鲁教版 (五四制)七年级上册2 平方根教案及反思

平方根（1）教学设计

一、学生起点分析

学生已具备了对无理数的认识，知道只有有理数是不够的．学生还具备了乘方运算的基础，并且有计算正方形等几何图形面积的技能．在前面的学习过程中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具备了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力．这节课的教学，力求从学生实际出发，以他们熟悉的问题情景引入学习主题，在关注现实生活的同时，更加关注数学知识内部的挑战性．

二、教学任务分析

本节内容计2个课时，本节课是第1课时，主要是算术平方根的概念和性质的教学．课程标准要求，对于数学概念的教学，要关注概念的实际背景与形成过程，因此确定本节的教学目标如下：

  ·知识与技能目标

1．了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根．

2．了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根．

3．了解算术平方根的性质．

  ·过程与方法目标

1．在概念形成过程中，让学生体会知识的来源与发展，提高学生的思维能力．

2．在合作交流等活动中，培养他们的合作精神和创新意识．

·情感与态度目标

让学生积极参与教学活动，培养他们对数学的好奇心和求知欲．

教学重点：

了解算术平方根的概念、性质，会用根号表示一个正数的算术平方根．

教学难点：

对算术平方根的概念和性质的理解．

三、教法学法

教学方法：讲授法．

课前准备：

教具：教材，多媒体课件，电脑．

学具：教材，笔，练习本．

四、教学过程：

    本课时设计六个环节：第一环节：问题情境；第二环节：初步探究；第三环节：深入探究；第四环节：反馈练习；第五环节：学习小结；第六环节：作业布置．

本节课教学流程为：

第一环节：问题情境

方法一：问题导入

内容：上节课学习了无理数，了解到无理数产生的实际背景和引入的必要性，掌握了无理数的概念，知道有理数和无理数的区别是：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数．比如上一节课我们做过的：由两个边长为1的小正方形，通过剪一剪，拼一拼，得到一个边长为a的大的正方形，那么有a2=2，a=       ，2是有理数，而a是无理数．在前面我们学过若x2=a，则a叫x的平方，反过来x叫a的什么呢？本节课我们一起来学习．

方法二：问题导入

内容：前面我们学习了勾股定理，请大家根据勾股定理，结合图形完成填空：

x2=          ，y2=          ，z2=          ，w2=          ．

意图：方法一和二都是带着问题进入到这节课的学习，让学生体会到学习算术平方根的必要性．

效果：能表示x2=2，y2=3，z2=4，w2=5；能求得z＝2，但不能求得x、y、w的值．

说明：方法一的引入是由上节课“数怎么又不够用了”的例子，起到了承前启后的作用，方法二的引入是由学生学习了第一章“勾股定理”后的应用，说明学习这节课的必要性．相对而言，建议选用方法二．

第二环节：初步探究

内容1：情境引出新概念

x2=2，y2=3，z2=4，w2=5，已知幂和指数，求底数x，你能求出来吗？

意图：让学生体验概念形成过程，感受到概念引入的必要性．

效果：学生可以估算出x，y是1到2之间的数，w是2到3之间的数但无法表示x、y、w，从而激发学生继续往下学习的兴趣，进而引入新的运算——开方．

说明：无论是用方法一引入，还是方法二引入，都是激发学生继续往下学习的兴趣，都可以提出同样的问题“已知幂和指数，求底数x，你能求出来吗？”

内容2：在上面思考的基础上，明晰概念：

一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记为“”，读作“根号a”．特别地，我们规定0的算术平方根是0，即．

意图：对算术平方根概念的认识．

效果：了解算术平方根的概念，知道平方运算和求正数的算术平方根是互逆的．

内容3：简单运用  巩固概念

例1   求下列各数的算术平方根：

（1）900； （2）1；  （3）；   （4）14．

意图：体验求一个正数的算术平方根的过程，利用平方运算求一个正数的算术平方根的方法，让学生明白有的正数的算术平方根可以开出来，有的正数的算术平方根只能用根号表示，如14的算术平方根是．

效果：会求一个正数的算术平方根，更进一步了解算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根．

答案：解：（1）因为302=900，所以900的算术平方根是30，即；

（2）因为12=1，所以1的算术平方根是1，即；

（3）因为，所以 的算术平方根是， 即；

         （4）14的算术平方根是．

内容4：回解课堂引入问题

x2=2，y2=3，w2=5，那么x=，y=，w=．

第三环节：深入探究

内容1：例2   自由下落物体的高度h（米）与下落时间t（秒）的关系为h=4.9t2．有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？

意图：用算术平方根的知识解决实际问题．

效果：学生多能利用等式的性质将h=4.9t2进行变形，再用求算术平方根的方法求得题目的解．

解：将h=19.6代入公式得h=4.9 t2， t2 =4，所以t = =2(秒) ．

即铁球到达地面需要2秒．

说明：此题是为得出下面的结论作铺垫的．

内容2：观察我们刚才求出的算术平方根有什么特点．

意图：让学生认识到算术平方根定义中的两层含义：中的a是一个非负数，a的算术平方根也是一个非负数，负数没有算术平方根．这也是算术平方根的性质——双重非负性．

效果：再一次深入地认识算术平方根的概念，明确只有非负数才有算术平方根．

第四环节：反馈练习

一、填空题：

1．若一个数的算术平方根是，那么这个数是          ；

2．的算术平方根是              ；

3．的算术平方根是              ；

4．若，则=             ．

 二、求下列各数的算术平方根：

     36，，15，0.64，，，．

三、如图，从帐篷支撑竿AB的顶部A向地面拉一根绳子AC固定帐篷．若绳子的长度为5.5米，地面固定点C到帐篷支撑竿底部B的距离是4.5米，则帐篷支撑竿的高是多少米？

答案：

一、1.7；2. ；3. ；4．16；  二、6；；；0.8；；；1；

三、解：由题意得 AC=5.5米，BC=4.5米，∠ABC=90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得（米）．所以帐篷支撑竿的高是 米．

意图：旨在检测学生对算术平方根的概念和性质的掌握情况，以便根据学生情况调整教学进程.

效果：练习注意了问题的梯度性，由浅入深，一步步加深对算术平方根的概念以及性质的认识.对学生的回答，教师要给予评价和点评．

第五环节：学习小结

内容：这节课学习的算术平方根是本章的基本概念，是为以后的学习做铺垫的．通过这节课的学习，我们要掌握以下的内容：

（1）算术平方根的概念，式子中的双重非负性：一是a≥0，二是≥0．

（2）算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根．

（3）求一个正数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算，利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根．

意图：依照本节课的教学目标引导学生自己小结本节课的知识要点，强化算术平方根的概念和性质．

第六环节：作业布置

习题4.3

五、教学设计说明

1．设计理念

要想让学生正确、牢固地树立起算术平方根的概念，需要由浅入深、不断深化的过程．概念是由具体到抽象、由特殊到一般，经过分析、综合去掉非本质特征，保持本质属性而形成的．概念的形成过程也是思维过程，加强概念形成过程的教学，对提高学生的思维水平是很有必要的．概念教学过程中要做到：讲清概念，加强训练，逐步深化．

 “讲清概念”就是通过具体实例揭露算术平方根的本质特征．算术平方根的本质特征就是定义中指出的：“如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，”的 “正数x”，即被开方数是正的，由平方的意义，a也是正数，因此算术平方根也必须是正的．当然零的算术平方根是零.

“加强训练”不但指要加强求算术平方根的基本训练,使练习题达到一定的质和量,也包括书写格式的训练，如在求正数的算术平方根时，不是直接写出算术平方根，而是通过平方运算来求算术平方根，非平方数的算术平方根只能用根号来表示.

“逐步深化”是指利用算术平方根的概念和性质的题目按不同的“梯度”组成题组，在教学的不同阶段按由浅入深的原则加以使用.

2．知识拓展

在教学中，根据学生的实际情况，在学有余力的情况下，可用以下的例题和练习题进行知识的拓展：

内容：例  已知，求的值．

解：因为 和都是非负数，并且，所以 ，，解得x=2，y= -4，所以．

意图：加深对算术平方根概念中两层含义的认识，会用算术平方根的概念来解决有关的问题．

效果：达到能灵活运用算术平方根的概念和性质的目的．

课后还可以布置相应的拓展性习题：

内容：1．已知，求x+y+z的值．

2．若x，y满足，求xy的值．

3．求中的x．

4．若的小数部分为a，的小数部分为b，求a+b的值．

5．△ABC的三边长分别为a，b，c，且a，b满足，求c的取值范围．

解：1．因为≥0，≥0，≥0，且 ，

所以=0，=0，=0，解得，，，所以x+y+z= ．

2．因为2x-1≥0，1-2x≥0，所以 2x-1=0，解得 x= ，当 x=时，y=5，所以 xy=×5=．

3．解：因为x-5≥0，≥0 ，所以 x=5 ．

4．解：因为 ，所以的整数部分为8，的整数部分为1，所以的小数部分，的小数部分，所以．

5．解：由，可得，因为 ≥0，≥0，所以=0，=0，所以a = 1，b = 2，由三角形三边关系定理有：b- a < c < b+a ，即1 < c < 3．