新教材2023_2024学年高中数学第2章平面解析几何初步测评湘教版选择性必修第一册

这是一份新教材2023_2024学年高中数学第2章平面解析几何初步测评湘教版选择性必修第一册，共11页。

第2章测评
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.直线2x+3y+1=0的斜率和它在y轴上的截距分别为(　　)
A.2,1 B.
C.-,- D.-,-
2.已知直线l经过点(3,1),且直线l的一个法向量是(1,1),则l的方程是(　　)
A.y=-x+4 B.y=x-2
C.y=-x+2 D.y=x+2
3.若圆C1:x2+y2-2x-4y-4=0,圆C2:x2+y2-6x-10y-2=0,则圆C1,C2的公切线条数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
4.已知圆的一条直径的端点分别是A(-1,0),B(3,-4),则该圆的方程为(　　)
A.(x+1)2+(y-2)2=8
B.(x-1)2+(y+2)2=8
C.(x+1)2+(y-2)2=32
D.(x-1)2+(y+2)2=32
5.经过两条直线2x+y+2=0和3x+4y-2=0的交点,且垂直于直线3x-2y+4=0的直线方程为 (　　)
A.2x+3y-2=0 B.2x+3y+3=0
C.3x+2y-2=0 D.3x+2y+3=0
6.经过点A(1,2)可作圆x2+y2+mx-2y+4=0的两条切线,则实数m的取值范围是(　　)
A.(-∞,-2)∪(2,+∞)
B.(-5,-2)∪(2,+∞)
C.(-∞,-2)∪(2,+∞)
D.(-5,-2)∪(2,+∞)
7.已知圆C1与圆C2:(x+2)2+(y-1)2=4关于直线y=x对称,则圆C1的方程为(　　)
A.(x+1)2+(y-2)2=4
B.(x-1)2+(y-2)2=4
C.(x+1)2+(y+2)2=4
D.(x-1)2+(y+2)2=4
8.阿波罗尼斯证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数k(k>0,k≠1)的点的轨迹是圆,后人将该圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A,B间的距离为2,动点P满足,当P,A,B不共线时,△PAB面积的最大值是(　　)
A.2 B. C. D.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.若l1与l2为两条不重合的直线,它们的倾斜角分别是α1,α2,下列命题是真命题的为(　　)
A.若l1∥l2,则两条直线的斜率相等
B.若两条直线的斜率相等,则l1∥l2
C.若l1∥l2,则α1=α2
D.若α1=α2,则l1∥l2
10.已知直线l的一个方向向量为u=-,且直线l经过点(1,-2),则下列结论中正确的是 (　　)
A.直线l的倾斜角等于150°
B.直线l在x轴上的截距等于
C.直线l与直线x-3y+2=0垂直
D.直线l与直线x+y+2=0平行
11.已知直线l1:x-y-1=0,动直线l2:(k+1)x+ky+k=0(k∈R),则下列结论正确的是(　　)
A.存在k,使得直线l2的倾斜角为90°
B.对任意的k,直线l1与l2都有公共点
C.对任意的k,直线l1与l2都不重合
D.对任意的k,直线l1与l2都不垂直
12.已知实数x,y满足方程x2+y2-2x-4y+1=0,则下列说法正确的是(　　)
A.x2+y2的最大值为2+
B.(x+2)2+(y+1)2的最大值为22+12
C.x+y的最大值为3+2
D.4x-3y的最大值为8
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.我国古代名著《墨经》中给出了圆的定义为“一中同长也”.已知O为坐标原点,P(-1,),若☉O,☉P的“长”分别为1,r(r>0),且两圆相切,则r=　　　　　. 
14.已知直线l:mx-y=1,若直线l与直线x-my-1=0平行,则实数m的值为　　　　　.动直线l被圆C:x2+y2+2x-24=0截得弦长的最小值为　　　　　. 
15.一个圆过圆C:x2+y2-2x=0与直线l:x+2y-3=0的交点,且圆心在y轴上,则这个圆的方程为　　　　　　　　. 
16.已知P(3,-2),M为圆x2+(y-2)2=4上的动点,则线段MP长度的取值范围是　　　　　　　　. 
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知直线l1:ax+2y+6=0和l2:x+(a-1)y+a2-1=0(a≠1),试求a为何值时,(1)l1∥l2;(2)l1⊥l2.










18.(12分)已知圆C:x2+y2+2x-4y-4=0.
(1)在下列两个条件中任选一个作答.
①已知不过原点的直线l与圆C相切,且在x轴,y轴上的截距相等,求直线l的方程;
②从圆外一点P(2,1)向圆引切线,求切线方程.(注:如果选择两个条件分别解答,按第一个解答计分)
(2)若圆C2:x2+y2=4与圆C相交于D,E两点,求线段DE的长.










19.(12分)已知△ABC的顶点A(4,2),AB边上的中线CM所在直线方程为x-y-3=0,AC边上的高BH所在直线方程为x+2y-2=0.求:
(1)顶点C的坐标;
(2)点B到直线AC的距离.























20.(12分)已知A(0,3),O为坐标原点,直线l:y=2x-4,设圆C的半径为1,圆心在直线l上.
(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线方程;
(2)若圆C上存在点M,使|MA|=2|MO|,求圆心C的横坐标a的取值范围.















21.(12分)已知圆C经过(2,4),(1,3)两点,圆心C在直线x-y+1=0上,过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C相交于M,N两点.
(1)求圆C的标准方程;
(2)若=12(O为坐标原点),求直线l的斜率.


















22.(12分)已知线段AB的端点B的坐标是(6,8),端点A在圆x2+y2=16上运动,M是线段AB的中点,且直线l过定点(1,0).
(1)求点M的轨迹方程;
(2)记(1)中求得的图形的圆心为C,若直线l与圆C交于P,Q两点,求△CPQ面积的最大值,并求此时直线l的方程.











第2章测评
1.D　将2x+3y+1=0化为斜截式,得y=-x-,所以直线的斜率为-,在y轴上的截距为-,故选D.
2.A　由直线l的一个法向量为(1,1)可知直线l的斜率为-1.
因为直线l经过点(3,1),且直线l的斜率为-1,所以根据直线的点斜式可得直线l的方程是y-1=-(x-3),整理得y=-x+4,故选A.
3.B　依题意,圆C1:(x-1)2+(y-2)2=9,圆心为C1(1,2),半径为r1=3,
圆C2:(x-3)2+(y-5)2=36,圆心为C2(3,5),半径为r2=6.因为|C1C2|=,且r2-r1< 故选B.
4.B　由题意可知,线段AB的中点为(1,-2),即该圆的圆心为(1,-2).
又圆的半径为r=|AB|==2,故圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=8.故选B.
5.A　联立方程组解得则交点为A(-2,2).
因为所求直线垂直于直线3x-2y+4=0,所以所求直线的斜率k=-.故所求直线方程为y-2=-(x+2),即2x+3y-2=0.故选A.
6.B　由x2+y2+mx-2y+4=0整理得x+2+(y-1)2=-3,
∴-3>0,解得m<-2或m>2.
由题意知点A在圆外,
∴1+4+m-4+4>0,
解得m>-5.
综上可得,-52.
故选B.
7.D　设圆心C2(-2,1)关于直线y=x的对称点C1的坐标为(a,b),则线段C1C2的中点为,且.则解得即圆C1的圆心为C1(1,-2).
因为两圆关于直线对称,所以两圆的半径相等,即圆C1的半径为2,
所以圆C1的方程为(x-1)2+(y+2)2=4.
故选D.
8. A　如图所示,以经过A,B两点的直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,则点A(-1,0),B(1,0).


设点P(x,y),因为,所以,
整理得x2+y2-6x+1=0,即(x-3)2+y2=8.
因为P,A,B三点不共线,所以当P点在直线x=3上时,△PAB面积最大,此时三角形的高为2,所以△PAB面积的最大值是×2×2=2.故选A.
9.BCD　当α1=α2=90°时,l1∥l2,但两条直线斜率不存在,故A错误;
若两条直线的斜率相等,且两直线不重合,可得l1∥l2,故B正确;
若l1∥l2,由平行线的性质,可得α1=α2,故C正确;
若α1=α2,由平行线的性质,可得l1∥l2,故D正确.故选BCD.
10.CD　因为直线l的一个方向向量为u=-,
所以直线l的斜率为k==-.
设直线l的倾斜角为α(0≤α<π),则tanα=-,所以α==120°,故A错误;
因为直线l经过点(1,-2),
所以直线l的方程为y+2=-(x-1),
令y=0,则x=-+1,所以直线l在x轴上的截距为-+1,故B错误;
因为直线x-3y+2=0的斜率为,直线l的斜率为-,所以-=-1,所以直线l与直线x-3y+2=0垂直,故C正确;
因为直线x+y+2=0的斜率为-,直线l的斜率也为-,且两直线截距不等,所以两直线平行,故D正确.故选CD.
11.ABD　当k=0时,直线l2斜率不存在,此时l2的倾斜角为90°,故A正确;
由可得x(2k+1)=0,对于任意的k,此方程组都有解,所以对任意的k,直线l1与l2都有公共点,故B正确;
当k=-时,直线l2:x-y-=0,即x-y-1=0,此时直线l1与l2重合,故C不正确;
由x-y-1=0可得直线l1的斜率为1,若直线l2与l1垂直,则直线l2的斜率为=-1,此方程无解,所以对任意的k,直线l1与l2都不垂直,故D正确.故选ABD.
12.BCD　方程x2+y2-2x-4y+1=0整理可得(x-1)2+(y-2)2=4,
则方程x2+y2-2x-4y+1=0表示的图形是以点C(1,2)为圆心,2为半径的圆,如图所示.

代数式x2+y2表示圆C上的点P(x,y)到原点O的距离的平方,当点P为直线OC与圆C的交点,且C在线段OP上时,|OP|取得最大值,即|OP|max=|OC|+2=2+,所以(x2+y2)max==9+4,故A错误;
由于代数式(x+2)2+(y+1)2表示圆C上的点Q(x,y)到点A(-2,-1)的距离的平方,
当点Q为直线AC与圆C的交点,且点C在线段AQ上时,|AQ|取得最大值,
即|AQ|max=|AC|+2=+2=3+2,
所以[(x+2)2+(y+1)2]max==22+12,故B正确;
设x+y=k,则直线x+y-k=0与圆C有公共点,
所以圆心到直线的距离≤2,
解得3-2≤k≤3+2,
所以x+y的最大值为3+2,故C正确;
设4x-3y=t,则直线4x-3y-t=0与圆C有公共点,
所以≤2,解得-12≤t≤8,所以4x-3y的最大值为8,故D正确.
故选BCD.
13.1或3　由题意,O为坐标原点,P(-1,).
根据圆的定义可知,☉O的圆心为O(0,0),半径为1,☉P的圆心为P(-1,),半径为r.因为两圆相切,则有|PO|=r+1或|PO|=|r-1|.
因为|PO|==2,则有r+1=2或|r-1|=2,
解得r=1或3.
14.-1　2　由题意得m×(-m)-(-1)×1=0,所以m=±1.
当m=1时,两直线重合,舍去,故m=-1.
因为圆C的方程x2+y2+2x-24=0可化为(x+1)2+y2=25,
即圆C的圆心为C(-1,0),半径为5.
由于直线l:mx-y-1=0过定点P(0,-1),所以过点P且与PC垂直的弦的弦长最短,|PC|=,
则最短弦长为2×=2.
15.x2+(y+2)2=10　由
解得
所以圆C与直线l的交点为A,B(1,1).
因为直线AB的斜率为-,线段AB的中点为,
所以线段AB的垂直平分线的斜率为2,则可得y-=2x-,即y=2x-2.
又因为圆心在y轴,所以圆心为(0,-2),半径为圆心到交点B的距离,则所求圆的方程为x2+(y+2)2=10.
16.[3,8]　因为圆x2+(y-2)2=4的圆心坐标为C(0,2),半径r=2.
又P(3,-2),所以|PC|==5.因为M为圆上的动点,所以5-r≤|MP|≤5+r,即3≤|MP|≤8,所以线段MP长度的取值范围是[3,8].
17.解(1)若l1∥l2,则解得故a=-1.
(2)若l1⊥l2,则a+2(a-1)=0,解得a=.
18.解(1)①将圆C的方程化为(x+1)2+(y-2)2=9,
∴圆心C的坐标为(-1,2),半径为3.
∵直线l在两坐标轴上的截距相等且不为零,故直线l的斜率为-1.
设直线l的方程为y=-x+b,
∵直线l与圆(x+1)2+(y-2)2=9相切,
∴=3,整理得b=1±3.
故所求直线l的方程为y=-x+1±3.
②将圆C的方程化为(x+1)2+(y-2)2=9,∴圆心C的坐标为(-1,2),半径为3.
当过点P的直线斜率不存在时,直线方程为x=2,
此时圆心C到直线的距离为3,所以直线x=2是圆C的切线.
当过点P的直线斜率存在时,
设切线方程为y-1=k(x-2),
即kx-y+1-2k=0.
由题意可知=3,解得k=,
∴切线方程为x-y+1-2×=0,
整理得4x-3y-5=0.
综上所述,切线方程为4x-3y-5=0或x=2.
(2)联立两圆方程得
①-②得2x-4y=0,则DE所在直线的方程为x-2y=0.
则圆心C到直线DE的距离为d=.
∴线段DE的长为2=4.
19.解(1)设C(m,n),由于AB边上的中线CM所在直线方程为x-y-3=0,AC边上的高BH所在直线方程为x+2y-2=0.
则解得故可得顶点C的坐标为(3,0).
(2)设B(a,b),则
解得
则可得B点坐标为,-.
由(1)可得直线AC的方程为,整理得2x-y-6=0.
故点B到直线AC的距离d=.
20.解(1)由题得圆心在直线l:y=2x-4和直线y=x-1上,
则可得解得即圆心C的坐标为(3,2).
设过A(0,3)的圆C的切线方程为y-3=k(x-0),即kx-y+3=0,由直线kx-y+3=0与圆C相切,可得=1,解得k=0或k=-,故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=0.
(2)根据圆心C在直线l:y=2x-4上,可设圆心C为(a,2a-4),则圆的方程为(x-a)2+(y-2a+4)2=1.
若圆C上存在点M,使|MA|=2|MO|,设M(x,y),
∵|MA|=2|MO|,
∴=2,整理可得x2+(y+1)2=4,故点M在以D(0,-1)为圆心,2为半径的圆上.
又点M也在圆C上,故圆C和圆D有交点,
∴2-1≤|CD|≤1+2,即1≤≤3,得解得0≤a≤,即a的取值范围为.
21.解(1)设圆C的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),
则由题意可得
解得
所以圆C的标准方程为(x-2)2+(y-3)2=1.
(2)设直线l的方程为y=kx+1,设M(x1,y1),N(x2,y2),
将y=kx+1代入(x-2)2+(y-3)2=1,
整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0,
x1+x2=,x1x2=.
=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=+8=12,即=4,解得k=1.经检验,符合题意,所以直线l的斜率为1.
22.解(1)设M(x,y),A(x0,y0),
∵M是线段AB中点,∴
整理可得
∵点A在圆x2+y2=16上,
∴(2x-6)2+(2y-8)2=16,整理得(x-3)2+(y-4)2=4,
即M点的轨迹方程为(x-3)2+(y-4)2=4.
(2)由直线l与圆C交于P,Q两点知直线l斜率存在且不为0.
设直线l的方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0,
则圆心C到直线l距离d=,
∵S△CPQ=|PQ|·d=d=2,当且仅当4-d2=d2,即d2=2时,等号成立.
由d2=2得=2,解得k=1或k=7.
故△CPQ面积的最大值为2,此时直线l的方程为x-y-1=0或7x-y-7=0.