奥数六年级下册 第15讲：应用题（三） 教案

（ 六年级 ）                                         备课教员：×××

第十五讲    应用题（三）

一、教学目标：

知识目标

1. 掌握浓度问题的解题方法。
2. 掌握分数应用题利用单位“1”解题的方法。
3. 掌握相遇追及行程问题的解题方法。
4. 掌握牛吃草问题的解题方法。

能力目标

1. 培养学生逻辑思维。
2. 培养学生知识归纳和分类的能力。

情感目标

1. 体会数学的趣味性，培养对数学的学习兴趣。
2. 激励学生学习数学，帮助学生认识自我，建立

   自信心。

二、教学重点：

1. 浓度、单位“1”、相遇问题的掌握。

三、教学难点：

1. 提取复杂应用题的数学信息并利用一定的方法解题。

四、教学准备：

PPT

五、教学过程：

第一课时（50分钟）

一、导入（5分)

【设计意图：通过一个故事引出浓度问题】

师：同学们，想听故事吗？

生：想。

师：喜羊羊带着三个小伙伴在森林里游玩了半天，感到又渴又累，正好路过了

灰太狼开的豆浆店。只见店门口张贴着广告：“既甜又浓的豆浆每杯0.3

元。”喜羊羊便招呼小伙伴们歇脚，一起来喝豆浆。喜羊羊从灰太狼手中

接过一杯豆浆，给懒羊羊喝掉，加满水后给美羊羊喝掉了，再加满水后，

又给壮羊羊喝了一半，最后自己把剩下的一半喝完。 灰太狼开始收钱了，

他要求懒羊羊付出0.3×＝0.05(元)；美羊羊0.3×＝0.1(元)；壮羊

羊与喜羊羊付的一样多，0.3×＝0.15(元)。小伙伴们一共付了0.45元。

他们很惊讶，不是说，一杯豆浆0.3元，为什么多付0.45－0.3＝0.15元？

肯定是灰太狼在敲诈我们。不服气的喜羊羊嚷起来：“多收我们坚决不干。”

不肯让步的灰太狼也说：“不给，休想离开。”

师：现在，大家说说为什么会这样呢？

【探究旧知，引入复习：
　　同学们现在一定也和喜羊羊一样，无从入手，但是在学过了今天的浓度问题后，同学们就能利用所学知识来帮助喜羊羊解决这个问题了。】

【板书课题：应用题（三）】

二、探索发现授课（40分）

（一）例题1：（10分）

    某种溶液由40克浓度为15%的食盐溶液和60克浓度为10%的食盐溶液混合后再蒸发50克水得到，那么这种溶液的食盐浓度为多少？

【讲解重点：浓度公式及溶度问题的解题关键】

师：这是一道什么问题？

生：浓度问题。

师：说到浓度问题，就要先来说溶液，什么溶液？

生：……

师：嗯，那么溶液由什么组成呢？

生：溶质和溶剂。

师：浓度问题的基本公式是什么？

生：浓度＝溶质÷溶液×100%。

师：浓度问题的关键是什么？

师：浓度问题的关键是找不变量。例如在一杯溶液中加入水，什么不变？

生：溶质的质量不变。

师：很好，那么如果加入的是溶质，那么什么不变？

生：水的质量不变。

师：在这道题目中，什么不变？

生：溶质的质量不变。

师：那么我们一起来根据溶质质量不变这个点来做一下！

板书：

    40×15%＋60×10%＝12（克）

    40＋60－50＝50（克）

    12÷50×100%＝24%。

答：这种溶液的食盐浓度为24%。

练习1：（5分）

    一容器内有浓度为25%的糖水，若再加入20千克水，则糖水的浓度变为15%，问这个容器内原来含有糖多少千克？

分析：

    加水的过程溶质质量不变，把它作为单位“1”求解。

板书：

原来糖与水的比：（1-25%）:25%=3:1

现在糖与水的比：（1-15%）:15%=17:3

    原来含糖： 20÷（-3）＝7.5（千克）

答：这个容器内原来含糖7.5千克。

（二）例题2：（10分）

    一个工厂有工人420人，其中女工占，后来又招进一批女工，这时女工人数占全厂工人总人数的，那么又招进女工多少人？

【讲解重点：解分数应用题时，找到分率、分量及总量之间的关系】

师：在解决分数应用题时，我们经常会用到一个公式，是什么？

生：总量＝分量÷分率。

师：和例题一相同，解决此类问题往往需要抓住不变量。这道题目中哪个量是

不变的？

生：男工的数量是不变的。

师：因此我们要抓住男工占总人数的分率来解题。开始有工人420人，女工占，

   那么男工占多少？

生：。

师：所以原来男工有多少人？

生：420×＝180（人）。

师：又招来了一批女工，这时，女工人数占了，那么男工有？

生：。

师：因为男工人数没有变化，所以后来一共有多少人？

生：180÷＝540（人）。

师：因此一共招了多少人？

生：540－420＝120（人）。

板书：

    420×（1-）＝180（人）

180÷（1-）＝540（人）

540－420＝120（人）

答：又招进女工120人。

练习2：（5分）

    芭啦啦综合教育学校六年级共有学生152人，选出男同学的和5名女同学参加科技小组，剩下的男、女人数正好相等，六年级男、女同学各有多少人？

分析：

由题意得知,男生剩下的，正好比全部女生少5人。那么把原来男生人数看做单位“1”后，现在女生有，利用单位“1”＝分量÷分率解题。

板书：

男生：（152－5）÷（1＋）＝77（人）
    女生：152－77＝75（人）

答：六年级男生有77人，女生有75人。

三、小结：（5分）

1. 浓度问题

   在解决这类题目时，需要抓住某个不变量，例如加水的过程溶质的量是不变

   的。

   公式：浓度＝溶质÷溶液×100%

2. 单位“1”

   一般比、占、相当于的后面是单位“1”，解题的重点是找到其中不变量作

   为单位“1”。

   公式：分量＝单位“1”的量×分率   单位“1”的量＝分量÷分率

第二课时（50分）

一、复习导入（3分）

【设计意图：通过一个有趣小问题，引出速度和行程问题】

师：老师的一位朋友，最近遇到了一件非常苦恼的事，同学们想知道吗？

生：想。

师：这位朋友从家里开车去附近的医院，因为比较急，超速了，并被路过的交

警抓到了，交警说：“你刚刚超过了60千米/小时的时速了”。我的这位

朋友急了，说：“交警大哥，我才出发10分钟，怎么可能开了60千米？”

师：同学们，你们说老师这位朋友说得对吗？

生：不对。

师：没错，他忽略了速度这个概念。这节课我们就学习和速度相关的行程问题。

二、探索发现授课（42分）

（一）例题3：（10分）

甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相对开出，甲每小时行75千米，乙每小时行65千米。甲、乙两车第一次相遇后继续前行，分别到达B、A两地后，立即按原路返回，两车从第一次相遇到第二次相遇共行了4小时，求A、B两地相距多少千米？

【讲解重点：相遇问题的公式和解决相遇问题的关键】

师：这是一道什么问题？

生：相遇问题。

师：相遇问题的公式是什么？

生：时间＝相遇路程÷速度和。

师：相遇问题的关键是找到相遇路程和速度和。同学们在做相遇问题的题目时，

多利用画图的方法来帮助理解。如图，甲、乙两辆车第一次相遇时，相遇

路程是什么？

生：一个AB全程。

师：第二次相遇时呢？

生：一共行驶了3个AB全程。

师：也就是说，从第一次相遇到第二次相遇共行驶了？

生：两个AB全程。

师：知道了相遇路程，甲、乙的速度和是多少？

生：75＋65＝140（千米/小时）。

师：时间为4小时，所以两个全程是多少千米？

生：（140×4）千米。

师：那么一个全程呢？

生：一个全程再除以2，计算可得280千米。

板书：

    75＋65＝140（千米/小时）

140×4÷2＝280（千米）

答：AB两地相距280千米。

练习3：（5分）

    一列客车和货车从甲同时同向出发开往乙地，货车速度是80千米/时，经过1小时两车在丙地相遇，两车到达了两端后立即返回，第二次相遇的地点也在丙地。求客车的速度。

分析：

    第一次相遇时，一共经过了2个全程；第二次相遇时，又经过了两个全程。通过画图发现，客车和货车的速度有2倍关系。

板书：

当货车比客车快时：80÷2＝40（千米/小时）

当货车比客车慢时：80×2＝160（千米/小时）

答：当货车比客车快时，客车的速度是40千米/小时；

    当货车比客车慢时，客车的速度是160千米/小时。

（二）例题4：（12分）

    卡尔和欧拉站在400米环形跑道的同一起跑线上，同时向同一方向跑。已知卡尔的速度是8米/秒，欧拉的速度是6米/秒，那么在出发后多少时间卡尔第一次追上欧拉？多少时间后卡尔第二次追上欧拉？

【讲解重点：追及问题的公式和解决追及问题的关键】

师：前面我们复习了相遇问题。例题四，我们来复习追及问题。相遇问题的关

    键是找到相遇路程，那么追及问题呢？

生：追及问题的关键则是找到追及路程。

师：那么追及路程怎么找呢？卡尔和欧拉站在400米环形跑道的同一起跑线往

一个方向跑，由于卡尔比欧拉快，因此，卡尔在欧拉前面，在跑了一段时

间后，当卡尔比欧拉多跑一圈后，卡尔就会再次遇到欧拉，所以，追及路

程是？

生：刚好是一个跑道的全长400米。

师：已知两人的速度，速度差为？

生：（8－6）米/秒。

师：追及问题中，时间等于什么？

生：时间等于追及路程除以速度差，400÷（8－6）＝200（秒）。

师：当卡尔第二次追上欧拉又追了相同的距离，也就是又花了相同的时间，那

    么总时间为？

生：200×2＝400（秒）。

板书：

    400÷（8－6）＝200（秒）

    200×2＝400（秒）

答：出发200秒后卡尔第一次追上欧拉，400秒后第二次追上欧拉。

练习4：（5分）

    甲、乙两人环绕周长400米的跑道跑步，如果两人从同一地点出发背向而行，那么经过2分钟相遇，如果两人从同一地点出发同向而行，那么经过20分钟两人相遇，已知甲的速度比乙快，求甲、乙两人跑步的速度各是多少？

分析：

    当两人背向而行时，属于相遇问题；当两人同向而行时，属于追及问题。求出两人的速度和与差后，利用和差公式求解。

板书：

速度和：400÷2＝200（米/分钟）

速度差：400÷20＝20（米/分钟）

甲：（200＋20）÷2＝110（米/分钟）

乙：110－20＝90（米/分钟）

答：甲的跑步速度为110米/分钟，乙的速度是90米/分钟。

例题5：（选讲）

    牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天。问：可供25头牛吃几天？

【讲解重点：牛吃草问题的解题关键与方法】

师：牛吃草问题又叫牛顿问题，因为这是由牛顿最先提出的。牛吃草问题的关

键是求出每天草的生长量。我们把每头牛每天吃的草量看作“1”。根据10

头牛吃20天，我们可以知道，这10头牛一共吃了多少的草？

生：10×20的草。

师：15头牛吃10天，那么15头牛一共吃了多少的草？

生：15×10的草。

师：中间为什么会差（10×20－15×10）的草量呢？

生：因为每天牧草都在匀速生长。

师：那么牧场每天长多少草呢？差的这部分草量就是在（20-10）天里所长出来

    的。所以每天长了多少草？

生：（10×20－15×10）÷（20－10）＝5。

师：那么原先有多少草？

生：10×20－5×20＝100。

师：25头牛每天吃草25，每天又长5的草，所以每天消耗原有的（25-5）的草，

一共可以吃几天？

生：100÷（25－5）＝5（天）

板书：

    （10×20－15×10）÷（20－10）＝5

10×20－5×20＝100

100÷（25－5）＝5（天）

答：可供25头牛吃5天。

练习5：（选做）

    由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不生长，反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天？

分析：

    假设一头牛一天吃“1”的草量，那么20头牛5天吃100的草量，15头牛6天吃了90的草量。从中可以算出每天减少的草量。

板书：

（20×5－15×6）÷（6－5）＝10

20×5＋10×5＝150

（150－10×10）÷10＝5（头）

答：可供5头牛吃10天。

三、总结：（5分）

1. 相遇问题

   两个物体从两地出发，相向而行，经过一段时间，必然会在途中相遇，这类题型就把它称为相遇问题。

   公式：路程＝速度和×相遇时间

         相遇时间＝路程÷速度和

     速度和＝路程÷相遇时间

2. 追及问题

   两个物体从两地出发，同向而行，经过一段时间后者追上前者，这一类问题称之为追及问题。

   公式：追及路程＝速度差×追及时间

         追及时间＝追及路程÷速度差

         速度差＝追及路程÷追及时间

3. 牛吃草问题

   牛吃草问题的关键是牛每天吃草，草每天在不断均匀生长。解题过程主要有四步：

   1. 求出每天长草量；

   2. 求出牧场原有草量；

   3. 求出每天实际消耗原有草量；

   4. 最后求出牛可吃的天数。

四、随堂练习：

1. 现有浓度为10%的盐水8千克，要得到浓度为20%的盐水，用什么方法可以

   得到，具体如何操作？

板书：

（1）    加盐1千克

（2）    蒸发水4千克

（3）    加入混合溶液（浓度不同，加入的量也不相同）

2. 三年级上学期男、女生共有300人，这一学期男生人数增加，女生人数

   增加，共增加了13人。这学期男、女生各有多少人？

板书：

    上学期男生：（300×-13）÷（-）=200（人）

    上学期女生：300-200=100（人）

    本学期男生：200×（1+）=208（人）

    本学期女生：100×（1+）=105（人）

答：男生有208人，女生有105人。

3. 甲、乙两列车同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地75千米处相遇。

   相遇后两列车继续前进，到达目的地后又立刻返回，第二次相遇在离B地55

   千米处。求A、B两地间的路程。

板书：

75×3－55＝170（千米）

答：A、B两地间的路程是170千米。

4. 某解放军队伍长450米，以每秒1.5米的速度前进，一战士以每秒3米的速

   度从排尾到排头，并立即返回排尾，那么这需要多少时间？

板书：

450÷（3－1.5）＋450÷（3＋1.5）＝400（秒）

答：需要400秒。

5. 牧场上的牧草每天均匀生长，这片草地可供17头牛吃6天，可供13头牛吃

   12天。问多少头牛4天可以把草地的草吃完?

板书：

 每天增长的草：（13×12－17×6）÷（12－6）＝9

原有草：17×6－9×6＝48

（48＋9×4）÷4＝21(头）

答：21头牛4天可以把草地的草吃完。