D.

4.D　依题意知,所求点的轨迹为直线,且与直线3x-4y-1=0平行,设所求直线方程为3x-4y+C=0(C≠-1),根据两条平行直线间的距离公式,得=2,解得C1=-11或C2=9,故所求点的轨迹方程为3x-4y-11=0或3x-4y+9=0,故选D.

5.±　由点到直线的距离公式得,解得a=±.

6.x-2y+2=0　设所求直线l的方程为x-2y+C=0,则,解得C=2,故直线l的方程为x-2y+2=0.

7.±8　因为A(a,-5)与B(0,10)两点间的距离是17,所以=17,解得a=±8.

8.解当直线l的斜率不存在时,则直线l的方程为x=-2,符合原点到直线l的距离等于2;

当直线l的斜率存在时,设所求直线l的方程为y-3=k(x+2),整理得kx-y+2k+3=0.

由点到直线的距离公式得d==2,

得k=-,即直线l的方程为-x-y+=0,整理得5x+12y-26=0.

故所求直线l的方程为x=-2或5x+12y-26=0.

9.B　由题可知直线l1与l2平行.当线段PQ的长度等于两平行线间的距离时,线段PQ的长度最小,则直线l1与l2之间的距离为=1,故线段PQ的长度的最小值为1,故选B.

10.C　因为直线l过点Q(1,2),且|PQ|=>2,所以满足条件的直线l有2条.故选C.

11.B　由点到直线的距离公式得,即|2a+3|=|a+6|,解得a=±3.故选B.

12.AD　如图所示,显然有0<d≤|AB|,而|AB|==3,故所求的d的变化范围为(0,3].则d的值可以是3,5,故选AD.

13.3　由题意知,直线l1与直线l2平行,点M在直线l1与l2之间且与两直线距离相等的直线上,设该直线的方程为x+y+c=0(c≠-7且c≠-5),则,即c=-6,所以点M在直线x+y-6=0上,故点M到原点的距离的最小值就是原点到直线x+y-6=0的距离,即=3.

14.解(1)因为直线AB的斜率为kAB=,直线AC的斜率为kAC=-,所以kAB·kAC=-1,所以直线AB与AC互相垂直,因此△ABC为直角三角形.

(2)解方程组即A(2,6).

由点到直线的距离公式得d=.

当d=1时,=1,|30-m|=5,解得m=25或m=35.所以m的值为25或35.

15.解(1)由题知,线段BC的中点为D(0,2),代入中线AD的方程x-2y+t=0,得0-2×2+t=0,解得t=4.

(2)∵B(2,1),C(-2,3),∴直线BC的斜率为=-.故直线BC的方程为y-1=-(x-2),整理得x+2y-4=0.

由(1)知中线AD的方程为x-2y+4=0.

∵点A(m,n)在中线AD上,把A点坐标代入得m-2n+4=0,①

又点A到直线BC:x+2y-4=0的距离为d=,

化简得|m+2n-4|=4,②

联立①②,解得

所以点A的坐标为(2,3)或(-2,1).

当A(2,3)时,中线AD的长度为|AD|=,当A(-2,1)时,中线AD的长度为|AD|=.

因此中线AD的长度为.

16.C　,所以表示直线x+y=4上的点与点(1,-1)的距离,所以其最小值为d==2.故选C.

17.解由题知,直线AB的斜率为=1,则直线AB的方程为y-1=x+1,整理得x-y+2=0.

①当直线l与直线AB平行时,设直线l的方程为x-y+m=0,因为点B到直线l的距离为2,则=2,解得m=2±2,故直线l的方程为x-y+2-2=0或x-y+2+2=0.

②当直线l过AB的中点(1,3)时,若直线l的斜率存在,设直线l的方程为y-3=k(x-1),整理为kx-y+3-k=0,点A到直线l的距离为=2,解得k=0,故直线l的方程为y=3;

若直线l的斜率不存在,直线l的方程为x=1.

综上,直线l的方程为x-y+2-2=0或x-y+2+2=0或y=3或x=1.