鲁教版 (五四制)六年级下册1 同底数幂的乘法教案

这是一份鲁教版 (五四制)六年级下册1 同底数幂的乘法教案，共11页。教案主要包含了提出问题，例题，练习等内容，欢迎下载使用。

(一)教学知识点
1.经历探索同底数幂的乘法运算性质的过程，进一步体会幂的意义.
2.了解同底数幂乘法的运算性质，并能解决一些实际问题.
(二)能力训练要求
1.在进一步体会幂的意义时，发展推理能力和有条理的表达能力.
2.学习同底幂乘法的运算性质，提高解决问题的能力.
(三)情感与价值观要求
在发展推理能力和有条理的表达能力的同时，体会学习数学的兴趣，培养学习数学的信心.
●教学重点
同底数幂的乘法运算法则及其应用.
●教学难点
同底数幂的乘法运算法则的灵活运用.
●教学方法
引导启发法
教师引导学生在回忆幂的意义的基础上，通过特例的推理，再到一般结论的推出，启发学生应用旧知识解决新问题，得出新结论，并能灵活运用.
●教具准备
投影片
第一张：问题情景，记作(§6.1A)
第二张：做一做，记作(§6.1B)
第三张：议一议，记作(§6.1C)
第四张：例题，记作(§6.1 D)
第五张：随堂练习，记作(§6.1E)
●教学过程
Ⅰ.创设问题情景，引入新课
［师］同学们还记得“an”的意义吗？
［生］an表示n个a相乘，我们把这种运算叫做乘方.乘方的结果叫幂，a叫做底数，n是指数.
［师］我们回忆了幂的意义后，下面看这一章最开始提出的问题(出示投影片§6.1 A):
问题1：光的速度约为3×105千米/秒，太阳光照射到地球上大约需要5×102秒，地球距离太阳大约有多远？
问题2：光在真空中的速度大约是3×105千米/秒，太阳系以外距离地球最近的恒星是比邻星，它发出的光到达地球大约需4.22年.一年以3.15×107秒计算，比邻星与地球的距离约为多少千米？
［生］根据距离=速度×时间，可得：
地球距离太阳的距离为：3×105×5×102=3×5×(105×102)(千米)
比邻星与地球的距离约为：3×105×3.15×107×4.22=39.879×(105×107)(千米)
［师］105×102，105×107如何计算呢？
［生］根据幂的意义：
105×102=×
=
=107
105×107
=
=
［师］很棒！我们观察105×102可以发现105、102这两个因数是同底的幂的形式，所以105×102我们把这种运算叫做同底数幂的乘法，105×107也是同底数幂的乘法.
由问题1和问题2不难看出，我们有必要研究和学习这样一种运算——同底数幂的乘法.
Ⅱ.学生通过做一做、议一议，推导出同底数幂的乘法的运算性质
1.做一做
出示投影片(§6.1B)
计算下列各式：
(1)102×103;
(2)105×108;
(3)10m×10n(m,n都是正整数)
你发现了什么？注意观察计算前后底数和指数的关系，并能用自己的语言加以描述.
(4)2m×2n等于什么？()m×()n呢，(m,n都是正整数).
［师］根据幂的意义，同学们可以独立解决上述问题.
［生］(1)102×103=(10×10)×(10×10×10)=105=102+3
因为102的意义表示两个10相乘;103的意义表示三个10相乘.根据乘方的意义5个10相乘就表示105同样道理，可求得：
(2)105×108
=×
=1013=105+8
(3)10m×10n
=×
=10m+n
从上面三个小题可以发现，底数都为10的幂相乘后的结果底数仍为10，指数为两个同底的幂的指数和.
［师］很好！底数不同10的同底的幂相乘后的结果如何呢？接着我们来利用幂的意义分析第(4)小题.
［生］(4)2m×2n
=×
=2m+n
()m×()n
=×
=()m+n
我们可以发现底数相同的幂相乘的结果的底数和原来底数相同，指数是原来两个幂的指数的和.
2.议一议
出示投影片(§6.1 C)
am·an等于什么(m,n都是正整数)？为什么？
［师生共析］am·an表示同底的幂的乘法，根据幂的意义，可得
am·an=·
==am+n
即有am·an=am+n(m,n都是正整数)
用语言来描述此性质，即为：
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
［师］同学们不妨再来深思，为什么同底数幂相乘，底数不变，指数相加呢？即为什么am·an=am+n呢？
［生］am表示m个a相乘，an表示n个a相乘，am·an表示m个a相乘再乘以n个a相乘，即有(m+n)个a相乘，根据乘方的意义可得am·an=am+n.
［师］也就是说同底数幂相乘，底数不变，指数要降低一级运算，变为相加.
Ⅲ.例题讲解
出示投影片(§6.1D)
［例1］计算：
(1)(－3)7×(－3)6;(2)()3×();
(3)－x3·x5; (4)b2m·b2m+1.
［例2］用同底数幂乘法的性质计算投影片(§6.1 A)中的问题1和问题2.
［师］我们先来看例1中的四个小题，是不是都能用同底数幂的乘法的性质呢？
［生］(1)、(2)、(4)都能直接用同底数幂乘法的性质——底数不变，指数相加.
［生］(3)也能用同底数幂乘法的性质.因为－x3·x5中的－x3相当于(－1)×x3,也就是说－x3的底数是x,x5的底数也为x,只要利用乘法结合律即可得出.
［师］下面我就叫四个同学板演.
［生］解：(1)(－3)7×(－3)6=(－3)7+6=(－3)13;
(2)()3×()=()3+1=()4;
(3)－x3·x5=［(－1)×x3］·x5=(－1)［x3·x5］=－x8;
(4)b2m·b2m+1=b2m+2m+1=b4m+1.
［师］我们接下来看例2.
［生］问题1中地球距离太阳大约为：
3×105×5×102
=15×107
=1.5×108(千米)
据测算，飞行这么远的距离，一架喷气式客机大约要20年.
问题2中比邻星与地球的距离约为：
3×105×3.15×107×4.22=39.879×1012=3.9879×1013(千米)
想一想：am·an·ap等于什么？
［生］am·an·ap=(am·an)·ap=am+n·ap=am+n+p;
［生］am·an·ap=am·(an·ap)=am·an+p=am+n+p;
［生］am·an·ap=··=am+n+p.
Ⅳ.练习
出示投影片(§6.1 E)
1.随堂练习(课本P23)：计算
(1)52×57;(2)7×73×72;(3)－x2·x3;(4)(－c)3·(－c)m.
解：(1)52×57=59;
(2)7×73×72=71+3+2=76;
(3)－x2·x3=－(x2·x3)=－x5;
(4)(－c)3·(－c)m=(－c)3+m.
2.补充练习：判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)x3·x5=x15( )
(2)x·x3=x3( )
(3)x3+x5=x8 ( )
(4)x2·x2=2x4 ( )
(5)(－x)2·(－x)3=(－x)5=－x5 ( )
(6)a3·a2－a2·a3=0 ( )
(7)a3·b5=(ab)8 ( )
(8)y7+y7=y14 ( )
解：(1)×.因为x3·x5是同底数幂的乘法，运算性质应是底数不变，指数相加，即x3·x5=x8.
(2)×.x·x3也是同底数幂的乘法，但切记x的指数是1，不是0，因此x·x3=x1+3=x4.
(3)×.x3+x5不是同底数幂的乘法，因此不能用同底数幂乘法的性质进行运算，同时x3+x5是两个单项式相加，x3和x5不是同类项，因此x3+x5不能再进行运算.
(4)×.x2·x2是同底数幂的乘法，直接用运算性质应为x2·x2=x2+2=x4.
(5)√.
(6)√.因为a3·a2－a2·a3=a5－a5=0.
(7)×.a3·b5中a3与b5这两个幂的底数不相同.
(8)×.y7+y7是整式的加法且y7与y7是同类项，因此应用合并同类项法则，得出y7+y7=2y7.
Ⅴ.课时小结
［师］这节课我们学习了同底数幂的乘法的运算性质，请同学们谈一下有何新的收获和体会呢？
［生］在探索同底数幂乘法的性质时，进一步体会了幂的意义.了解了同底数幂乘法的运算性质.
［生］同底数幂的乘法的运算性质是底数不变，指数相加.应用这个性质时，我觉得应注意两点：一是必须是同底数幂的乘法才能运用这个性质;二是运用这个性质计算时一定是底数不变，指数相加.即am·an=am+n(m、n是正整数).
Ⅵ.课后作业
课本习题6.1 第1、2、3题
Ⅶ.活动与探究
计算：2－22－23－24－25－26－27－28－29+210.
［过程］注意到210－29=29·2－29×1=29·(2－1)=29，同理，29－28=28，…23－22=22，即2n+1－2n=2·2n－2n=(2－1)·2n=2n.逆用同底数幂的乘法的运算性质将2n+1化为21·2n.
［结果］解：原式=210－29－28－27－26－25－24－23－22+2=2·29－29－28－27－26－25－24－23－22+2=29－28－27－26－25－24－23－22+2=…=22+2=6
●板书设计
6.1 同底数幂的乘法
一、提出问题：地球到太阳的距离为15×(105×102)千米，如何计算105×102.
二、结合幂的运算性质，推出同底数幂乘法的运算性质.
(1)105×102=(10×10×10×10×10)×(10×10)=107=105+2;
(2)105×108=×=1013=105+8;
(3)10m×10n=×=10m+n;
(4)2m×2n=×=2m+n;
(5)()m×()n=×=()m+n;
综上所述，可得
am·an=×=am+n
(其中m、n为正整数)
三、例题：(由学生板演，教师和学生共同讲评)
四、练习：(分组完成)
●迁移发散
迁移 运用本节课所学知识，解答下列题目：
am·am-3+a2m-4·a
点拨：先利用公式进行乘法运算，若所得结果是同类项再进行合并.在运用公式时，a的指数是1，不要漏掉.
解：am·am-3+a2m-4·a
=am+m-3+a2m-4+1
=a2m-3+a2m-3
=2a2m-3
发散 本节课会用到的以前知识：
1.幂的知识
在am中，a是底数，m是指数，am叫幂.
2.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫同类项.
3.合并同类项法则：
在合并同类项时，将同类项的系数相加，字母和字母的指数不变.
4.乘法结合律
a·b·c=a·(b·c)
运用公式时，适当地利用乘法运算律，可简化运算.
●备课资料
一、参考例题
［例1］计算：
(1)(－a)2·(－a)3 (2)a5·a2·a
分析：(1)中的两个幂的底数都是－a;(2)中三个幂的底数都是a.根据同底数幂的乘法的运算性质：底数不变，指数相加.
解：(1)(－a)2·(－a)3
=(－a)2+3=(－a)5
=－a5.
(2)a5·a2·a=a5+2+1=a8
评注：(2)中的“a”的指数为1，而不是0.
［例2］计算：
(1)a3·(－a)4
(2)－b2·(－b)2·(－b)3
分析：底数的符号不同，要把它们的底数化成同底的形式再运算，运算过程中要注意符号.
解：(1)a3·(－a)4=a3·a4=a3+4=a7;
(2)－b2·(－b)2·(－b)3
=－b2·b2·(－b3)
=b2·b2·b3=b7.
评注：(1)中的(－a)4必须先化为a4,才可运用同底数幂的乘法性质计算;(2)中－b2和(－b)2不相同，－b2表示b2的相反数，底数为b,而不是－b,(－b)2表示－b的平方，它的底数是－b,且(－b)2=(+b)2,所以(－b)2=b2,而(－b)3=－b3.
［例3］计算：
(1)(2a+b)2n+1·(2a+b)3·(2a+b)m－1
(2)(x－y)2(y－x)3
分析：分别把(2a+b),(x－y)看成一个整体，(1)是三个同底数幂相乘;(2)中底不相同，可把(x－y)2化为(y－x)2或把(y－x)3化为－(x－y)3,使底相同后运算.
解：(1)(2a+b)2n+1·(2a+b)3·(2a+b)m－1
=(2a+b)2n+1+3+m－1
=(2a+b)2n+m+3
(2)解法一：(x－y)2·(y－x)3
=(y－x)2·(y－x)3
=(y－x)5
解法二：(x－y)2·(y－x)3
=－(x－y)2(x－y)3
=－(x－y)5
评注：(2)中的两个幂必须化为同底再运算，采用两种化同底的方法运算得到的结果是相同的.
［例4］计算：
(1)x3·x3 (2)a6+a6 (3)a·a4
分析：运用幂的运算性质进行运算时，常会出现如下错误：am·an=amn,am+an=am+n.例如(1)易错解为x3·x3=x9;(2)易错解为a6+a6=a12;(3)易错解为a·a4=a4,而(1)中3和3应相加;(2)是合并同类项;(3)也是易忽略的地方，把a的指数1看成0.
解：(1)x3·x3=x3+3=x6;(2)a6+a6=2a6;(3)a·a4=a1+4=a5
二、在同底数幂的乘法常用的几种恒等变形.
(a－b)=－(b－a)
(a－b)2=(b－a)2
(a－b)3=－(b－a)3
(a－b)2n－1=－(b－a)2n－1(n为正整数)
(a－b)2n=(b－a)2n(n为正整数)
●方法点拨
［例1］计算：
(1)-a·(-a)3·(-a)2
(2)-b3·bn
(3)(x+y)n·(x+y)m+1
点拨：应用同底数幂的乘法公式时，一定要保证底数相同.(1)中底数是-a,-a可看作(-a)1;(2)中-b3可看作(-1)·b3,这样b3与bn可利用公式进行计算;(3)中底数是x+y,将它看作一个整体.
解：(1)-a·(-a)3·(-a)2
（不要漏掉指数1）= (-a)1·(-a)3·(-a)2
=(-a)6
(2)-b3·bn
=(-1)·(b3·bn)——乘法结合律
=(-1)·b3+n
=-b3+n
(3)(x+y)n·(x+y)m+1
=(x+y)n+(m+1)
=(x+y)n+m+1
［例2］计算：
(1)a6·a6
(2)a6+a6
点拨：对于（1），可利用“同底数幂的乘法公式”计算,而第（2）题，是两个幂相加，需进行合并同类项，注意两者的区别.
解：(1)a6·a6=a6+6=a12
(2)a6+a6=2a6
注意区分：同底数幂的乘法是乘法运算，且底数不变，指数相加.
而合并同类项是加（减）法，且系数相加，字母与字母的指数不变.
［例3］计算：
(1)8×2m×16
(2)9×27-3×34
点拨：这两道题的乘法中，底数都不相同，但可进行相应的调整，变为同底数幂，即可利用公式进行计算.而（2）中先进行乘法，再进行减法，注意运算顺序.
解：(1)8×2m×16=23×2m×24=23+m+4=2m+7
(2)9×27-3×34=32×33-3×34=35-35=0