浙教版初中数学九年级上册第一单元《二次函数》单元测试卷（困难）（含答案解析）

浙教版初中数学九年级上册第一单元《二次函数》单元测试卷

考试范围：第一章 考试时间 ：120分钟  总分 ：120分

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列函数中，二次函数是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  关于的函数是二次函数的条件是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  自由落体公式为常量，与之间的关系是(    )

A. 正比例函数 B. 一次函数 C. 二次函数 D. 以上答案都不对

4.  二次函数的图象如图所示，有下列结论：
；；若为任意实数，则；；若，且，则其中，正确结论的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  抛物线交轴于，，交轴的负半轴于，顶点为下列结论：；；当时，；当是等腰直角三角形时，则；当是等腰三角形时，的值有个．其中正确的有个．(    )

 

A.  B.  C.  D.

6.  新定义：在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足时，；时，，则称点是点的限变点．例如：点的限变点是，点的限变点是若点在二次函数的图象上，则当时，其限变点的纵坐标的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，二次函数的图像经过点，与轴交于点，、分别为轴、直线上的动点，当四边形的周长最小时，所在直线对应的函数表达式是                               (    )

 

A.  B.  C.  D.

8.  如图，抛物线与轴负半轴交于点，点为线段上一动点，点的坐标为，连接，以为底边向右侧作等腰直角，若点恰好在抛物线上，则长为(    )
 

A.  B.  C.  D.

9.  九年级班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来米长的围栏，准备围成一边靠墙墙足够长的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形底边靠墙、半圆形这三种方案，最佳方案是(    )

 

A. 方案 B. 方案 C. 方案 D. 方案或方案

10.  如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标为，与轴的一个交点为点和点均在直线上．；；抛物线与轴的另一个交点是；方程有两个不相等的实数根；；不等式的解集为其中结论正确的是(    )

 

A.  B.  C.  D.

11.  在一个边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为，那么关于的函数表达式为(    )

A.  B.  C.  D.

12.  某种品牌的服装进价为每件元，当售价为每件元时，每天可卖出件，现需降价处理，且经市场调查：每件服装每降价元，每天可多卖出件．在确保盈利的前提下，若设每件服装降价元，每天售出服装的利润为元，则与的函数关系式为．(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13.  若二次函数的图象与轴有交点则实数的取值范围为___________．

14.  若二次函数的图象经过、、三点，则关于、、大小关系正确的是______．

15.  抛物线的顶点坐标是        ．

16.  某座石拱桥的桥拱近似抛物线形，以拱顶为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则其解析式为，当水面宽度是米时，水面到拱顶的高度是        米

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知函数为常数，求当为何值时：
是的反比例函数？
是的二次函数？并求出此函数图象上纵坐标为的点的坐标．

18.  本小题分
若函数是二次函数，试讨论、的取值范围．

19.  本小题分

在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线经过点，对称轴为直线．

求，的值；

已知点，在抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点．

(ⅰ)当时，求与的面积之和；

(ⅱ)在抛物线对称轴右侧，是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形的面积为？若存在，请求出点的横坐标的值；若不存在，请说明理由．

20.  本小题分
已知抛物线经过点．
求的值．
若点，都在该抛物线上，试比较与的大小．

21.  本小题分
已知函数为常数的图象经过点，．
求，的值．
当时，求的最大值．
当时，若的最大值与最小值之和为，求的值．

22.  本小题分
如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，直线，交抛物线于、两点．
当时，求，两点的坐标；
当，时，求抛物线的解析式；
当时，方程在的范围内有实数解，请直接写出的取值范围：______ ．

23.  本小题分
某商店经销一种销售成本为每千克元的水产品据市场分析，若按每千克元销售，一个月能售出千克；销售单价每涨元，月销售量就减少千克．
设销售单价为每千克元，月销售利润为元，求与的函数表达式不必写出的取值范围；
商店销售单价应定为多少、销售利润最大？

24.  本小题分
如图，抛物线经过点，，
求抛物线的解析式；
若点为抛物线对称轴上一点，求周长取得最小值时点的坐标；
设抛物线的顶点为，轴于点，在轴上是否存在点使得是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

25.  本小题分
设二次函数，的图象的顶点分别为、，当，，且开口方向相同时，则称是的“反倍顶二次函数”．
请写出二次函数的一个“反倍顶二次函数”；
已知关于的二次函数和二次函数，若函数恰是的“反倍顶二次函数”，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是一次函数，不是二次函数，故此选项不合题意；
B、是二次函数，故此选项符合题意；
C、可化为，不是二次函数，故此选项不合题意；
D、不是二次函数，故此选项不符合题意．
故选：．
利用二次函数定义进行解答即可．
此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握二次函数的定义，一次函数、反比例函数定义．

2.【答案】 

【解析】解：当，即，则是二次函数．
故选：．
根据二次函数的定义形如这样的函数是二次函数，其中、、是常数且解决此题．
本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解决本题的关键．

3.【答案】 

【解析】解：因为等号的右边是关于的二次式，所以是的二次函数．
故选：．
根据二次函数定义：形如  、、是常数，的函数叫做的二次函数，就可以解答．
二次函数整理成一般形式，利用定义就可以解决．

4.【答案】 

【解析】解：抛物线开口方向向下，则．
抛物线对称轴位于轴右侧，则、异号，即．
抛物线与轴交于正半轴，则
所以．
故错误．

抛物线对称轴为直线，
，即，
故正确；

抛物线对称轴为直线，
函数的最大值为：，
当时，，即，
故错误；

抛物线与轴的一个交点在的左侧，而对称轴为直线，
抛物线与轴的另一个交点在的右侧
当时，，
，
故错误；

，
，
，
，
而，
，即，
，
，
故正确．
综上所述，正确的有．
故选：．
由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．

5.【答案】 

【解析】【分析】
根据二次函数图象与系数的关系，二次函数与轴交于点、，可知二次函数的对称轴为，即，可得与的关系；将、两点代入可得、的关系；函数开口向下，时取得最小值，可判断；根据图象，结合顶点坐标，判断；由图象知，从而可以判断．
本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
【解答】
解：二次函数与轴交于点、．
二次函数的对称轴为，即，
．
故正确；
二次函数与轴交于点、．
，．
又．
，．
，．
．
故错误；
抛物线开口向上，对称轴是．
时，二次函数有最小值．
时，．
即．
故正确；
，，是等腰直角三角形．
．
解得，．
设点坐标为．
则．
解得．
点在轴下方．
点为．
二次函数的顶点为，过点．
设二次函数解析式为．
．
解得．
故正确；
由图象可得，．
故是等腰三角形时，的值有个．故错误
故正确，错误．
故选C．

6.【答案】 

【解析】【分析】
本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，新定义问题，解题的关键是根据限变点的定义得到关于的函数关系式．
根据新定义得到当时，，在时，得到；当时，，在时，得到，即可得到限变点的纵坐标的取值范围是．
【解答】
解：由题意可知，点在二次函数的图象上，
，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
综上，当时，其限变点的纵坐标的取值范围是，
故选：．

7.【答案】 

【解析】【分析】
本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征以及利用轴对称解决最短路线问题．
四边形的周长，由于长度固定，故只需的长度最短即可满足题意．分别作点关于对称轴的对称点，点关于轴的对称点，连接交轴于点，交对称轴于点，此时四边形的周长取得最小值，再利用待定系数法求得抛物线解析式即可知点坐标，从而求解可得．
【解答】
解：作点关于对称轴的对称点，则，作点关于轴的对称点，
连接交轴于点，交对称轴于点，此时四边形的周长取得最小值，

将点代入得，
解得，
抛物线解析式为，
点坐标为，
则点，
设所在直线解析式为，
将，代入得
解得
所以所在直线解析式为．
故选：．

8.【答案】 

【解析】【分析】过点作轴，垂足为，过点作，交延长线于点，设点，然后证明≌，则，，即可求出点的坐标，再求出点的坐标，从而求出的长度．

【解答】解：，

令，则，，

点的坐标为：，

过点作轴，垂足为，过点作，交延长线于点，设点，如图：

是等腰直角三角形，

，，

轴，

，

，

，
在和中
 

≌，

，，

，，

，

，

解得：，；

，

，

点的坐标为，

，

点的横坐标为，

的长度为；

故选：．

9.【答案】 

【解析】方案如图，

设米，则米，则此时菜园面积为，当时，菜园面积最大，最大值为，故此时菜园最大面积为平方米．

方案如图，

易得当时，菜园面积最大，为平方米．

方案半圆的半径为，此时菜园面积为平方米平方米故选C．

10.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了二次函数与不等式组：对于二次函数、、是常数，与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．也考查了抛物线与轴的交点问题．
利用抛物线的对称轴方程得到，则可对进行判断；由抛物线开口向上得到，则，由抛物线与轴的交点在轴下方得到，则可对进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点为，则可对进行判断；利用抛物线与直线只有一个交点可对进行判断；利用二次函数的增减性可对进行判断；结合函数图象可对进行判断．
【解答】
解：抛物线的对称轴为直线，
，即，所以错误；
抛物线开口向上，
，
，
抛物线与轴的交点在轴下方，
，
，所以正确；
抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点为，
抛物线与轴的一个交点为，所以错误；
抛物线的顶点坐标为，
抛物线与直线只有一个交点，
方程有两个相等的实数根，所以错误；
抛物线开口向上，对称轴为直线，，
，
直线经过抛物线的顶点坐标为，
，
，所以正确；
当时，，
不等式的解集为所以正确．
故选B．

11.【答案】 

【解析】解：设剩下部分的面积为，则：，
故选：．
根据剩下部分的面积大正方形的面积小正方形的面积，得出与的函数关系式即可．
此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，利用剩下部分的面积大正方形的面积小正方形的面积得出是解题关键．

12.【答案】 

【解析】【分析】
此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，表示出销量与每件服装的利润是解决问题的关键．
设每件服装降价元，那么每件利润为，所以可以卖出件，然后根据盈利为元即可列出函数关系式解决问题．
【解答】
解：设每件服装降价元，每天售出服装的利润为元，由题意得：
，
．
故选：．

13.【答案】且 

【解析】【分析】
此题主要考查了二次函数的定义、根的判别式、抛物线与轴的交点问题等有关知识．
根据二次函数与轴有交点则，进而求出得取值范围即可．
【解答】
解：二次函数的图象与轴有交点，
，且，
解得：，且，
则的取值范围是，且，
故答案为且．

14.【答案】 

【解析】解：二次函数中，
抛物线开口向上．
，，
、在对称轴的左侧，且随的增大而减小，
．
由二次函数图象的对称性可知，
．
故答案为：．
根据函数解析式的特点，其对称轴为，图象开口向上；利用随的增大而减小，可判断，根据二次函数图象的对称性可判断；于是．
本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，熟知二次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．

15.【答案】 

【解析】解：抛物线的顶点坐标是．
故答案为：．
根据顶点式解析式写出顶点坐标即可得解．
本题考查了二次函数的性质，主要利用顶点式解析式求顶点坐标，是基础题，需熟记．

16.【答案】 

【解析】解：水面的宽度为米，
的横坐标为，
把代入，
得，
，
故答案为：．
根据题意，把直接代入解析式即可解答．
本题考查了二次函数的实际应用，利用二次函数的解析式求值是解题关键．

17.【答案】解：由为常数是的反函数，
得，
解得，此时，
时，是的反比例函数．
由为常数是的二次函数，
得，
解得，不符合题意的要舍去
当时，是的二次函数，
当时，，解得，
故纵坐标为的点的坐标是 

【解析】本题考查了反比例函数的定义和二次函数的性质．
本题考查了反比例函数的定义，利用反比例函数解析式的形式解决此题，
本题考查了二次函数的定义和二次函数的性质，利用二次函数的定义和二次函数的性质解决此题．

18.【答案】解：且时，解得，．

且为任意实数时，解得，为任意实数．

为任意实数且或时，解得为任意实数，或．

综上所述，当，或，为任意实数或为任意实数，或为任意实数，时，是二次函数．

【解析】见答案

19.【答案】解：依题意，，
 解得：
由知，抛物线的解析式为
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为，
如图所示，依题意，，，，，

，
当时，与的面积之和为

所以与的面积之和为．
(ⅱ)当点在对称右侧时，则，
，
当时，，
，
，
解得：，

当时，，
，
，
解得：舍去或舍去

综上所述，． 

【解析】根据已知的对称轴及点的坐标，代入解析式即可求解；
(ⅰ)根据题意画出图形，得出，，，
继而得出，
当时，根据三角形的面积公式，即可求解．
根据的结论，分和分别求得梯形的面积，根据四边形的面积为建立方程，解方程进而即可求解．
本题考查了二次函数综合问题，面积问题，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

20.【答案】解：抛物线经过点，
，
；
，
此函数的图象开口向下，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
点，都在该抛物线上，
． 

【解析】根据抛物线经过点，可以求的的值；
根据中的值可以求得此函数的解析式，然后根据二次函数的性质可以求得与的大小．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

21.【答案】解：把，代入中，
得，．
，
又，
当时，有最大值为．
当时，
当时，有最小值为，
当时，有最大值为，
，
或舍去．
当时，
当时有最大值为，
的最大值与最小值之和为，
最小值为，
，
或舍去．
综上所述，或． 

【解析】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的最值等知识，正确分类讨论得出的取值范围是解题关键．
将图象经过的两个点的坐标代入二次函数解析式解答即可；
根据的取值范围，二次函数图象的开口方向和对称轴，结合二次函数的性质判定的最大值即可；
根据对称轴为，结合二次函数图象的性质，分类讨论得出的取值范围即可．

22.【答案】 

【解析】解：当时，令，解得：或，
故点、的坐标分别为、；

函数的对称轴为，
，，故点，
将点的坐标代入并解得：，
故抛物线的表达式为：；

当时，，
令，则或，
当时，，
函数的对称轴为，则顶点坐标为，
当时，，
故的取值范围为：，
故答案为：．
当时，令，即可求解；
函数的对称轴为，而，，故点，将点的坐标代入，即可求解；
当时，，即可求解．
本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．

23.【答案】解：可卖出千克数为，
与的函数表达式为，
当时，有最大值．
答：商店销售单价应定为元时，销售利润最大． 

【解析】月销售利润每千克的利润可卖出千克数，把相关数值代入即可；
利用公式法可得二次函数的最值．
考查二次函数的应用；得到可卖出千克数是解决本题的难点．

24.【答案】解：由于抛物线经过，，可设抛物线的解析式为：，
将点坐标代入，得：
，解得，
则，
所以抛物线的解析式为：；

如图中，连接交对称轴于，

，
，
此时最短，的周长最短，
设直线解析式为，则．
解得，
直线解析式为，
对称轴，
点坐标．

在轴上是存在点，能够使得是直角三角形．理由如下：
，
顶点的坐标为，
，
．
设点的坐标为，分三种情况进行讨论：
当为直角顶点时，如图，

由勾股定理，得，即，
解得，
所以点的坐标为；
当为直角顶点时，如图，

由勾股定理，得，即，
解得，
所以点的坐标为；
当为直角顶点时，如图，

由勾股定理，得，即，
解得或，
所以点的坐标为或；
综上可知，在轴上存在点，能够使得是直角三角形，此时点的坐标为或或或． 

【解析】已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式；
如图，连接交对称轴于，此时周长最小；
分三种情况进行讨论：以为直角顶点；以为直角顶点；以为直角顶点；设点的坐标为，根据勾股定理列出方程，求出的值即可．
本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，三角形的面积，二次函数的顶点式的运用，勾股定理等知识，难度适中．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．

25.【答案】解：，
，
二次函数的顶点坐标为，
二次函数的一个“反倍顶二次函数”的顶点坐标为，
反倍顶二次函数的解析式为；

，
顶点坐标为，
，
顶点坐标为，
由于函数恰是的“反倍顶二次函数”，
则，
解得：． 

【解析】先求出的顶点坐标，然后根据反倍顶二次函数”的定义求出答案；
先求出和的解析式并求出顶点坐标，然后根据条件，，且开口方向相同求出的值．
本题主要考查了二次函数的性质，解答本题的关键是掌握“反倍顶二次函数”的定义，理解题意，按条件的要求求得答案即可．