（ 四年级 ）                                         备课教员：* * *

第八讲   巧妙求和

一、教学目标：

知识目标

1.认识等差数列及各个相关名称。 

2.利用规律来简便求出等差数列的项数。 

能力目标

   根据实际情况会判断所求的总和是否是求等差数列的总和。

情感目标

   善于发现善思考，提高计算能力。培养良好的审题习惯和思维习惯。

二、教学重点：

利用规律来简便求出等差数列的项数。

三、教学难点：

   理解等差数列的意义，知道等差数列中各部分的名称，掌握求尾项和项数的公式。

四、教学准备：

PPT

五、教学过程：

第一课时（50分钟）

一、导入（5分)

【设计意图：故事引入，提高学生学习兴趣。】

师：今年上课前，老师要给大家讲一个数学家高斯的故事。

    高斯7岁那年开始上学。10岁的时候，他进入了学习数学的班级，这是一个首次创办的班，孩子们在这之前都没有听说过算术这么一门课程。数学教师是布特纳，他对高斯的成长也起了一定作用。

    一天，老师布置了一道题，1+2+3……这样从1一直加到100等于多少。高斯很快就算出了答案，起初高斯的老师布特纳并不相信高斯算出了正确答案："你一定是算错了，回去再算算。”高斯说出答案就是5050，高斯是这样算的1+100=101，2+99=101……1加到100有50组这样的数，所以50×101=5050。

布特纳对他刮目相看。他特意从汉堡买了最好的算术书送给高斯，说：“你已经超过了我，我没有什么东西可以教你了。”接着，高斯与布特纳的助手巴特尔斯建立了真诚的友谊，直到巴特尔斯逝世。他们一起学习，互相帮助，高斯由此开始了真正的数学研究。

师：听了故事后，你有什么感想？

生：学生回答。

师：高斯是利用什么方法去求1至100这100个数的和？

生：分组的方法。

师：是的，就是把头尾两两分组。为什么要这样分组呢？

生：因为这样分组后，每组的和都是一样的。

师：这位同学讲的太棒了！是的，这样分组，刚好每组的两个数的和是

   一样的。这也是我们在计算中一种重要的方法，也就是分组法。接

   下来我们就要用这种方法去解答我们数学问题。

师：想不想和小高斯一样厉害，学习了这堂课，相信大家也可以向小高斯一样

    厉害。今天我们就一起来学习巧妙求和问题。

【探究新知，引入新课：
　　前期学生已经初步学习了等差数列，本堂课会根据前期学生的学生基础，进行巩固，然后利用项数公式解决问题。】

（板书课题：巧妙求和）

师：为了让大家看的更加明白我们一起来看看，小高斯解决这个问题的步骤是   

    怎样的。仔细观察看看你对这个算式有什么发现？

生：这个算式一共是由100个连续的自然数相加组成的。

师：观察一下它们两个数之间有什么联系？（教师引导）

生：都相差1（学生尝试回答）

师：后项与前项之差都相等的数列称为等差数列。前后两项相差的数称为公差。

数列中数的个数称为项数。其中第一项叫做首项，最后一项叫做末项。

师：观察计算的第一步，我们一起来看看他是如何解决这个问题的？

生：用总和＝（首项+末项）×项数÷2，计算这个问题的。

师：没错，所以我们以后遇到这样的等差数列，就可以这样去解决这个问题。

    下面我们一起去解决一下例题一的问题。

二、探索发现授课（40分）

（一）例题1：（10分）

     四年级同学参加大合唱比赛，排成一个梯形，第一排3人，第二排5人，第三排7人，第四排9人……最后一排有37人，则一共有几排？

讲解重点：认识等差数列，会利用项数公式解答问题。

师：问是一共有多少排？我们可以怎么计算呢？

生：一个个的数出来。

师：那大家数一数，一共有多少排呢？

生：18排。

师：如果排数再多一些，或者数字再大一些，我们就不好数了，谁能够把这个

    算式写出来。

生：3+5+7+9+……+35+37。

师：观察这组数列你发现了什么？ 

生：相邻前后两项相差的数都相等。 
师：后项与前项之差都相等的数列称为等差数列。我们知道这个算式是等差数

    列，应该怎么解决它呢？

生：找到首项、末项、公差和项数。

师：它们分别是多少？

生：这些同学是按等差数列排队，首项是3，末项是37。相邻两个数都相差2。

    所以公差为2。

师：项数呢？

生：3+5+7+9+……+35+37，数一数一共有18项。用总和＝（首项+末项）×项数÷2，就可以这个问题。

师：是多少？

生：用（3+37）×18÷2=360。

师：让我们求出一共有多少项？应该怎么求？其实也可以根据求和公式去解决。

生：（学生尝试）

师：我们观察前面3、5、7、9，这四个数，看看它们应该怎么求出有多少项？

生：可以发现5－3=2,7－3=4,9－3=6……可以发现第n项减去首项等于（n－1）

    个公差。

师：所以现在我们想要求出一共有多少项也就好求了，试一试吧。

生：（学生尝试）。

师：根据这个结果，我们可以逆推出求项数公式：项数＝（末项－首项）÷公

    差＋1，大家明白了吗？

生：明白了。

板书：

    （37-3）÷2+1=18（排）

答：一共有18排。

项数＝（末项－首项）÷公差＋1

师：同学们都掌握了吗，我们来试下练习一吧。

练习1：（5分）

    米德暑假在兴趣班学英语，第一天学会了6个单词，第二天学会9个单词，第三天学会12个单词，第四天学会了15个单词……最后一天学会了42个单词。米德暑假一共学了几天英语？

分析：

根据题意可知米德是按等差数列学单词的，首项是6，末项是42，公差是3，然后看到：9－6=3,12－6=6,15－6=9……可以发现第n项减去首项等于（n－1）个公差，所以逆推出求项数公式：项数＝（末项－首项）÷公差＋1，然后代入解题。

板书：

   （42-6）÷3+1=13（天）

 答：米德暑假一共学了13天英语。

（二）例题2：（10分）

    有一列数，按2，5，8，11,14,17……的规律排列，这列数中第44个数是多少？

讲解重点：利用通项公式解决问题。

师：仔细观察这列数，你有什么发现？

生：我们可以知道这是一组等差数列。

师：还有什么发现吗？

生：首项是2，公差是3。

师：要求的是第44个数，即第44项，第44项我们可以看成什么？

生：在这里可以将第44项看作末项。

师：要求这组数的末项是多少应该怎么求？

生：不知道。

师：其实我们根据项数公式逆推来，项数公式大家还记得吗？

生：项数＝（末项－首项）÷公差＋1。

师：怎么利用项数公式来逆推呢？

生：用首项＋（项数－1）×公差即可求出第44项是多少。

师：是多少呢？

生：即2＋（44－1）×3=131。

师：通过这个在这里可以得出通项公式：第n项＝首项＋（项数－1）×公差。

板书：

2＋（44－1）×3=131

答：这列数中第44个数是131。

第n项＝首项＋（项数－1）×公差

练习2：（5分）

  下面一列数是按一定规律排列的：

    13,20,27,34,41,48，……

（1）第23个数是几？

（2）第100个数是几？

分析：

    观察这列数，我们可以知道这是一组等差数列，首项是13，公差是7，要求的是第23个，即第23项，在这里可以将第23项看作末项，即要求这组数的末项是多少，根据项数公式逆推，第n项＝首项＋（项数－1）×公差，然后代入解题。（第2小题类似）

板书：

   （1）13+（23-1）×7=167

   （2）13+（100-1）×7=706

答：第23个数是167，第100个数是706。

三、小结：（5分）

师：这节课我们学习了哪些知识？

生：若干个数排成一列，称为数列。数列中的每一个数称为一项，其中第一项

    称为首项，最后一项称为末项。数列中数的个数称为项数。

生：从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后

    项与前项的差称为公差。

生：总和=（首项+末项）×项数÷2。

    项数＝（末项－首项）÷公差+1

第二课时（50分）

一、复习导入（3分）

【通过复习的形式让学生回顾上节课学习的内容，同时引出下堂课要学习的内容，承上启下。】

师：我们上节课认识了等差数列，在上课前，我们来玩一个找朋友的游戏吧。

生：好的。

师：抢答形式，开火车的形式，就是你回答完成后，指定一个人去回答。回答

时间为3秒。时间超过也算输了。（回答正确的可以获得老师的小小奖励，

错误的要有小小的惩罚哦。）奖励与惩罚老师自己定。比赛开始。

师：出示：数列 2，5，8，11，14，……23。 
    第一项是（   ）；末项是（    ）；项数是（    ）；公差是（   ） 
  它是（      ） 

 A、等差数列  B、23   C、2   D、5    E、3    F、8 

师：一个好玩的游戏后，我们继续进入我们的课堂。

二、探索发现授课（42分）

（一）例题3：（10分）

     计算4＋6＋8＋……＋46＋48＋50的和。

讲解重点：利用项数公式解决问题。

师：观察这组算式我们可以发现每一个数字都是什么数？

生：偶数。（双数）

师：一共有多少个偶数呢？

生：（学生回答）

师：题中是从4开始的偶数加到50，因为1到50一共有25个偶数，所以4---50

   一共有多少个偶数？

生：知道一共是有24个偶数相加。

师：我们知道用4＋50=6＋48=8＋46=……首尾两两配对，一共是有多少对？

生：12对。

师：所以4＋6＋8＋……＋46＋48＋50等于多少？

生：（4＋50）×24÷2=648。

师：再观察这组数，跟我们前面学习的什么有关？

生：我们可以知道这是一组等差数列。

师：嗯，很好，那么你们还有什么发现吗？

生：首项是4，末项是50，公差是2。

师：要想要求这组数的和应该怎么办？

生：运用总和＝（首项+末项）×项数÷2可以求出。

师：你们知道他们有多少项吗？

生：不知道。

师：前面我们例题中我们已经学习过了如何求项数，求项数怎么求？

生：运用公式，项数＝（末项－首项）÷公差＋1，求出项数。

师:试一试，先求出一共有多少项？

生：（50-4）÷2+1=24(项)

师：那这个等差数列的和怎么求呢？

生：通过前面的计算我们就可以知道等差数列求和。

师：所以我们可以总结出，总和＝（首项+末项）×项数÷2。代入求出总和。

板书：

方法一：4＋6＋8＋……＋46＋48＋50

      =（4＋50）×24÷2

      =648

方法二：

     （50-4）÷2+1=24(项)

     （4＋50）×24÷2=648

练习3：（5分）

    2＋5＋8＋……＋47＋50＋53

分析：

   这是一组等差数列：第一个数2是首项，后面的每一个数都比前面的那个数多3，所以公差是3，最后一个数53就是末项，根据项数公式求得项数是18，要求的是和，通过前面的计算我们就可以知道等差数列求和的公式：总和＝（首项+末项）×项数÷2。

板书：

   （53-2）÷3+1=18(项)

    2＋5＋8＋……＋47＋50＋53

   =（53+2）×18÷2

   =495

（二）例题4：（12分）

   卡尔新买了一本故事书，计划第一天看15页，之后每一天都比前一天多看5页，最后一天看了75页，这本故事书一共有多少页？

讲解重点：运用等差数列求和公式解决问题。

师：观察这道题目我们就可以知道，要求的是什么？

生：这本故事书一共有多少页？

师：要想知道这本故事一共有多少页，就要知道什么？

生：卡尔看这本书用的天数。

师：由题中计划第一天看15页，之后每一天都比前一天多看5页，最后一天看

    了75页，我们可以知道什么？

生：可以知道卡尔看书的页数是成等差数列。

师：既然是成等差数列的，我们还可以发现什么？

生：它的首项是15，末项是75。

师：公差知道吗？

生：因为之后每一天都比前一天多看5页，知道公差是5。

师：要求书的页数其实就是等差数列中的什么？

生：总和。

师：等差数列的总和就是这本故事书的总页数，应该怎么求呢？

生：用等差数列求和公式，总和＝（首项+末项）×项数÷2，代入求出。

师：项数就是卡尔看书的天数，我们不知道，应该怎么求呢？

生：用项数＝（末项－首项）÷公差＋1，代入求出为（75-15）÷5+1=13（天）。

师：根据项数公式算出天数是13天，最后根据求和公式求出故事书的页数，试 

    一试吧。

生：（学生上台尝试）

板书：

  （75-15）÷5+1=13（天）

   （15+75）×13÷2=585（页）

答：这本故事书一共有585页。

练习4：（5分）

    为了参加秋季运动会的3000米长跑比赛，阿派给自己定制了训练计划：第一天跑3000米，以后每天比前一天多跑300米。最后一天阿派跑了5100米，他一共跑了多少米？

分析：

   根据题意可以知道要想求出一共跑的路程，就要先知道阿派跑步所用的天数，由题中第一天跑3000米，以后每天比前一天多跑300米。最后一天阿派跑了5100米，可以知道阿派跑步的米数是成等差数列，首项是3000，末项是5100，公差是300，然后根据项数公式算出天数，最后根据求和公式求出一共跑的路程。

板书：

（5100-3000）÷300+1=8（天）

（5100+3000）×8÷2=32400（米）
答：他一共跑了32400米。

例题5：（选讲）

    芭啦啦小学举办“六·一”晚会，全班35人都参加了，晚会规定，每两人要握一次手，他们一共握了多少次手？

讲解重点：引导学生发现规律，发现握手次数成等差数列。

师：仔细读题，我们可以发现要求的什么？

生：每两人要握一次手，他们一共握了多少次手？

师：要一下子理解有点可能有点难，我们先小组4人试一试，也是每两人要握

    一次手，看看你们一共握了多少次手？

生：（学生尝试）一共6次手。

师：你们发现什么规律吗？

生：第一个人要与其余3人都握手，第二个人只要和剩下的2个人握手，第三

    个人只要和最后一个人握手，第4个人不需要和别人握手。

师：所以，我们一共握了3+2+1=6（次）。

师：没错，根据这个特点，同样的我们可以知道，一共有35个人，第一个人要

    与多少人握手？

生：有35人，第一个人要与除了自己以外的34人握手就可以了。

师：第二个还需要与第一个人握手吗？他还需要握手多少次呢？

生：不需要了，还需要握手33次。

师：所以我们要求一共握手多少次?可以怎么列式？

生：用34+33+32+……3+2+1。

师：这样算式就变成了什么形式？

生：他们握手的次数成等差数列。

师：要求的是什么？

生：总和。

师：答案是多少呢？

生：利用总和＝（首项+末项）×项数÷2，代入求出答案。

师：其实我们还可以用另外的方法去解决这个问题，由于人都要和另外的34人

    握手一次，一共要握手：35×34=1190（次）；  

师：又因为每两人要只握一次手，去掉重复计算的情况，实际只握手：1190÷

    2=595（次）。

师：哪种方法合适就可以用哪种?

板书：

   34+33+32+……3+2+1

 =（34+1）×34÷2

 =595（次）

答：他们一共握了595次手。

练习5：（选做）

     校篮球赛开始了，赛制规定每支篮球队要和其他篮球队各赛一场。现在有14支篮球队参赛，一共要进行多少场比赛？

分析：

     14支篮球队参赛，每支篮球队要和其他篮球队各赛一场，所以第一支篮球队要和其它13支篮球队要进行一场比赛，第二支篮球队要和剩下的12支篮球队要进行一场比赛，……以此类推，共要比赛（13+12+……+3+2+1）场。

板书：

 13+12+……+3+2+1

=（13+1）×13÷2

=91（场）

答：一共要进行91场比赛。

三、总结：（5分）

记住以下三个公式，可以帮助我们更好地掌握此类问题：

通项公式：第n项＝首项+（项数－1）×公差

项数公式：项数＝（末项－首项）÷公差+1

求和公式：总和＝（首项+末项）×项数÷2   

四、随堂练习：

1. 一个电影院第一排有36个座位，往后每排都比前一排多2个座位，最后一

   排有82个座位，则这些座位被分成几排？

板书：

（82-36）÷2+1=24（排）

答：这些座位被分成24排。

2. 工地将一堆规格相同的木料如图码放在空地上，最上面一层有8根，堆了

   18层，则最底下一层有多少根木料？

板书：

     8+（18-1）×1=25（根）

答：最底下一层有25根木料。

3. 计算3＋11＋19＋……＋99＋107＋115的和。

板书：

      （115-3）÷8+1=15

      （3+115）×15÷2=885

4. 马上父亲节了，卡尔决定为父亲折满一罐纸鹤，她第一天折了15只纸鹤，

   之后每天都多折5只纸鹤，一共折了10天，她一共折了多少只纸鹤？

板书：

     15+5×（10-1）=60（只）

     （60+15）×10÷2=375（只）

答：她一共折了375只。

5. 学徒不小心将锁匠的45把锁的钥匙弄乱了，为了使每把锁都找到相配的钥

   匙，最多要试几次？

板书：

   44+43+…+1

  =（44+1）×44÷2

  =990（次）

答：最多要试990次。