新教材2023_2024学年高中数学第2章平面解析几何初步培优课对称问题的解法分层作业湘教版选择性必修第一册

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培优课　对称问题的解法A级 必备知识基础练1.点A(1,4)关于原点对称的点的坐标是(　　)A.(-1,4) B.(1,-4)C.(-1,-4) D.(-4,-1)2.点A(1,4)关于点M(0,-1)的对称点坐标是(　　)A.() B.(-1,2)C.(-1,6) D.(-1,-6)3.点A(1,4)关于x轴的对称点的坐标是(　　)A.(-1,4) B.(1,-4)C.(-1,-4) D.(-4,-1)4.点P(2,5)关于直线x=4的对称点的坐标是(　　)A.(6,5) B.(6,-5) C.(5,6) D.(5,-6)5.点P(2,5)关于直线x+y=0的对称点的坐标是(　　)A.(5,2) B.(-5,-2)C.(-2,-5) D.(5,-2)6.直线2x-y=2关于直线2x-y+3=0的对称直线方程是　　　　　　　. 7.直线l与l1关于点(1,-1)中心对称,若直线l的方程是2x+3y-6=0,则直线l1的方程是　　　　　　　. 8.求直线l:2x-3y+1=0关于y轴对称的直线的方程.              B级 关键能力提升练9.已知点A(5,7)与点B关于直线l:y=x+1对称,则点B的坐标为(　　)A.(7,6)B.(4,7)C.(6,-7)D.(6,6)10.一束光线从点M(5,3)射出,经x轴反射后的光线经过点N(7,3),则反射光线所在的直线方程为(　　)A.y=3x-18B.y=-3x-12C.y=3x+12D.y=-3x+1811.光线从A(-3,4)点射出,到x轴上的B点后,被x轴反射到y轴上的C点,又被y轴反射,这时反射线恰好过点D(-1,6),则BC所在直线的方程是(　　)A.5x-2y+7=0B.3x+y-1=0C.3x-2y+4=0D.2x-y-3=012.很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如,与相关的代数问题,可以转化为点A(x,y)与点B(a,b)之间的距离的几何问题.结合上述观点,对于函数f(x)=,f(x)的最小值为              (　　)A.2 B.2C.2 D.213.已知点A(1,3)关于直线y=kx+b对称的点是B(-2,1),则直线y=kx+b的方程是　　　　　　　　　　. 14.将一张画了直角坐标系(两坐标轴单位长度相同)的纸折叠一次,使点A(2,0)与点B(-2,4)重合,则与点C(5,8)重合的点的坐标是　　　　　. 15.已知点A(0,4)与点B关于直线l0:x+2y-3=0对称.(1)求B点的坐标;(2)一条光线沿直线l:x-y+4=0入射到直线l0后反射,求反射光线所在的直线方程.       16.在△ABC中,点A(2,-1),AB边上中线所在的直线方程为x+3y-6=0,∠ABC的内角平分线所在的直线方程为x-y+1=0.(1)求点B的坐标;(2)求△ABC的边BC所在直线的方程.                 C级 学科素养创新练17.如图,光线从P(a,0)(a>0)出发,经过直线l:x-3y=0反射到Q(b,0),该光线在Q点被x轴反射,若反射光线恰与直线l平行,且b≥13,则实数a的最小值是　　　　　. 
培优课　对称问题的解法1.C2.D　由题意可知,点M是所求点与点A的中点,设所求点为A'(x,y),则解得即所求点的坐标为(-1,-6).故选D.3.B4.A　设点Q(a,b)为所求的对称点,则由题意知b=5,且点Q与点P的中点在直线x=4上,因此=4,得a=6.故所求对称点是(6,5).5.B　设对称点P'(m,n),则解得故点P关于直线x+y=0的对称点的坐标是(-5,-2).6.2x-y+8=0　直线2x-y=2可化为2x-y-2=0,则直线2x-y-2=0与直线2x-y+3=0平行.设所求直线的方程为2x-y+t=0(t≠-2,且t≠3),在直线2x-y=2上任取一点M(1,0),设点M关于直线2x-y+3=0的对称点为M'(a,b),则解得即点M'的坐标为(-3,2).将点M'的坐标代入方程2x-y+t=0,解得t=8.故所求直线方程为2x-y+8=0.7.2x+3y+8=0　在直线l1上任取一点A(x,y),则点A关于点(1,-1)的对称点B(2-x,-2-y)一定在直线l:2x+3y-6=0上,故有2(2-x)+3(-2-y)-6=0,整理得2x+3y+8=0.故直线l1的方程为2x+3y+8=0.8.解设M(x,y)是所求直线上的任意一点,则其关于y轴的对称点为M'(-x,y)在直线l:2x-3y+1=0上,即为-2x-3y+1=0,整理得2x+3y-1=0.故与直线l:2x-3y+1=0关于y轴对称的直线的方程为2x+3y-1=0.9.D　设B(x,y),则AB的中点坐标是(),则由题意可得解得即B(6,6).故选D.10.A　根据光线的反射原理,入射光线上的点关于反射面对称的点在反射光线的反向延长线上.由题可知,点M(5,3)关于x轴对称的点为M'(5,-3),则M'(5,-3)在反射光线的反向延长线上.则kM'N==3,所以反射光线所在的直线方程为y-3=3(x-7),即y=3x-18.故选A.11.A　根据题意,作出如图所示的光线路径,则点A(-3,4)关于x轴的对称点为A'(-3,-4),点D(-1,6)关于y轴的对称点为D'(1,6),则BC所在直线的方程即为A'D'所在直线的方程.由两点式方程,得直线A'D'的方程为,整理得5x-2y+7=0.故选A.12.A　由题得,f(x)=,则f(x)=表示动点P(x,1)到定点A(-1,0)和B(1,0)的距离之和.因为点P(x,1)在直线y=1上运动,作点B(1,0)关于直线y=1的对称点B1,则B1(1,2),故|PA|+|PB|=|PA|+|PB1|≥|AB1|==2,当且仅当A,P,B1三点共线时,等号成立,故f(x)的最小值为2,故选A.13.y=-x+　由题意得,直线AB与直线y=kx+b垂直,且线段AB的中点(-,2)在直线y=kx+b上.由kAB=,可得解得故直线方程为y=-x+.14.(6,7)　由已知得折线为线段AB的垂直平分线,设垂直平分线的方程为y=kx+b,线段AB的中点为(0,2),斜率为kAB==-1,则线段AB的垂直平分线的斜率k为1,将点(0,2)代入,可得b=2,故垂直平分线的方程为y=x+2.设点C(5,8)关于直线y=x+2的对称点为P(x0,y0),则解得因此所求点的坐标是(6,7).15.解(1)设B(a,b),则解得所以B点坐标为(-2,0).(2)设反射光线所在的直线为l'.因为点A在直线l上,所以点B在直线l'上.设l与l0的交点为P,联立方程解得所以P(-).反射光线所在的直线即为直线BP,其直线方程为y=(x+2),整理得y=7x+14.故反射光线所在的直线方程为y=7x+14.16.解(1)设点B(x0,y0),则解得故点B的坐标为().(2)设点A(2,-1)关于x-y+1=0对称的点为A'(m,n),则AA'的中点坐标为(),kAA'=,解方程组则A'(-2,3).由(1)知B(),所以kA'B=,所以直线BC的方程为y-(x-),整理得x-9y+29=0.故△ABC的边BC所在直线的方程为x-9y+29=0.17.5　如图,设P关于直线l的对称点为M,则点M一定在第一次反射的反射光线所在直线上,设点M关于x轴的对称点为N,则点N在第二次反射的反射光线所在直线上.设M(x,y),则解得即M(a,a).则点N坐标为(a,-a).由题意kQN=,整理得b=a.∵b≥13,∴a≥13,解得a≥5.故a的最小值为5.