高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册4.3 组合第1课时课后测评

4.3　组合

第1课时　组合与组合数

A级 必备知识基础练

1.学校要求学生从物理、历史、化学、生物、政治、地理这6科中选3科参加考试,规定先从物理和历史中任选1科,然后从其他4科中任选2科,不同的选法种数为(　　)

A.5 B.12 

C.20 D.120

2.某新农村社区共包括n个自然村,且这些村庄分布零散,没有任何三个村庄在一条直线上,现要在该社区内建“村村通”工程,共需建公路的条数为28,则n=(　　)

A.6 B.8 

C.9 D.10

3.某中学招聘5位老师,其中安排2位老师去高一,安排2位老师去高二,安排1位老师去高三,则不同的安排方法有(　　)

A.30种 B.60种 

C.90种 D.120种

4.国庆期间,甲、乙等6人计划分两组(每组3人)去旅行,每组将在云南丽江、广西桂林、河北石家庄、内蒙古呼和浩特选1个地方,且每组去的地方不同.已知甲不想去云南,乙只想去广西,其余4人这4个地方都想去,则他们分组旅行的方案种数为(　　)

A.24 B.30 

C.18 D.36

5.在某社会实践活动中,某班有一个7人小组参加烧烤活动,老师将从小组成员中选出2名同学整理烧烤架,再选出3名同学生火.若小组中的甲、乙两位同学至多有1人生火,则不同的安排方案种数为(　　)

A.120 B.150 

C.180 D.240

6.(2023新高考Ⅰ,13)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有　　　　　种(用数字作答). 

7.若=12,则n=　　　　　. 

8.方程中的解x=　　　　　. 

9.生物兴趣小组有12名学生,其中正、副组长各1名,组员10名.现从该小组选派3名同学参加生物学科知识竞赛.

(1)如果正、副组长2人中有且只有1人入选,共有多少种不同的选派方法?

(2)如果正、副组长2人中至少有1人入选,且组员甲没有入选,共有多少种不同的选派方法?

B级 关键能力提升练

10.(多选题)已知+0!=4,则m的值可以是(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

11.=(　　)

A. B. C. D.

12.2名老师和4名学生共6人参加两项不同的活动,每人参加一项活动,每项活动至少有2人参加,但2名老师不能参加同一项活动,则不同的参加方式的种数为(　　)

A.20 B.28 C.40 D.50

13.有10台不同的电视机,其中甲型3台,乙型3台,丙型4台.现从中任意取出3台,若其中至少含有两种不同的型号,则不同的取法共有(　　)

A.96种 B.108种 C.114种 D.118种

14.某省派出5个医疗队去支援4个灾区,每个灾区至少分配一个医疗队,则不同的分配方案共有　　　　　种.(用数字填写答案) 

15.要从6名男生4名女生中选出5人参加一项活动.

(1)甲当选且乙不当选,有多少种不同的选法?

(2)至多有3名男生当选,有多少种不同的选法?

C级 学科素养创新练

16.按照下列要求,分别求有多少种不同的方法?

(1)5个不同的小球放入3个不同的盒子;

(2)5个不同的小球放入3个不同的盒子,每个盒子至少一个小球;

(3)5个相同的小球放入3个不同的盒子,每个盒子至少一个小球;

(4)5个不同的小球放入3个不同的盒子,恰有1个空盒.

第1课时　组合与组合数

1.B　第一步,从物理和历史中任选1科,有=2种选法;第二步,从其他4科中任选2科,有=6种选法.

根据分步乘法计数原理,共有2×6=12种选法.故选B.

2.B　由于“村村通”公路的修建,是组合问题,故共需要建公路的条数为=28,解得n=8或n=-7(舍去).

3.A　根据题意,不同的安排方法可以分三步完成:

第一步,在5个老师中选出2人,安排去高一,有=10种选法;第二步,在剩下3人中,选出2人,安排到高二,有=3种选法;第三步,将最后1人安排到高三,有1种选法.

根据分步乘法计数原理,共有10×3×1=30种不同的安排方法.故选A.

4.A　若甲和乙都去广西桂林,则有=12种方案;若甲不去广西桂林,则有=12种方案.故他们分组旅行的方案种数为12+12=24.故选A.

5.C　小组中的甲、乙两位同学都生火,共有=30种,

故甲、乙两位同学至多有1人生火的不同的安排方案种数为-30=180.故选C.

6.64　(方法1　直接法)若选2门课,只需体育类和艺术类各选1门,有=16种不同的选课方案;若选3门课,分两类.体育类选1门、艺术类选2门,体育类选2门、艺术类选1门,有=48种不同的选课方案.综上,共有16+48=64种不同的选课方案.

(方法2　间接法) 由题意可知,从8门课中选择2门或者3门共有=84种不同的选课方案,只选择体育类或艺术类的有2()=20种,则符合题意的共有84-20=64种不同的选课方案.

7.8　由题得,=n(n-1)(n-2),n(n-1),

所以n(n-1)(n-2)=12×n(n-1).

因为n∈N+,且n≥3,解得n=8.

8.2　原式可化为.

∵0≤x≤5,∴x2-23x+42=0,解得x=21(舍去)或x=2,即x=2为原方程的解.

9.解(1)正、副组长2人中有且只有1人入选,则选派方法数为=90.

(2)正、副组长2人都入选,且组员甲没有入选,选派方法数为=9.

正、副组长2人中有且只有1人入选,且组员甲没有入选,选派方法数为=72.

故正、副组长2人中至少有1人入选,且组员甲没有入选的选派方法数为9+72=81.

10.BC　∵+0!=4,∴=6.当m=2时,等式成立;当m=3时,等式成立.故选BC.

11.A　由题可得,=1+5+15=21.

对于A,=21,故A正确;

对于B,=6,故B错误;

对于C,=7,故C错误;

对于D,=6×5×4×3=360,故D错误.故选A.

12.B　由题意参加方式分为两类:第一类,一项活动有1名老师和1名学生,另一项活动有1名老师和3名学生,有种参加方式;第二类,一项活动有1名老师和2名学生,另一项活动有1名老师和2名学生,有种参加方式.根据分类加法计数原理,不同的参加方式的种数共有=28.故选B.

13.C　根据题意,从10台不同的电视机中任意取出3台,有=120种取法,其中只有甲型电视机的取法有=1种,只有乙型电视机的取法有=1种,只有丙型电视机的取法有=4种,则其中至少含有两种不同的型号的取法有120-1-1-4=114种.故选C.

14.240　派出5个医疗队去支援4个灾区,每个灾区至少分配一个医疗队,则其中有一个灾区安排两个医疗队,剩下的3个灾区各安排一个医疗队,可以分两步:

第一步,先选出一个灾区分配两个医疗队,有种分配法;第二步,为剩下的3个灾区各分配一个医疗队有种分配法.根据分步乘法计数原理,不同的分配方案有=240种.

15.解(1)若甲当选,乙不当选,则从剩余8人选4人即可,即有=70种选法.

(2)至多有3名男生当选,则有1男4女,2男3女,3男2女三种情况,

共有=6+60+120=186种选法.

16.解(1)5个不同的小球放入3个不同的盒子,每个小球都有3种可能,利用分步乘法计数原理可得不同的方法有35=243种.

(2)5个不同的小球放入3个不同的盒子,每个盒子至少一个小球,先把5个小球分组,分法有2,2,1和3,1,1两种,再放入3个不同的盒子,故不同的方法共有(=150种.

(3)5个相同的小球放入3个不同的盒子,每个盒子至少一个小球,类似于在5个小球间的空隙中,放入2个隔板,把小球分为3组,故不同的方法共有=6种.

(4)5个不同的小球放入3个不同的盒子,恰有一个空盒,先把5个小球分2组,分法有3,2,0和4,1,0两种,再放入3个不同的盒子,故不同的方法共有(=90种.