初中鲁教版 (五四制)4 一元一次不等式教学设计及反思

11.4  一元一次不等式（1）

●教学目标

（一）教学知识点

1.知道什么是一元一次不等式？

2.会解一元一次不等式.

（二）能力训练要求

1.归纳一元一次不等式的定义.

2.通过具体实例，归纳解一元一次不等式的基本步骤.

（三）情感与价值观要求

通过观察一元一次不等式的解法，对比解一元一次方程的步骤，让学生自己归纳解一元一次不等式的基本步骤.

●教学重点

1.一元一次不等式的概念及判断.

2.会解一元一次不等式.

●教学难点

当不等式的两边都乘以或除以同一个负数时，不等号的方向要改变.

●教学方法

自觉发现——归纳法

教师通过具体实例让学生观察、归纳、独立发现解一元一次不等式的步骤.并针对常见错误进行指导，使他们在以后的解题中能引起注意，自觉改正错误.

●教具准备

投影片两张

第一张：（记作§11.4.1 A）

第二张：（记作§11.4.1 B）

●教学过程

Ⅰ.创设问题情境，引入新课

［师］在前面我们学习了不等式的基本性质，不等式的解，不等式的解集，解不等式的内容.并且知道根据不等式的基本性质，可以把一些不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式.那么，什么样的不等式才可以运用不等式的基本性质而被化成“x＞a”或“x＜a”的形式呢？又需要哪些步骤呢？本节课我们将进行这方面的研究.

Ⅱ.讲授新课

1.一元一次不等式的定义.

［师］大家已经学习过一元一次方程的定义，你们还记得吗？

［生］记得.

只含有一个未知数，未知数的指数是一次，这样的方程叫做一元一次方程.

［师］很好.我们知道一元指的是一个未知数，一次指的是未知数的指数是一次，由此大家可以类推出一元一次不等式的定义，可以吗？

［生］只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次，这样的不等式叫一元一次不等式.

［师］好.下面我们判断一下，以下的不等式是不是一元一次不等式.请大家讨论.

投影片（§11.4.1 A）

［生］（1）、（2）、（3）中的不等式是一元一次不等式，（4）不是.

［师］（4）为什么不是呢？

［生］因为x在分母中，不是整式.

［师］好，从上面的讨论中，我们可以得出判断一元一次不等式的条件有三个，即未知数的个数，未知数的次数，且不等式的两边都是整式.请大家总结出一元一次不等式的定义.

［生］不等式的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式，叫做一元一次不等式（linear inequality with one unknown）.

2.一元一次不等式的解法.

［师］在前面我们接触过的不等式中，如6+3x>30, x+17<5x都可以通过不等式的基本性质化成“x＞a”或“x＜a”的形式，请大家来试一试.

［例1］解不等式3－x＜2x+6，并把它的解集表示在数轴上.

［分析］要化成“x＞a”或“x＜a”的形式，首先要把不等式两边的x或常数项转移到同一侧，变成“ax＞b”或“ax＜b”的形式，再根据不等式的基本性质求得.

［解］两边都加上x，得

3－x+x＜2x+6+x

合并同类项，得

3＜3x+6

两边都加上－6,得

3－6＜3x+6－6

合并同类项，得

－3＜3x

两边都除以3，得－1＜x

即x＞－1.

这个不等式的解集在数轴上表示如下：

图11－4

［师］观察上面的步骤，大家可以看出，两边都加上x，就相当于把左边的－x改变符号后移到了右边，这种变形叫什么呢？

［生］叫移项.

［师］由此可知，移项法则在解不等式中同样适用，同理可知两边都加上－6，可以看作把6改变符号后从右边移到了左边.因此，可以把这两步合起来，通过移项求得.两边都除以3，就是把x的系数化成1.

现在请大家按刚才分析的过程重新写一次步骤.

［生］移项，得

3－6＜2x+x

合并同类项，得

－3＜3x

两边都除以3，得

－1＜x

即x＞－1.

［师］从刚才的步骤中，我们可以感觉到解一元一次不等式的过程和解一元一次方程的过程有什么关系？

［生］有相似之处.

［师］大家还记得解一元一次方程的步骤吗？

［生］记得.有去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化成1.

［师］下面大家仿照上面的步骤练习一下解一元一次不等式.

［例2］解不等式≥，并把它的解集在数轴上表示出来.

［生］解：去分母，得3（x－2）≥2（7－x）

去括号，得3x－6≥14－2x

移项，合并同类项，得5x≥20

两边都除以5，得x≥4.

这个不等式的解集在数轴上表示如下：

图11－5

［师］这位同学做得很好.看来大家已经对解一元一次不等式的步骤掌握得很好了，请大家判断以下解法是否正确.若不正确，请改正.

投影片（§11.4.1 B）

［生］有两处错误.

第一，在去分母时，两边同时乘以－3，根据不等式的基本性质3，不等号的方向要改变，第二，在最后一步，两边同时除以－2时，不等号的方向也应改变.

［师］回答非常精彩.这也就是我们在解一元一次不等式时常犯的错误，希望大家要引起注意.

3.解一元一次不等式与解一元一次方程的区别与联系.

［师］请大家讨论后发表小组的意见.

［生］联系：两种解法的步骤相似.

区别：（1）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向改变；而方程两边乘以（或除以）同一个负数时，等号不变.

（2）一元一次不等式有无限多个解，而一元一次方程只有一个解.

Ⅲ.课堂练习

解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上：

（1）5x＞－10;（2）－3x+12≤0;

（3）＜;

（4）－1＜.

解：（1）两边同时除以5，得x＞－2.

这个不等式的解集在数轴上表示如下：

图11－6

（2）移项，得－3x≤－12,

两边都除以－3，得x≥4,

这个不等式的解集在数轴上表示为：

图11－7

（3）去分母，得3（x－1）＜2（4x－5）,

去括号，得3x－3＜8x－10,

移项、合并同类项，得5x＞7,

两边都除以5，得x＞,

不等式的解集在数轴上表示为：

图11－8

（4）去分母，得x+7－2＜3x+2,

移项、合并同类项，得2x＞3,

两边都除以2，得x＞,

不等式的解集在数轴上表示如下：

图11－9

Ⅳ.课时小结

本节课学习了如下内容：

1.一元一次不等式的定义.

2.一元一次不等式的解法.

3.解一元一次不等式与解一元一次方程的区别与联系.

Ⅴ.课后作业

习题11.4

Ⅵ.活动与探究

求下列不等式的正整数解：

（1）－4x＞－12;（2）3x－9≤0.

解：（1）解不等式－4x＞－12,得x＜3,

因为小于3的正整数有1，2两个，所以不等式－4x＞－12的正整数解是1，2.

（2）解不等式3x－9≤0,得x≤3.

因为不大于3的正整数有1，2，3三个，所以不等式3x－9≤0的正整数解是1，2，3.

●板书设计

●备课资料

同解不等式

看下面两个等式

x+3＜6     （1）

x+9＜12    （2）

可以知道，不等式（1）的解集是x＜3,不等式（2）的解集也是x＜3，就是说，不等式（1）与（2）的解集相同.

如果两个不等式的解集相同，那么这两个不等式叫做同解不等式.从上面知道，（1）与（2）是同解不等式.

因为不等式（2）实际上就是x+3+6＜6+6

所以不等式（1）的两边都加上6，所得不等式（即不等式x+9＜12）与不等式（1）同解.

一般地，有

不等式同解原理1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的不等式与原不等式是同解不等式.

不等式同解原理2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，所得的不等式与原不等式是同解不等式.

不等式同解原理3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，并且把不等号改变方向后，所得的不等式与原不等式是同解不等式.

我们在前面解不等式所作的变形都符合不等式的同解原理（特别要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数后，改变不等号的方向），这就保证最后得出的解集就是原不等式的解集.