数学选择性必修 第一册4.3 组合第2课时课时作业

第2课时　组合在实际问题中的应用

A级 必备知识基础练

1.要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A,B,C三个班中,要求每个班至少分到一人,则甲被分到A班的分法种数为(　　)

A.6 B.12 

C.24 D.36

2.某校在重阳节当日安排6位学生到两所敬老院开展志愿服务活动,要求每所敬老院至少安排2人,则不同的分配方案数是(　　)

A.35 B.40 

C.50 D.70

3.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有(　　)

A.60种 B.120种 

C.240种 D.480种

4.将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通,每个路口至少一人,其中一个路口3人,且甲、乙在同一路口的分配方案共有(　　)

A.18种 B.24种 

C.36种 D.72种

5.某省示范性高中安排6名高级教师到甲、乙、丙三所中学进行支教,每所学校至少安排1人,则不同的分配方案有(　　)

A.150种 B.180种 

C.270种 D.540种

6.(2023全国乙,理7)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种,则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有(　　)

A.30种 B.60种 

C.120种 D.240种

7.从6个人中选4个人去值班,每人值班一天,第一天安排1个人,第二天安排1个人,第三天安排2个人,则共有　　　　　种安排情况. 

8.双十一活动期间,某商场计划将5张广告宣传页粘贴在商场的3个不同的入口,其中有2张是电器广告的宣传页,要求这2张电器广告的宣传页必须粘贴在不同入口,且每个入口至少粘贴1张宣传页,则不同的粘贴方法有　　　　　种. 

9.从6名短跑运动员中选4人参加4×100米接力赛,如果甲不能跑第一棒,乙不能跑第四棒,共有多少种不同的参赛方法?

B级 关键能力提升练

10.把16个相同的小球放到三个编号为1,2,3的盒子中,且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数,则不同的放法有(　　)

A.18种 B.28种 

C.36种 D.42种

11.从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点,可得到四面体的个数为(　　)

A.-12 B.-8 

C.-6 D.-4

12.现有15个数学竞赛参赛名额分给五个班,其中一、二班每班至少3个名额,三、四、五班每班至少2个名额,则名额分配方式共有(　　)

A.15种 B.35种 

C.70种 D.125种

13.(多选题)某师范大学5名毕业生到某山区的乡村小学工作.将这5名毕业生分配到该山区的A,B,C三所小学,每所学校至少分配1人.(　　)

A.若甲不去A小学,则共有100种分配方法

B.若甲、乙去同一所小学,则共有36种分配方法

C.若有一所小学分配了3人,则共有90种分配方法

D.共有120种分配方法

14.(2023全国甲,理9)有五名志愿者参加社区服务,共服务星期六、星期天两天,每天从中任选两人参加服务,则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为(　　)

A.120 B.60 

C.40 D.30

15.现有10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中,从中任意取出4只,4只鞋子恰有两双的种数为　　　　　,4只鞋子有2只成双,另2只不成双的种数为　　　　　. 

16.已知从1,3,5,7,9中任取两个数,从0,2,4,6,8中任取两个数,组成没有重复数字且不含有数字0的四位数的个数为　　　　　,没有重复数字的四位偶数的个数为　　　　　. 

17.在如图所示的四棱锥中,顶点为P,从其他的顶点和各棱中点中取3个,使它们和点P在同一平面内,则不同的取法种数为　　　　　.(用数字作答) 

18.将四个编号为1,2,3,4的小球放入四个编号为1,2,3,4的盒子中.

(1)若每盒至多一球,则有多少种放法?

(2)若恰好有一个空盒,则有多少种放法?

(3)若每个盒内放一个球,并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同,则有多少种放法?

C级 学科素养创新练

19.方程x1+x2+x3+x4=12的正整数解共有(　　)

A.165组 B.120组 

C.38组 D.35组

第2课时　组合在实际问题中的应用

1.B　(方法1)根据题意分2步进行分析:第一步,将甲、乙、丙、丁4名同学分为3组,有=6种分组方法;第二步,将甲所在的组分到A班,剩下2组安排到B,C班,有=2种情况.则由分步乘法计数原理可知共有6×2=12种分法.故选B.

(方法2)依题意,若A班只有1名同学,则这名同学一定是甲,然后将乙、丙、丁3人分到B,C两个班,则有=6种不同的分法;若A班有2名同学,则问题转化为乙、丙、丁3位同学分到A,B,C三个班中,共有=6种不同的分法,由分类加法计数原理可知共有6+6=12种不同的分法,故选B.

2.C　6名学生分成两组,每组不少于两人的分组,一组2人另一组4人,或每组3人,所以不同的分配方案数为=50,故选C.

3.C　根据题意,有一个项目中分配2名志愿者,其余各项目中分配1名志愿者,可以先从5名志愿者中任选2人,组成一个小组,有种选法;然后连同其余三人,看成四个元素,四个项目看成四个不同的位置,四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有种,根据分步乘法计数原理,完成这件事共有=240种不同的分配方案.故选C.

4.A　5名交警分配到三个不同路口疏导交通,每个路口至少一人,其中一个路口3人,所以不同路口的执勤人数为3,1,1.

又甲、乙在同一路口,先选一个人和甲乙组成一组有种选法,剩余两人为两组,然后安排到3个路口共有=18种不同的安排方法.故选A.

5.D　将6人分成3组,可以是1,1,4,也可以是1,2,3,也可以是2,2,2,

第一类,若分成1,1,4,有=90种安排方法;第二类,若分成1,2,3,有=360种安排方法;第三类,若分成2,2,2,有=90种安排方法.根据分类加法计数原理,共有90+360+90=540种不同的分配方案.故选D.

6.C　(方法1　直接法)甲在6种课外读物中任选2种,有种选法,乙在甲选的2种课外读物中挑一种有种选法,乙在甲选2种课外读物后剩下的4种中选一种有种选法,则这两人选读的课外读物中恰有一种相同的选法共有×2×4=120种.

(方法2　间接法)甲、乙两位同学各自选读2种课外读物共有种选法,甲、乙所选都不同有种选法,甲、乙所选都相同有种选法,故这两人选读的课外读物中恰有一种相同的选法有·(-1)=120种.故选C.

7.180　根据题意,可知共有=180种方法.

8.114　根据题意,分2步进行分析:

第1步,将5张宣传页分为3组,其中2张电器广告的宣传页不能在同一组,

若分为1-1-3的三组,有=7种分组方法,

若分为1-2-2的三组,有=12种分组方法,则广告宣传页共有7+12=19种分组方法.

第2步,将分好的三组分别粘贴在不同入口,有=6种分组方法.

根据分步乘法计数原理,则有19×6=114种不同的粘贴方法.

9.解把所选取的运动员的情况分为三类:

第1类,甲、乙两人均不参赛,不同的参赛方法有=24种;

第2类,甲、乙两人有且只有1人参赛,不同的参赛方法有)=144种;

第3类,甲、乙两人都参赛,不同的参赛方法有-2)=84种.

由分类加法计数原理知,所有的参赛方法共有24+144+84=252种.

10.C　根据题意,16个相同的小球放到三个编号为1,2,3的盒子中,且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数,先在1号盒子里放1个球,在2号盒子里放2个球,在3号盒子里放3个球,则原问题可以转化为将剩下的10个小球,放入3个盒子,每个盒子至少放1个的问题,将剩下的10个球排成一排,有9个空位,在9个空位中任选2个,插入挡板,有=36种不同的放法.

11.A　从正方体的8个顶点中选取4个顶点有种,正方体表面四点共面不能构成四面体有6种情况,正方体的六个对角面四点共面不能构成四面体有6种情况,所以可得到的四面体的个数为-6-6=-12种,故选A.

12.B　根据题意,先将15个名额分配给一班、二班每班2个,三、四、五班每班1个,还剩下8个名额,将剩下的8个名额进行排列,产生7个“空档”,在7个“空档”中任选4个,则有=35种分配方法,故选B.

13.AB　对于A,5名毕业生分配到三所小学可以分成3,1,1或2,2,1两种情况,

若A小学安排1人,则有)=56种分配方法;

若A小学安排2人,则有=36种分配方法,若A小学安排3人,则有=8种分配方法,所以甲不去A小学共有56+36+8=100种分配方法,故A正确;

对于B,若甲、乙同去一所小学,则将甲、乙捆绑,共有=36种,所以甲、乙去同一所小学共有36种分配方法,故B正确;

对于C,若有一所小学分配了3人,先将5人分成3,1,1三组,再将三组人分配到三所小学,所以有=60种分配方法,故C错误;

对于D,这5名毕业生分配到该山区的A,B,C三所小学,每所学校至少分配1人,共有(=150种分配方案,故D错误.故选AB.

14.B　(方法1　直接法)在5名志愿者中任选2人参加星期六的社区服务,有种情况;星期天时,先在星期六选中的2人中任选1人,有种情况,再在星期六选中的2人之外的3人中选1人,有种情况.

由分步乘法计数原理知,共有=60种情况.

(方法2　间接法)由题意知总的选择种数为=100种,其中2人都连续两天参加服务有=10种情况,没有人连续两天参加服务有=30种情况,则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为100-10-30=60.故选B.

15.45　1 440　从10双中任选2双有=45种取法.先选取一双有种选法,再从9双中任取两双有种选法,每双鞋只取一只各有2种取法,根据分步乘法计数原理可知选取的种数为N=×22=1440.

16.1 440　1 120　从1,3,5,7,9中任取两个数,从2,4,6,8中任取两个数,组成=10×6×24=1440个没有重复数字且不含有数字0的四位数.

当0在末位时,共有=10×4×6=240个四位偶数,

当末位为2,4,6,8(且0不在首位),共有4-4=880个四位偶数,

则可以组成240+880=1120个没有重复数字的四位偶数.

17.56　满足要求的点的取法可分为三类:

第一类,在四棱锥的每个侧面上除点P外任取3点,有4种取法;

第二类,在两个对角面上除点P外任取3点,有2种取法;

第三类,过点P的侧棱中,每一条上的三点和与这条棱异面的两条棱的中点也共面,有4种取法.

因此,满足题意的不同取法共有4+2+4=56种.

18.解(1)根据题意,若每盒至多一球,即每个盒子放入一个小球,有=24种放法.

(2)根据题意,分2步进行分析:

第一步,将4个小球分为3组,其中1组2个小球,另外2组各有1个小球,有=6种分组方法;第二步,将4个小盒中任选3个,放入三组小球,有=24种情况.

根据分步乘法计数原理,共有6×24=144种不同的放法.

(3)根据题意,分2步进行分析:

第一步,先选出1个小球,放到对应序号的盒子里,有=4种情况;第二步,其余三个球的放法有2种.

恰好有一个球的编号与盒子的编号相同的放法有4×2=8种.

19.A　如图,将12个完全相同的球排成一列,

在它们之间形成的11个空隙中任选三个插入三块隔板,把球分成四组,每一种分法所得球的数目依次是x1,x2,x3,x4的值,显然满足x1+x2+x3+x4=12,故(x1,x2,x3,x4)是方程x1+x2+x3+x4=12的一组解,

反之,方程x1+x2+x3+x4=12的每一组解都对应着一种在12个球中插入隔板的方式,

故方程x1+x2+x3+x4=12的正整数解的数目为=165.故选A.