鲁教版 (五四制)九年级上册2 30°，45°，60°的三角函数值教学设计及反思

§2.2  30°，45°，60°角的三角函数值

教学目标    

    (一)教学知识点

    1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义.

    2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算.

    3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小.

    (二)思维训练要求

    1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，发展学生观察、分析、发现的能力.

    2.培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.

    (三)情感与价值观要求

    1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心.培养学生独立思考问题的习惯.

    2.在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.

教学重点

    1.探索30°、45°、60°角的三角函数值.

    2.能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.

    3.比较锐角三角函数值的大小.

教学难点

    进一步体会三角函数的意义.

教学方法

    自主探索法

教学准备

    一副三角尺、多媒体演示

教学过程

    Ⅰ.创设问题情境，引入新课

    [问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度.

    (用多媒体演示上面的问题，并让学生交流各自的想法)

[生]我们组设计的方案如下：

    让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B处，使这位同学拿起三角尺，她的视线恰好和斜边重合且过树梢C点，30°的邻边和水平方向平行，用卷尺测出AB的长度，BE的长度，因为DE=AB，所以只需在Rt△CDA中求出CD的长度即可.

    [生]在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，AD＝BE，BE是已知的，设BE=a米，则AD＝a米，如何求CD呢?

    [生]含30°角的直角三角形有一个非常重要的性质：30°的角所对的边等于斜边的一半，即AC＝2CD，根据勾股定理，(2CD)2＝CD2+a2.

    CD＝a.则树的高度即可求出.

    [师]我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确定，那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定，如果能求出30°的正切值，在上图中，tan30°=，则CD=atan30°，岂不简单.

    你能求出30°角的三个三角函数值吗?

    Ⅱ.讲授新课

    1.探索30°、45°、60°角的三角函数值.

    [师]观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于多少度?

    [生]一副三角尺中有四个锐角，它们分别是30°、60°、45°、45°.

    [师]sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流.

    [生]sin30°＝.

sin30°表示在直角三角

形中，30°角的对边与

斜边的比值，与直角三角形的大小无关.我们不妨设30°角所对的边为a(如图所示)，根据“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”的性质，则斜边等于2a.根据勾股定理，可知30°角的邻边为a，所以sin30°＝.

    [师]cos30°等于多少?tan30°呢?

    [生]cos30°＝.

    tan30°=

    [师]我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°、60°，它们的三角函数值分别是多少?你是如何得到的?

    [生]求60°的三角函数值可以利用求30°角三角函数值的三角形.因为30°角的对边和邻边分别是60°角的邻边和对边.利用上图，很容易求得sin60°=,  cos60°=, tan60°＝.

    [生]也可以利用上节课我们得出的结论：一锐角的正弦等于它余角的余弦，一锐角的余弦等于它余角的正弦.可知sin60°＝cos(90°－60°)＝cos30°=cos60°=sin(90°－60°)=sin30°=.

    [师生共析]我们一同来求45°角的三角函数值.含45°角的直角三角形是等腰直角三角形.(如图)设其中一条直角边为a，则另一条直角

边也为a，斜边a.由此可求得

    sin45°=,

    cos45°＝,

    tan45°=

[师]下面请同学们完成下表(用多媒体演示)

30°、45°、60°角的三角函数值

这个表格中的30°、45°、60°角的三角函数值需熟记，另一方面，要能够根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应的锐角的大小.

    为了帮助大家记忆，我们观察表格中函数值的特点.先看第一列30°、45°、60°角的正弦值，你能发现什么规律呢?

    [生]30°、45°、60°角的正弦值分母都为2，分子从小到大分别为，，，随着角度的增大，正弦值在逐渐增大.

    [师]再来看第二列函数值，有何特点呢?

    [生]第二列是30°，45°、60°角的余弦值，它们的分母也都是2，而分子从大到小分别为，，，余弦值随角度的增大而减小.

    [师]第三列呢?

    [生]第三列是30°、45°、60°角的正切值，首先45°角是等腰直角三角形中的一个锐角，所以tan45°=1比较特殊.

    [师]很好，掌握了上述规律，记忆就方便多了.下面同桌之间可互相检查一下对30°、45°、60°角的三角函数值的记忆情况.相信同学们一定做得很棒.

    2.例题讲解(多媒体演示)

    [例1]计算：

    (1)sin30°+cos45°；

    (2)sin260°+ sin230°－tan45°.

分析：本题旨在帮助学生巩固特殊角的三角函数值，今后若无特别说明，用特殊角三角函数值进行计算时，一般不取近似值.

解：(1)sin30°+cos45°=,

(2) sin260°+ sin230°－tan45°

 =.

    [例2]一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01 m)

    分析：引导学生自己根据题意画出示意图，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.

    解：根据题意(如图)

可知，∠BOD=60°，

OB=OA＝OD=2.5 m，

∠AOD＝×60°＝30°，

    ∴OC=OD·cos30°

=2.5×≈2.165(m).

    ∴AC＝2.5－2.165≈0.34(m).

    所以，最高位置与最低位置的高度约为0.34 m.

    Ⅲ.随堂练习

    多媒体演示

    1.计算：

    (1)sin60°－tan45°；

    (2)cos60°+tan60°；

    (3) sin45°+sin60°－2cos45°.

    解：(1)原式＝－1=；

    (2)原式=+

(3)原式=×+－=

    2.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°.高为7 m，扶梯的长度是多少?

    解：扶梯的长度为=14(m)，

    所以扶梯的长度为14 m.

    Ⅳ.课时小结

    本节课总结如下：

    (1)探索30°、45°、60°角的三角函数值.

    sin30°＝，sin45°＝，sin60°＝；

    cos30°＝，cos45°＝ ，cos60°＝；

tan30°= ，tan45°＝1，tan60°=.

    (2)能进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.

    (3)能根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应锐角的大小.

    Ⅴ.课后作业

    习题2.3第1、2、3题

    Ⅵ.活动与探究

(2003年甘肃)如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB＝CD=30 m，两楼问的距离AC=24 m，现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高?

(精确到0.1 m，≈1.41，≈1.73)

    [过程]根据题意，将实际问题转化为数学问题，当光线从楼顶E，直射到乙楼D点，D点向下便接受不到光线，过D作DB⊥AE(甲楼).在Rt△BDE中.BD=AC＝24 m，∠EDB＝30°.可求出BE，由于甲、乙楼一样高，所以DF=BE.

    [结果]在Kt△BDE中，BE=DB·tan30°＝24×=8m.

    ∵DF＝BE，

    ∴DF=8≈8×1.73＝13.84(m).

    甲楼的影子在乙楼上的高CD=30－13.84≈16.2(m).

板书设计

§2.2  30°、45°、60°角的三角函数值

一、探索30°、45°、60°的三角函数值1.预备知识：含30°的直角三角形中，30°角的对边等于斜边的一半.含45°的直角三角形是等腰直角三角形.

2.30°，45°，60°角的三角函数值列表如下：

二、含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.

三、实际应用

备课资料

    参考练习

    1.计算：.

    答案：3－

    2.汁算：(+1)－1+2sin30°－

    答案：－

    3.计算：(1+)0－｜1－sin30°｜1+()－1.

    答案：

    4.计算：sin60°+

    答案：－

5.计算；2－3－(+π)0－cos60°－.

    答案：－