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浙教版初中数学九年级上册第四单元《相似三角形》单元测试卷（困难）（含答案解析）
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这是一份浙教版初中数学九年级上册第四单元《相似三角形》单元测试卷（困难）（含答案解析），共30页。
浙教版初中数学九年级上册第四单元《相似三角形》单元测试卷
考试范围：第四章 考试时间 ：120分钟 总分 ：120分
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若a，b，b，c是成比例的线段，其中a=3，c=12，则线段b的长为( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 15
2. 已知ab=cd，则下列等式中不成立的是( )
A. ba=dc B. a-bb=c-dd C. aa+b=cc+d D. a+db+c=ab
3. 如图，正六边形ABCDEF外作正方形DEGH，连接AH交DE于点O，则OAOH等于( )
A. 3 B. 3 C. 2 D. 2
4. 如图，在△ABC中，DE//BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
5. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，将矩形ABCD绕着点A逆时针旋转45∘，得矩形AB'C'D'，其中B'C'交AD于点E，延长AB'交BC于点F，连接BB'，DD'，EF，则C'M的值为( )
A. 3 2-3 B. 3 2 C. 3-2 2 D. 2 3-3
6. 如图，在△ABC中，D是AB边上的点，∠B=∠ACD，AC：AB=1：2，则△ADC与△ABC的面积比是( )
A. 1： 2
B. 1：2
C. 1：3
D. 1：4
7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q.若QH=2PE，PQ=15，则CR的长为( )
A. 14
B. 15
C. 8 3
D. 6 5
8. 下列命题：如图，正方形ABCD中，E、F分别为AB、AD上的点，AF=BE，CE、BF交于H，BF交AC于M，O为AC的中点，OB交CE于N，连OH.
下列结论中：
①BF⊥CE；②OM=ON；③OH=12CN；④ 2OH+BH=CH.
其中正确的命题有( )
A. 只有①② B. 只有①②④ C. 只有①④ D. ①②③④
9. 在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=8，以点A为顶点作三角形(阴影部分)，使这个三角形与△ABC相似，且相似比为1：2，根据下列选项图中标注的条件，不符合要求的作图是( )
A. B.
C. D.
10. 如图，在平行四边形FBCE中，点J，G分别在边BC，EF上，JG//BF，四边形ABCD～四边形HGFA，相似比k=3，则下列一定能求出△BIJ面积的条件( )
A. 四边形HDEG和四边形AHGF的面积之差
B. 四边形ABCD和四边形HDEG的面积之差
C. 四边形ABCD和四边形ADEF的面积之差
D. 四边形JCDH和四边形HDEG的面积之差
11. 将一张▱ABCD(AD
C. 22或 5-12 D. 2-1或 22或 5-12
12. 如图，四边形ABCD与四边形EFGH是位似图形，点O是位似中心.若OEEA=23，四边形ABCD的周长是25，则四边形EFGH的周长是( )
A. 4 B. 10 C. 1009 D. 503
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 如图，点P把线段AB的黄金分割点，且AP
15. 如图，在四边形ABCD中，∠BCD=90°，对角线AC，BD相交于点O.若AB=AC=5，BC=6，∠ADB=2∠CBD，则AD的长为
16. 如图，已知矩形ABCD中，AD>AB，在矩形ABCD内作正方形ABEF，若四边形CEFD与矩形ABCD相似，且AB=2，则AD的长为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
已知线段a，b，c，且a2=b3=c4．
(1)求a+bb的值．
(2)若线段a，b，c满足a+b+c=27，求a-b+c的值．
18. (本小题8.0分)
如图，已知点F在AB上，且AF：BF=1：2，点D是BC延长线上一点，BC：CD=2：1，连接FD与AC交于点N，求FN：ND的值．
19. (本小题8.0分)
如图，AD//BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，求AP的长．
20. (本小题8.0分)
如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E．
(1)求证：△ADE∽△BCE．
(2)如果AD2=AE⋅AC，求证：CD=CB．
21. (本小题8.0分)
在平面直角坐标系中，点A的坐标为(- 73,0)，点B在直线l：y=38x上，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C．
(1)如图，点B，C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点D．
①若BA=BO，求证：CD=CO．
②若∠CBO=45°，求四边形ABOC的面积．
(2)是否存在点B，使得以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由．
22. (本小题8.0分)
阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的2倍，则这个矩形是给定矩形的“加倍”矩形．如图，矩形A1B1C1D1是矩形ABCD的“加倍”矩形．
解决问题：
⑴当矩形的长和宽分别为3，2时，它是否存在“加倍”矩形？若存在，求出“加倍”矩形的长与宽，若不存在，请说明理由．
⑵边长为a的正方形存在“加倍”正方形吗？请做出判断，并说明理由
23. (本小题8.0分)
如图，G是正方形ABCD对角线AC上一点，作GE⊥AD，GF⊥AB，垂足分别为点E，F.求证：四边形AFGE与四边形ABCD相似．
24. (本小题8.0分)
如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，x轴、y轴上分别有点A(-1,0)，B(0,2)，连接AB．
(1)按要求在图1中继续画图：
①将△AOB绕点O顺时针旋转90°得△A1OB1；
②以O为位似中心，在第一象限内把△A1OB1按相似比2∶1放大得△A2OB2(即△A2OB2与△A1OB1的相似比为2∶1)；
(2)将△A2OB2绕点O顺时针旋转得△A3OB3．
①连接AA3、BB3，试探究AA3与BB3之间存在怎样的数量关系；
②在整个旋转过程中，设直线AA3与直线BB3交于点M，求点M的横坐标的最大值．
25. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(-2,1)、B(-3,2)、C(-1,4)．
(1)以原点O为位似中心，在第二象限内画出将△ABC放大为原来的2倍后的△A1B1C1．
(2)画出△ABC绕O点顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2．
(3)直接写出点B所经过的路径长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵线段a、b、b、c是成比例线段，
∴ab=bc，
∴b2=ac，
∵a=3，c=12，
∴b2=3×12=36，
∴b=6(负值舍去)．
故选：C．
根据线段a、b、b、c是成比例线段，得出ab=bc，利用比例的基本性质得到b2=ac，再把a=3，c=12代入计算即可．
此题考查了考查了比例线段的定义，注意a、b、c、d是成比例线段即ab=bc，要理解各个字母的顺序．
2.【答案】D
【解析】解：A、ab=cd⇒ba=dc，故选项正确；
B、ab=cd⇒a-bb=c-dd，故选项正确；
C、ab=cd⇒aa+b=cc+d，故选项正确；
D、ab=cd≠a+db+c=ab，故选项错误．
故选：D．
根据比例的性质，对选项一一分析，选择正确答案．
考查了比例的定义和性质．A用到了反比性质，B、C用到了和比性质．
3.【答案】B
【解析】解：连接BD，如图所示：
由正六边形和正方形的性质得：B、D、H三点共线，
设正六边形的边长为a，则AB=BC=CD=DE=a，
∵在△BCD中，BC=CD=a，∠BCD=120°，
∴BD= 3a.
∵OD//AB，
∴OAOH=BDDH= 3aa= 3，
故选：B．
连接BD，如图所示：由正六边形和正方形的性质得：B、D、H三点共线，设正六边形的边长为a，则AB=BC=CD=DE=a，解直角三角形求出BD，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
本题考查正多边形与圆，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
4.【答案】B
【解析】解：∵DE//BC，
∴ADDB=AEEC，
即63=4EC，
解得：EC=2，
故选：B．
根据平行线分线段成比例可得ADDB=AEEC，代入计算即可解答．
本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题属于四边形综合题，考查了旋转变换的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定及性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
根据旋转的性质及已知条件证明△ABF，△AB'E为等腰直角三角形，从而得到△ABF≌△AB'E，可得AE=AF，然后证明△D'AD∽△EAF，继而证明△C'D'M≌△B'EF可得C'M=B'F，由勾股定理求得AF长，由B'F=AF-AB'求得B'F即可C'M长．
【解答】
解：∵四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=6，
∴∠CBA=∠DAB=90∘，
∵矩形ABCD绕着点A逆时针旋转45∘，得矩形AB'C'D'，
∴∠MB'A=∠MC'D'=90∘，
∠FAB=∠EAF=∠D'AD=45∘，
∵∠FAB=45∘，∠ABF=90∘，
∴∠AFB=180∘-90∘-45∘=45∘，
∴△ABF为等腰直角三角形，
∴AB=BF=3，
同理△AB'E为等腰直角三角形，
∴AB'=B'E=3，
∴△ABF≌△AB'E，
∴AE=AF，
又∵AD'=AD，∠D'AD=45∘，AE=AF，∠EAF=45∘，
∴△D'AD∽△EAF，
∴∠AD'D=∠ADD'=∠AEF=∠AFE=180∘-45∘2=67．5∘，
∴∠C'D'D=90∘-67．5∘=22．5∘，
∠FEB'=67．5∘-45∘=22．5∘，
∴△C'D'M≌△B'EF，
∴C'M=B'F，
在Rt△ABF中，AF= AB2+BF2= 32+32=3 2，
∴B'F=AF-AB'=3 2-3，
故C'M=3 2-3．
故选A．
6.【答案】D
【解析】解：∵∠B=∠ACD，∠CAD=∠BAC，
∴△ACD∽△ABC，
∴S△ACDS△ABC=AC2AB2=14，
故选：D．
根据相似三角形的周长之比等于相似比可以解答本题．
本题考查相似三角形的性质，解答本题的关键是明确相似三角形的面积之比等于相似比的平方．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正方形的性质和勾股定理等知识．
如图，连接EC，CH.设AB交CR于J.证明△ECP∽△HCQ，推出PCCQ=CECH=EPHQ=12，由PQ=15，可得PC=5，CQ=10，由EC：CH=1：2，推出AC：BC=1：2，设AC=a，BC=2a，证明四边形ABQC是平行四边形，推出AB=CQ=10，根据AC2+BC2=AB2，构建方程求出a即可解决问题．
【解答】
解：如图，连接EC，CH.设AB交CR于J．
∵四边形ACDE，四边形BCIH都是正方形，
∴∠ACE=∠BCH=45°，
∵∠ACB=90°，∠BCI=90°，
∴∠ACE+∠ACB+∠BCH=180°，∠ACB+∠BCI=90°
∴B，C，H共线，A，C，I共线，
∵DE//AI//BH，
∴∠CEP=∠CHQ，
∵∠ECP=∠QCH，
∴△ECP∽△HCQ，
∴PCCQ=CECH=EPHQ=12，
∵PQ=15，
∴PC=5，CQ=10，
∵EC：CH=1：2，
∴AC：BC=1：2，设AC=a，BC=2a，
∵PQ⊥CR，CR⊥AB，
∴CQ//AB，
∵AC//BQ，CQ//AB，
∴四边形ABQC是平行四边形，
∴AB=CQ=10，
∵AC2+BC2=AB2，
∴5a2=100，
∴a=2 5(负根已经舍弃)，
∴AC=2 5，BC=4 5，
∵12·AC·BC=12·AB·CJ，
∴CJ=2 5×4 510=4，
∵JR=AF=AB=10，
∴CR=CJ+JR=14，
故选A．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的证明以及直角三角形斜边中线的性质，比较综合，有一定难度．
①可证△ABF≌△BCE得到△BEH∽△BFA，所以∠BHE=∠BAF=90°得证；
②由题意正方形中∠BCO=∠ABO=45°，由①知∠BCE=∠ABF，证得△OBM≌△OCN，得到OM=ON即得证；
③由△OBM≌△OCN，所以BM=CN，只有H是BM的中点时，OH等于BM(CN)的一半，所以③错误；
④过O点作OG垂直OH，交CH于G点，由题意可证得△OGC≌△OHB.故GC=BH，且△OHG是等腰直角三角形，HG= 2OH，所以④式成立．
【解答】
解：∵四边形ABCD为正方形，
则AB=BC，∠BAD=∠ABC=90°，
∵AF=BE，
∴△ABF≌△BCE(SAS)，
∴∠BFA=∠BEC，
又∠EBH=∠EBH
∴△BEH∽△BFA，
∴∠BHE=∠BAF=90°，
即BF⊥EC，①正确；
∵四边形是正方形，
∴BO⊥AC，即∠BOM=∠CON=90°，BO=OC，
由题意正方形中∠BCO=∠ABO=45°，
由①知∠BCE=∠ABF，
∴∠ECO=∠FBO，
∴△OBM≌△OCN(ASA)，
∴OM=ON，即②正确；
③∵△OBM≌△OCN，
∴BM=CN，
因为∠BOM=90°，
所以只有当H为BM的中点时，OH=12BM=12CN，
但由于E点是运动的，H不恒为BM中点
故③错误；
④过O点作OG垂直OH，交CH于G点，
∵∠HOG=∠BOC=90°，
故∠HOG-∠NOG=∠BOC-∠NOG，即∠HON=∠GOC，
在△OGC与△OHB中，
∠OCN=∠OBHOC=OB∠GOC=∠HON,
故△OGC≌△OHB(ASA)，
则OG=OH，GC=BH，
∵OH⊥OG，
∴△OHG是等腰直角三角形，
则HG= 2OH，
故 2OH+BH=HG+GC=CH，
所以④式成立．
综上所述，①②④正确．
故选：B．
9.【答案】D
【解析】解：A.∵∠AMN=∠C，∠A=∠A，
∴△AMN∽△ACB，且MN：BC=1：2；
B.由勾股定理得，MN=4，
∵AMAC=MNBC=12，∠M=∠C，
∴△AMN∽△ACB，
C.△AMC∽△BMA，相似比是MCAM=12，
D.相似比不是1：2，故D符合题意．
故选：D．
根据相似三角形的判定逐一进行判断即可．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：如图，分别过点A，D作BC的平行线交CE于点M，交BF于点N，
∵四边形ABCD～四边形HGFA，相似比k=3，
∴CD=3AF=3ME，BC=3FG=3BJ，△BCD～△BJI，相似比k=3，
则S平行四边形BCDN=3S平行四边形MEFA=2S△BCD，9S△BJI=S△BCD，
∵S△ADN=S△ADM，
∴S四边形ABCD-S四边形ADEF=S▱BCDN-S▱MEFA=43S△BCD=12S△BIJ，选项C符合题意，
故选：C．
分别过点A，D作BC的平行线，根据相似比，找出对应相似图形的面积关系，然后找出符合的选项即可．
本题考查了根据相似比求面积关系，平行四边形的性质，相似多边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，适当添加辅助线，找出对应面积关系，采用面积作差方法是解题关键．
11.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了菱形的概念与性质，平行四边形的概念与性质，相似多边形的性质，解答本题的关键是理解数形结合的数学思想、分类讨论的数学思想；根据题意分两种情况画出图形，结合图形，利用菱形的性质，相似多边形的性质进行解答，即可求解．
【解答】解：分两种：
①如图，四边形AGHD和四边形BEFG都是菱形，▱ABCD∽▱CEFH，
则AD=DH=GH=AG，BE=EF=FG=BG，ABCE=BCEF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD，DC=AB，
设AD=DH=GH=AG=x，AB=y，则BC=x，BG=AB-AG=y-x，
∴BE=EF=BG=y-x，CE=BC-BE=x-(y-x)=2x-y，
由ABCE=BCEF可得，y2x-y=xy-x，
∴2x2=y2，
∴x1= 22y，x2=- 22y(舍去)，
∴ADAB=xy= 22yy= 22；
②如图，四边形AGHD和四边形BEFG都是菱形，▱ABCD∽▱FECH，
则AD=DH=GH=AG，BE=EF=FG=BG，ABFE=BCEC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD，DC=AB，
设AD=DH=GH=AG=x，AB=y，则BC=x，BG=AB-AG=y-x，
∴BE=EF=BG=y-x，CE=BC-BE=x-(y-x)=2x-y，
由ABFE=BCEC可得，yy-x=x2x-y，
∴x2+xy-y2=0，
∴x1=-1+ 52y，x2=-1- 52y(舍去)，
∴ADAB=xy=-1+ 52yy= 5-12；
综上所述，ABCD的相邻两边AD与AB的比值是 22或 5-12．
故选：C．
12.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH是位似图形，点O是位似中心，
∴EFAB=OEOA，四边形ABCD与四边形EFGH相似，
∵OEEA=23，
∴OEOA=25，
∴EFAB=25，
∴四边形EFGH的周长：四边形ABCD的周长=25，
∴四边形EFGH的周长=25×25=10．
故选：B．
先根据位似的性质得到EFAB=OEOA，四边形ABCD与四边形EFGH相似，再利用比例的性质得OEOA=EFAB=25，然后根据相似多边形的性质求解．
本题考查了位似变换：两个位似图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行；位似比等于相似比．
13.【答案】1.2
【解析】解：∵点P是线段AB的黄金分割点(AP
∴BP= 5-12AB= 5-1≈1.2，
故答案为：1.2．
由黄金分割的定义得APBP=BPAB，即可得出答案．
本题考查了黄金分割的定义，解题的关键是熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值．
14.【答案】4 55
【解析】【分析】
本题考查了直角三角形相似的判定定理，需注意边的对应关系．根据题目已知条件发现这两个三角形都是直角三角形，如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．【解答】
解：∵正方形ABCD边长是4，
∴BE=CE=2，∠B=∠D=90°，
∴在Rt△ABE中，AE= 42+22=2 5，
当△NDM∽△EBA时，AE：MN=AB：DM，即2 5：2=4：DM，
∴DM=4 55．
故答案为4 55．
15.【答案】 973
【解析】【分析】
过点A作AH⊥BC于点H，延长AD，BC交于点E，根据等腰三角形性质得出BH=HC=12BC=3，根据勾股定理求出AH= AC2-CH2=4，证明∠CBD=∠CED，得出DB=DE，根据等腰三角形性质得出CE=BC=6，证明CD//AH，得出CDAH=CEHE，求出CD=83，根据勾股定理求出DE= CE2+CD2= 62+(83)2=2 973，根据CD//AH，得出DEAD=CECH，即2 97AD=63，求出结果即可．
本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，平行线的判定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质．
【解答】
解：过点A作AH⊥BC于点H，延长AD，BC交于点E，如图所示：
则∠AHC=∠AHB=90∘，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴BH=HC=12BC=3，
∴AH= AC2-CH2=4，
∵∠ADB=∠CBD+∠CED，∠ADB=2∠CBD，
∴∠CBD=∠CED，
∴DB=DE，
∵∠BCD=90∘，
∴DC⊥BE，
∴CE=BC=6，
∴EH=CE+CH=9，
∵DC⊥BE，AH⊥BC，
∴CD//AH，
∴△ECD∽△EHA，
∴CDAH=CEHE，
即CD4=69，
解得：CD=83，
∴DE= CE2+CD2= 62+(83)2=2 973，
∵CD//AH，
∴DEAD=CECH，
即2 973AD=63，
解得：AD= 973．
故答案为 973．
16.【答案】 5+1
【解析】解：∵四边形CEFD与矩形ABCD相似，
∴FDCD=CDAD，
∴CD2=DF⋅AD，
即AF2=DF⋅AD，
∴F是AD的黄金分割点，
∴AF= 5-12AD，又AF=AB=2，
∴AD= 5+1，
故答案为： 5+1．
根据相似三角形的性质得到F是AD的黄金分割点，根据黄金比值计算即可．
本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的性质为：对应角相等；对应边的比相等是解题的关键．
17.【答案】【小题1】
∵a2=b3，∴ab=23，
∴a+bb=ab+1=23+1=53．
【小题2】
设a2=b3=c4=k，则a=2k，b=3k，c=4k．
∵a+b+c=27，∴2k+3k+4k=27，∴k=3，
∴a=6，b=9，c=12，∴a-b+c=6-9+12=9．
【解析】1. 见答案
2. 见答案
18.【答案】解：过点F作FE//BD，交AC于点E，
∴EFBC=AFAB，
∵AF：BF=1：2，
∴AFAB=13，
∴FEBC=13，
即FE=13BC，
∵BC：CD=2：1，
∴CD=12BC，
∵FE//BD，
∴FNND=FECD=13BC12BC=23．
即FN：ND=2：3．
证法二、连接CF、AD，
∵AF：BF=1：2，BC：CD=2：1，
∴BFAB=BCBD=23，
∵∠B=∠B，
∴△BCF∽△BDA，
∴FCAD=BCBD=23，∠BCF=∠BDA，
∴FC//AD，
∴△CNF∽△AND，
∴FNND=CFAD=23．
【解析】过点F作FE//BD，交AC于点E，求出FEBC=13，得出FE=13BC，根据已知推出CD=12BC，根据平行线分线段成比例定理推出FNND=EFCD，代入化简即可．
本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：平行线分的线段对应成比例，此题具有一定的代表性，但是一定比较容易出错的题目．
19.【答案】解：∵AB⊥BC，
∴∠B=90°．
∵AD//BC，
∴∠A=180°-∠B=90°，
∴∠PAD=∠PBC=90°．
AB=8，AD=3，BC=4，
设AP的长为x，则BP长为8-x．
若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况：
①若△APD∽△BPC，则AP：BP=AD：BC，即x：(8-x)=3：4，
解得x=247；
②若△APD∽△BCP，则AP：BC=AD：BP，即x：4=3：(8-x)，
解得x=2或x=6．
所以AP=247 或AP=2或AP=6．
【解析】由AD//BC，∠ABC=90°，易得∠PAD=∠PBC=90°，又由AB=8，AD=3，BC=4，设AP的长为x，则BP长为8-x，然后分别从△APD∽△BPC与△APD∽△BCP去分析，利用相似三角形的对应边成比例求解即可求得答案．
此题考查了相似三角形的性质．注意利用分类讨论思想求解是关键．
20.【答案】【小题1】
证明：∵∠A与∠B是CD所对的圆周角，∴∠A=∠B.又∵∠AED=∠BEC，∴△ADE∽△BCE．
【小题2】
∵AD2=AE⋅AC，∴AEAD=ADAC.又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACD，∴∠AED=∠ADC．∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90∘，∴∠AED=90∘，∴AC⊥BD，∴CD=BC，∴CD=CB．
【解析】1. 见答案
2. 见答案
21.【答案】(1)①证明：∵BC⊥AB，CO⊥BO，
∴∠ABC=∠BOC=90°，
∴∠BAD+∠ADB=∠COD+∠DOB=90°，
∵BA=BO，
∴∠BAD=∠DOB，
∴∠ADB=∠COD，
∵∠ADB=∠CDO，
∴∠COD=∠CDO，
∴CD=CO；
②解：过A作AM⊥OB于M，过M作MN⊥y轴于N，如图：
∵M在直线l：y=38x上，设M(m,38m)，
∴MN=|m|=-m，ON=|38m|=-38m，
而OA//MN，
∴∠AOM=∠OMN，
∴△AOM∽△OMN，
ONMN=AMMO=38，
设AM=3n，则OM=8n，
Rt△AOM中，AM2+OM2=OA2，
又A的坐标为(- 73,0)，
∴OA= 73，
∴(3n)2+(8n)2=( 73)2，
解得n=1(n=-1舍去)，
∴AM=3，OM=8，
∵∠CBO=45°，CO⊥BO，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∵BC⊥AB，∠CBO=45°，
∴∠ABM=45°，
∵AM⊥OB，
∴△ABM是等腰直角三角形，
∴AM=BM=3，BO=CO=OM-BM=5，
∴等腰直角三角形△ABM中，AB= 2AM=3 2，
等腰直角三角形△BOC中，BC= 2BO=5 2，
∴S△ABC=12AB⋅BC=15，S△BOC=12BO⋅CO=252，
∴S四边形ABOC=S△ABC+S△BOC=552；
(2)解：存在点B，使得以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，理由如下：
过A作AM⊥OB于M，
a)当点B位于线段OM上，如图：
由(1)②可知：AM=3，OM=8，
设OB=x，则BM=8-x，AB= 9+(8-x)2，
∵CO⊥BO，AM⊥BO，AB⊥BC，
∴∠AMB=∠BOC=90°，∠ABM=90°-∠OBC=∠BCO，
∴△AMB∽△BOC，
∴OCBM=OBAM，即OC8-x=x3，
∴OC=x3(8-x)，
Rt△BOC中，BC= OB2+OC2=x3 9+(8-x)2，
∵∠ABC=∠BOC=90°，
∴以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，分两种情况：
①若ABOB=BCOC，则 9+(8-x)2x=x3 9+(8-x)2x3(8-x)，
解得x=4，
∴此时OB=4；
②若ABOC=BCOB，则 9+(8-x)2x3(8-x)=x3 9+(8-x)2x，
解得x1=4+ 7，x2=4- 7，
∴此时OB=4+ 7或OB=4- 7；
b)当点B位于线段OM延长线上，如图，
设OB=x，则BM=x-8，AB= 9+(8-x)2，
与a)类似，可得OC=x3(x-8)，
Rt△BOC中，BC= OB2+OC2=x3 9+(8-x)2，
∵∠ABC=∠BOC=90°，
∴以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，分情况讨论：
③若ABOB=BCOC，则 9+(8-x)2x=x3 9+(8-x)2x3(x-8)，
此时，x无解；
④若ABOC=BCOB，则 9+(8-x)2x3(x-8)=x3 9+(8-x)2x，
解得x3=9，x4=-1(舍去)，
∴此时OB=9；
c)点B位于线段MO延长线上，如图：
设OB=x，则BM=x+8，AB= 9+(8+x)2，
类似的，可得OC=x3(x+8)，
Rt△BOC中，BC= OB2+OC2=x3 9+(8+x)2，
∵∠ABC=∠BOC=90°，
∴以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，分情况讨论：
⑤若ABOB=BCOC，则 9+(8+x)2x=x3 9+(8+x)2x3(x+8)，
此时，x无解；
⑥若ABOC=BCOB，则 9+(8+x)2x3(x+8)=x3 9+(8+x)2x，
解得x5=-9(舍去)，x6=1，
∴此时OB=1．
综上所述，以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，则OB的长度为：4或4+ 7或4- 7或9或1．
【解析】本题考查一次函数综合，涉及等腰三角形性质与判定，相似三角形性质与判定，勾股定理等知识，解题的关键是根据已知用含未知数的代数式表达相关线段的长度，(2)中要注意分情况讨论，避免漏解．
(1)①由BC⊥AB，CO⊥BO，可得∠BAD+∠ADB=∠COD+∠DOB=90°，而根据已知有∠BAD=∠DOB，故∠ADB=∠COD，从而可得∠COD=∠CDO，于是有CD=CO；
②过A作AM⊥OB于M，过M作MN⊥y轴于N，设M(m,38m)，可得△AOM∽△OMN，ONMN=AMMO=38，设AM=3n，则OM=8n，利用勾股定理求出AM=3，OM=8，由∠CBO=45°可知△BOC是等腰直角三角形，△ABM是等腰直角三角形，从而有AM=BM=3，BO=CO=OM-BM=5，AB= 2AM=3 2，BC= 2BO=5 2，即可求出S四边形ABOC=S△ABC+S△BOC=552；
(2)过A作AM⊥OB于M，
a)当点B位于线段OM上，设OB=x，则BM=8-x，AB= 9+(8-x)2，
由△AMB∽△BOC，对应边成比例可得OC=x3(8-x)，Rt△BOC中，BC=x3 9+(8-x)2，
以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，
分两种情况：
①若ABOB=BCOC，则 9+(8-x)2x=x3 9+(8-x)2x3(8-x)，可得OB=4；
②若ABOC=BCOB，则 9+(8-x)2x3(8-x)=x3 9+(8-x)2x，解得OB=4+ 7或OB=4- 7；
b)当点B位于线段OM延长线上；
c)点B位于线段MO延长线上时，可类似求解．
22.【答案】解：(1)存在“加倍”矩形，则“加倍”矩形的周长为(3+2)×2×2=20．
设“加倍”矩形的一边长为x，则它的另一边长为(10-x)．
由题意，得x(10-x)=3×2×2，解得x1=5+ 13，x2=5- 13．
所以10-x1=5- 13，10-x2=5+ 13．
故存在“加倍”矩形，且“加倍”矩形的长为5+ 13，宽为5- 13．
(2)不存在．
理由如下：
因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为2时，则它们的面积比必定是4．
所以不存在“加倍”正方形．
【解析】本题考查了新定义问题，解题的关键是理解新定义，根据题意并找到等量关系，难度不大．
(1)根据给出的两边长得到周长，然后设出其中一边，表示出另一边，根据题意列出方程求解，若能求得答案即存在，否则就不存在；
(2)根据所有的正方形的面积比和周长比的关系可做出判断．
23.【答案】证明；∵∠GEA=∠EAF=∠GFA=90°，
∴四边形EAFG为矩形．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AC平分∠DAB．
又∵GE⊥AD，GF⊥AB，
∴GE=GF．
∴四边形EAFG为正方形．
∴四边形AFGE与四边形ABCD相似．
【解析】由正方形的性质可知；AC平分∠DAB，然后由角平分线的性质可知GE=GF，从而可证明四边形EGFA为正方形，故此四边形AFGE与四边形ABCD相似．
本题主要考查的是相似多边形的判定、正方形的判定、角平分线的性质，证得四边形EAFG为正方形是解题的关键．
24.【答案】解：(1)①将△AOB绕点O顺时针旋转90°得△A1OB1如图所示；
②以O为位似中心，在第一象限内把△A1OB1按相似比2∶1放大得△A2OB2如图所示；
(2)①如图，由旋转的性质可得△AOA3∽△BOB3，
∴AA3BB3=OAOB=12，
即AA3=12BB3．
②如图，
由旋转的性质可知在整个旋转过程中，始终都有AA3⊥BB3，
即∠AMB始终保持为90∘．
∴点M在以AB为直径的圆上．
易得以AB为直径的圆的圆心N的坐标为(-12,1)，
且⊙N的半径为12AB= 52，
∴当点M满足MN//x轴，且点M在点N的右侧时，其横坐标取得最大值，为 5-12．
【解析】本题主要考查了坐标与图形的性质，旋转作图，位似作图及旋转的性质，相似三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
(1)①根据旋转作图的步骤作出各对应点，再进行连接即可；
按照位似作图的步骤作出各对应点，再进行连接即可；
(2)①根据性质的性质可知在旋转的过程中△AOA3∽△BOB3，则根据相似三角形的性质可得出AA3与BB3之间存在的数量关系；
②根据旋转的性质知AA3⊥BB3，由此可得∠AMB始终保持为90∘，所以点M总是在以AB为直径的圆上，且圆心的坐标为(-12,1)，则当MN//x轴时可得M的横坐标的最大值．
25.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；
(2)如图，△A2B2C2即为所求．
(3)OB= 32+22= 13，
点B所经过的路径长为：90×π× 13180= 13π2．
【解析】(1)把点A、B、C的横纵坐标都乘以2得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
(2)利用网格特点和旋转的性质画出点A、B，C的对应点A2、B2、C2即可得到△A 2 B 2C2；
(3)利用弧长公式求解即可．
本题考查了作图-位似变换以及旋转变换，正确掌握图形变换的性质是解题关键．
浙教版初中数学九年级上册第四单元《相似三角形》单元测试卷
考试范围：第四章 考试时间 ：120分钟 总分 ：120分
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若a，b，b，c是成比例的线段，其中a=3，c=12，则线段b的长为( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 15
2. 已知ab=cd，则下列等式中不成立的是( )
A. ba=dc B. a-bb=c-dd C. aa+b=cc+d D. a+db+c=ab
3. 如图，正六边形ABCDEF外作正方形DEGH，连接AH交DE于点O，则OAOH等于( )
A. 3 B. 3 C. 2 D. 2
4. 如图，在△ABC中，DE//BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
5. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，将矩形ABCD绕着点A逆时针旋转45∘，得矩形AB'C'D'，其中B'C'交AD于点E，延长AB'交BC于点F，连接BB'，DD'，EF，则C'M的值为( )
A. 3 2-3 B. 3 2 C. 3-2 2 D. 2 3-3
6. 如图，在△ABC中，D是AB边上的点，∠B=∠ACD，AC：AB=1：2，则△ADC与△ABC的面积比是( )
A. 1： 2
B. 1：2
C. 1：3
D. 1：4
7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q.若QH=2PE，PQ=15，则CR的长为( )
A. 14
B. 15
C. 8 3
D. 6 5
8. 下列命题：如图，正方形ABCD中，E、F分别为AB、AD上的点，AF=BE，CE、BF交于H，BF交AC于M，O为AC的中点，OB交CE于N，连OH.
下列结论中：
①BF⊥CE；②OM=ON；③OH=12CN；④ 2OH+BH=CH.
其中正确的命题有( )
A. 只有①② B. 只有①②④ C. 只有①④ D. ①②③④
9. 在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=8，以点A为顶点作三角形(阴影部分)，使这个三角形与△ABC相似，且相似比为1：2，根据下列选项图中标注的条件，不符合要求的作图是( )
A. B.
C. D.
10. 如图，在平行四边形FBCE中，点J，G分别在边BC，EF上，JG//BF，四边形ABCD～四边形HGFA，相似比k=3，则下列一定能求出△BIJ面积的条件( )
A. 四边形HDEG和四边形AHGF的面积之差
B. 四边形ABCD和四边形HDEG的面积之差
C. 四边形ABCD和四边形ADEF的面积之差
D. 四边形JCDH和四边形HDEG的面积之差
11. 将一张▱ABCD(AD
C. 22或 5-12 D. 2-1或 22或 5-12
12. 如图，四边形ABCD与四边形EFGH是位似图形，点O是位似中心.若OEEA=23，四边形ABCD的周长是25，则四边形EFGH的周长是( )
A. 4 B. 10 C. 1009 D. 503
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 如图，点P把线段AB的黄金分割点，且AP
15. 如图，在四边形ABCD中，∠BCD=90°，对角线AC，BD相交于点O.若AB=AC=5，BC=6，∠ADB=2∠CBD，则AD的长为
16. 如图，已知矩形ABCD中，AD>AB，在矩形ABCD内作正方形ABEF，若四边形CEFD与矩形ABCD相似，且AB=2，则AD的长为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
已知线段a，b，c，且a2=b3=c4．
(1)求a+bb的值．
(2)若线段a，b，c满足a+b+c=27，求a-b+c的值．
18. (本小题8.0分)
如图，已知点F在AB上，且AF：BF=1：2，点D是BC延长线上一点，BC：CD=2：1，连接FD与AC交于点N，求FN：ND的值．
19. (本小题8.0分)
如图，AD//BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，求AP的长．
20. (本小题8.0分)
如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E．
(1)求证：△ADE∽△BCE．
(2)如果AD2=AE⋅AC，求证：CD=CB．
21. (本小题8.0分)
在平面直角坐标系中，点A的坐标为(- 73,0)，点B在直线l：y=38x上，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C．
(1)如图，点B，C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点D．
①若BA=BO，求证：CD=CO．
②若∠CBO=45°，求四边形ABOC的面积．
(2)是否存在点B，使得以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由．
22. (本小题8.0分)
阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的2倍，则这个矩形是给定矩形的“加倍”矩形．如图，矩形A1B1C1D1是矩形ABCD的“加倍”矩形．
解决问题：
⑴当矩形的长和宽分别为3，2时，它是否存在“加倍”矩形？若存在，求出“加倍”矩形的长与宽，若不存在，请说明理由．
⑵边长为a的正方形存在“加倍”正方形吗？请做出判断，并说明理由
23. (本小题8.0分)
如图，G是正方形ABCD对角线AC上一点，作GE⊥AD，GF⊥AB，垂足分别为点E，F.求证：四边形AFGE与四边形ABCD相似．
24. (本小题8.0分)
如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，x轴、y轴上分别有点A(-1,0)，B(0,2)，连接AB．
(1)按要求在图1中继续画图：
①将△AOB绕点O顺时针旋转90°得△A1OB1；
②以O为位似中心，在第一象限内把△A1OB1按相似比2∶1放大得△A2OB2(即△A2OB2与△A1OB1的相似比为2∶1)；
(2)将△A2OB2绕点O顺时针旋转得△A3OB3．
①连接AA3、BB3，试探究AA3与BB3之间存在怎样的数量关系；
②在整个旋转过程中，设直线AA3与直线BB3交于点M，求点M的横坐标的最大值．
25. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(-2,1)、B(-3,2)、C(-1,4)．
(1)以原点O为位似中心，在第二象限内画出将△ABC放大为原来的2倍后的△A1B1C1．
(2)画出△ABC绕O点顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2．
(3)直接写出点B所经过的路径长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵线段a、b、b、c是成比例线段，
∴ab=bc，
∴b2=ac，
∵a=3，c=12，
∴b2=3×12=36，
∴b=6(负值舍去)．
故选：C．
根据线段a、b、b、c是成比例线段，得出ab=bc，利用比例的基本性质得到b2=ac，再把a=3，c=12代入计算即可．
此题考查了考查了比例线段的定义，注意a、b、c、d是成比例线段即ab=bc，要理解各个字母的顺序．
2.【答案】D
【解析】解：A、ab=cd⇒ba=dc，故选项正确；
B、ab=cd⇒a-bb=c-dd，故选项正确；
C、ab=cd⇒aa+b=cc+d，故选项正确；
D、ab=cd≠a+db+c=ab，故选项错误．
故选：D．
根据比例的性质，对选项一一分析，选择正确答案．
考查了比例的定义和性质．A用到了反比性质，B、C用到了和比性质．
3.【答案】B
【解析】解：连接BD，如图所示：
由正六边形和正方形的性质得：B、D、H三点共线，
设正六边形的边长为a，则AB=BC=CD=DE=a，
∵在△BCD中，BC=CD=a，∠BCD=120°，
∴BD= 3a.
∵OD//AB，
∴OAOH=BDDH= 3aa= 3，
故选：B．
连接BD，如图所示：由正六边形和正方形的性质得：B、D、H三点共线，设正六边形的边长为a，则AB=BC=CD=DE=a，解直角三角形求出BD，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
本题考查正多边形与圆，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
4.【答案】B
【解析】解：∵DE//BC，
∴ADDB=AEEC，
即63=4EC，
解得：EC=2，
故选：B．
根据平行线分线段成比例可得ADDB=AEEC，代入计算即可解答．
本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题属于四边形综合题，考查了旋转变换的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定及性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
根据旋转的性质及已知条件证明△ABF，△AB'E为等腰直角三角形，从而得到△ABF≌△AB'E，可得AE=AF，然后证明△D'AD∽△EAF，继而证明△C'D'M≌△B'EF可得C'M=B'F，由勾股定理求得AF长，由B'F=AF-AB'求得B'F即可C'M长．
【解答】
解：∵四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=6，
∴∠CBA=∠DAB=90∘，
∵矩形ABCD绕着点A逆时针旋转45∘，得矩形AB'C'D'，
∴∠MB'A=∠MC'D'=90∘，
∠FAB=∠EAF=∠D'AD=45∘，
∵∠FAB=45∘，∠ABF=90∘，
∴∠AFB=180∘-90∘-45∘=45∘，
∴△ABF为等腰直角三角形，
∴AB=BF=3，
同理△AB'E为等腰直角三角形，
∴AB'=B'E=3，
∴△ABF≌△AB'E，
∴AE=AF，
又∵AD'=AD，∠D'AD=45∘，AE=AF，∠EAF=45∘，
∴△D'AD∽△EAF，
∴∠AD'D=∠ADD'=∠AEF=∠AFE=180∘-45∘2=67．5∘，
∴∠C'D'D=90∘-67．5∘=22．5∘，
∠FEB'=67．5∘-45∘=22．5∘，
∴△C'D'M≌△B'EF，
∴C'M=B'F，
在Rt△ABF中，AF= AB2+BF2= 32+32=3 2，
∴B'F=AF-AB'=3 2-3，
故C'M=3 2-3．
故选A．
6.【答案】D
【解析】解：∵∠B=∠ACD，∠CAD=∠BAC，
∴△ACD∽△ABC，
∴S△ACDS△ABC=AC2AB2=14，
故选：D．
根据相似三角形的周长之比等于相似比可以解答本题．
本题考查相似三角形的性质，解答本题的关键是明确相似三角形的面积之比等于相似比的平方．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正方形的性质和勾股定理等知识．
如图，连接EC，CH.设AB交CR于J.证明△ECP∽△HCQ，推出PCCQ=CECH=EPHQ=12，由PQ=15，可得PC=5，CQ=10，由EC：CH=1：2，推出AC：BC=1：2，设AC=a，BC=2a，证明四边形ABQC是平行四边形，推出AB=CQ=10，根据AC2+BC2=AB2，构建方程求出a即可解决问题．
【解答】
解：如图，连接EC，CH.设AB交CR于J．
∵四边形ACDE，四边形BCIH都是正方形，
∴∠ACE=∠BCH=45°，
∵∠ACB=90°，∠BCI=90°，
∴∠ACE+∠ACB+∠BCH=180°，∠ACB+∠BCI=90°
∴B，C，H共线，A，C，I共线，
∵DE//AI//BH，
∴∠CEP=∠CHQ，
∵∠ECP=∠QCH，
∴△ECP∽△HCQ，
∴PCCQ=CECH=EPHQ=12，
∵PQ=15，
∴PC=5，CQ=10，
∵EC：CH=1：2，
∴AC：BC=1：2，设AC=a，BC=2a，
∵PQ⊥CR，CR⊥AB，
∴CQ//AB，
∵AC//BQ，CQ//AB，
∴四边形ABQC是平行四边形，
∴AB=CQ=10，
∵AC2+BC2=AB2，
∴5a2=100，
∴a=2 5(负根已经舍弃)，
∴AC=2 5，BC=4 5，
∵12·AC·BC=12·AB·CJ，
∴CJ=2 5×4 510=4，
∵JR=AF=AB=10，
∴CR=CJ+JR=14，
故选A．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的证明以及直角三角形斜边中线的性质，比较综合，有一定难度．
①可证△ABF≌△BCE得到△BEH∽△BFA，所以∠BHE=∠BAF=90°得证；
②由题意正方形中∠BCO=∠ABO=45°，由①知∠BCE=∠ABF，证得△OBM≌△OCN，得到OM=ON即得证；
③由△OBM≌△OCN，所以BM=CN，只有H是BM的中点时，OH等于BM(CN)的一半，所以③错误；
④过O点作OG垂直OH，交CH于G点，由题意可证得△OGC≌△OHB.故GC=BH，且△OHG是等腰直角三角形，HG= 2OH，所以④式成立．
【解答】
解：∵四边形ABCD为正方形，
则AB=BC，∠BAD=∠ABC=90°，
∵AF=BE，
∴△ABF≌△BCE(SAS)，
∴∠BFA=∠BEC，
又∠EBH=∠EBH
∴△BEH∽△BFA，
∴∠BHE=∠BAF=90°，
即BF⊥EC，①正确；
∵四边形是正方形，
∴BO⊥AC，即∠BOM=∠CON=90°，BO=OC，
由题意正方形中∠BCO=∠ABO=45°，
由①知∠BCE=∠ABF，
∴∠ECO=∠FBO，
∴△OBM≌△OCN(ASA)，
∴OM=ON，即②正确；
③∵△OBM≌△OCN，
∴BM=CN，
因为∠BOM=90°，
所以只有当H为BM的中点时，OH=12BM=12CN，
但由于E点是运动的，H不恒为BM中点
故③错误；
④过O点作OG垂直OH，交CH于G点，
∵∠HOG=∠BOC=90°，
故∠HOG-∠NOG=∠BOC-∠NOG，即∠HON=∠GOC，
在△OGC与△OHB中，
∠OCN=∠OBHOC=OB∠GOC=∠HON,
故△OGC≌△OHB(ASA)，
则OG=OH，GC=BH，
∵OH⊥OG，
∴△OHG是等腰直角三角形，
则HG= 2OH，
故 2OH+BH=HG+GC=CH，
所以④式成立．
综上所述，①②④正确．
故选：B．
9.【答案】D
【解析】解：A.∵∠AMN=∠C，∠A=∠A，
∴△AMN∽△ACB，且MN：BC=1：2；
B.由勾股定理得，MN=4，
∵AMAC=MNBC=12，∠M=∠C，
∴△AMN∽△ACB，
C.△AMC∽△BMA，相似比是MCAM=12，
D.相似比不是1：2，故D符合题意．
故选：D．
根据相似三角形的判定逐一进行判断即可．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：如图，分别过点A，D作BC的平行线交CE于点M，交BF于点N，
∵四边形ABCD～四边形HGFA，相似比k=3，
∴CD=3AF=3ME，BC=3FG=3BJ，△BCD～△BJI，相似比k=3，
则S平行四边形BCDN=3S平行四边形MEFA=2S△BCD，9S△BJI=S△BCD，
∵S△ADN=S△ADM，
∴S四边形ABCD-S四边形ADEF=S▱BCDN-S▱MEFA=43S△BCD=12S△BIJ，选项C符合题意，
故选：C．
分别过点A，D作BC的平行线，根据相似比，找出对应相似图形的面积关系，然后找出符合的选项即可．
本题考查了根据相似比求面积关系，平行四边形的性质，相似多边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，适当添加辅助线，找出对应面积关系，采用面积作差方法是解题关键．
11.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了菱形的概念与性质，平行四边形的概念与性质，相似多边形的性质，解答本题的关键是理解数形结合的数学思想、分类讨论的数学思想；根据题意分两种情况画出图形，结合图形，利用菱形的性质，相似多边形的性质进行解答，即可求解．
【解答】解：分两种：
①如图，四边形AGHD和四边形BEFG都是菱形，▱ABCD∽▱CEFH，
则AD=DH=GH=AG，BE=EF=FG=BG，ABCE=BCEF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD，DC=AB，
设AD=DH=GH=AG=x，AB=y，则BC=x，BG=AB-AG=y-x，
∴BE=EF=BG=y-x，CE=BC-BE=x-(y-x)=2x-y，
由ABCE=BCEF可得，y2x-y=xy-x，
∴2x2=y2，
∴x1= 22y，x2=- 22y(舍去)，
∴ADAB=xy= 22yy= 22；
②如图，四边形AGHD和四边形BEFG都是菱形，▱ABCD∽▱FECH，
则AD=DH=GH=AG，BE=EF=FG=BG，ABFE=BCEC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD，DC=AB，
设AD=DH=GH=AG=x，AB=y，则BC=x，BG=AB-AG=y-x，
∴BE=EF=BG=y-x，CE=BC-BE=x-(y-x)=2x-y，
由ABFE=BCEC可得，yy-x=x2x-y，
∴x2+xy-y2=0，
∴x1=-1+ 52y，x2=-1- 52y(舍去)，
∴ADAB=xy=-1+ 52yy= 5-12；
综上所述，ABCD的相邻两边AD与AB的比值是 22或 5-12．
故选：C．
12.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH是位似图形，点O是位似中心，
∴EFAB=OEOA，四边形ABCD与四边形EFGH相似，
∵OEEA=23，
∴OEOA=25，
∴EFAB=25，
∴四边形EFGH的周长：四边形ABCD的周长=25，
∴四边形EFGH的周长=25×25=10．
故选：B．
先根据位似的性质得到EFAB=OEOA，四边形ABCD与四边形EFGH相似，再利用比例的性质得OEOA=EFAB=25，然后根据相似多边形的性质求解．
本题考查了位似变换：两个位似图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行；位似比等于相似比．
13.【答案】1.2
【解析】解：∵点P是线段AB的黄金分割点(AP
∴BP= 5-12AB= 5-1≈1.2，
故答案为：1.2．
由黄金分割的定义得APBP=BPAB，即可得出答案．
本题考查了黄金分割的定义，解题的关键是熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值．
14.【答案】4 55
【解析】【分析】
本题考查了直角三角形相似的判定定理，需注意边的对应关系．根据题目已知条件发现这两个三角形都是直角三角形，如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．【解答】
解：∵正方形ABCD边长是4，
∴BE=CE=2，∠B=∠D=90°，
∴在Rt△ABE中，AE= 42+22=2 5，
当△NDM∽△EBA时，AE：MN=AB：DM，即2 5：2=4：DM，
∴DM=4 55．
故答案为4 55．
15.【答案】 973
【解析】【分析】
过点A作AH⊥BC于点H，延长AD，BC交于点E，根据等腰三角形性质得出BH=HC=12BC=3，根据勾股定理求出AH= AC2-CH2=4，证明∠CBD=∠CED，得出DB=DE，根据等腰三角形性质得出CE=BC=6，证明CD//AH，得出CDAH=CEHE，求出CD=83，根据勾股定理求出DE= CE2+CD2= 62+(83)2=2 973，根据CD//AH，得出DEAD=CECH，即2 97AD=63，求出结果即可．
本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，平行线的判定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质．
【解答】
解：过点A作AH⊥BC于点H，延长AD，BC交于点E，如图所示：
则∠AHC=∠AHB=90∘，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴BH=HC=12BC=3，
∴AH= AC2-CH2=4，
∵∠ADB=∠CBD+∠CED，∠ADB=2∠CBD，
∴∠CBD=∠CED，
∴DB=DE，
∵∠BCD=90∘，
∴DC⊥BE，
∴CE=BC=6，
∴EH=CE+CH=9，
∵DC⊥BE，AH⊥BC，
∴CD//AH，
∴△ECD∽△EHA，
∴CDAH=CEHE，
即CD4=69，
解得：CD=83，
∴DE= CE2+CD2= 62+(83)2=2 973，
∵CD//AH，
∴DEAD=CECH，
即2 973AD=63，
解得：AD= 973．
故答案为 973．
16.【答案】 5+1
【解析】解：∵四边形CEFD与矩形ABCD相似，
∴FDCD=CDAD，
∴CD2=DF⋅AD，
即AF2=DF⋅AD，
∴F是AD的黄金分割点，
∴AF= 5-12AD，又AF=AB=2，
∴AD= 5+1，
故答案为： 5+1．
根据相似三角形的性质得到F是AD的黄金分割点，根据黄金比值计算即可．
本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的性质为：对应角相等；对应边的比相等是解题的关键．
17.【答案】【小题1】
∵a2=b3，∴ab=23，
∴a+bb=ab+1=23+1=53．
【小题2】
设a2=b3=c4=k，则a=2k，b=3k，c=4k．
∵a+b+c=27，∴2k+3k+4k=27，∴k=3，
∴a=6，b=9，c=12，∴a-b+c=6-9+12=9．
【解析】1. 见答案
2. 见答案
18.【答案】解：过点F作FE//BD，交AC于点E，
∴EFBC=AFAB，
∵AF：BF=1：2，
∴AFAB=13，
∴FEBC=13，
即FE=13BC，
∵BC：CD=2：1，
∴CD=12BC，
∵FE//BD，
∴FNND=FECD=13BC12BC=23．
即FN：ND=2：3．
证法二、连接CF、AD，
∵AF：BF=1：2，BC：CD=2：1，
∴BFAB=BCBD=23，
∵∠B=∠B，
∴△BCF∽△BDA，
∴FCAD=BCBD=23，∠BCF=∠BDA，
∴FC//AD，
∴△CNF∽△AND，
∴FNND=CFAD=23．
【解析】过点F作FE//BD，交AC于点E，求出FEBC=13，得出FE=13BC，根据已知推出CD=12BC，根据平行线分线段成比例定理推出FNND=EFCD，代入化简即可．
本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：平行线分的线段对应成比例，此题具有一定的代表性，但是一定比较容易出错的题目．
19.【答案】解：∵AB⊥BC，
∴∠B=90°．
∵AD//BC，
∴∠A=180°-∠B=90°，
∴∠PAD=∠PBC=90°．
AB=8，AD=3，BC=4，
设AP的长为x，则BP长为8-x．
若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况：
①若△APD∽△BPC，则AP：BP=AD：BC，即x：(8-x)=3：4，
解得x=247；
②若△APD∽△BCP，则AP：BC=AD：BP，即x：4=3：(8-x)，
解得x=2或x=6．
所以AP=247 或AP=2或AP=6．
【解析】由AD//BC，∠ABC=90°，易得∠PAD=∠PBC=90°，又由AB=8，AD=3，BC=4，设AP的长为x，则BP长为8-x，然后分别从△APD∽△BPC与△APD∽△BCP去分析，利用相似三角形的对应边成比例求解即可求得答案．
此题考查了相似三角形的性质．注意利用分类讨论思想求解是关键．
20.【答案】【小题1】
证明：∵∠A与∠B是CD所对的圆周角，∴∠A=∠B.又∵∠AED=∠BEC，∴△ADE∽△BCE．
【小题2】
∵AD2=AE⋅AC，∴AEAD=ADAC.又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACD，∴∠AED=∠ADC．∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90∘，∴∠AED=90∘，∴AC⊥BD，∴CD=BC，∴CD=CB．
【解析】1. 见答案
2. 见答案
21.【答案】(1)①证明：∵BC⊥AB，CO⊥BO，
∴∠ABC=∠BOC=90°，
∴∠BAD+∠ADB=∠COD+∠DOB=90°，
∵BA=BO，
∴∠BAD=∠DOB，
∴∠ADB=∠COD，
∵∠ADB=∠CDO，
∴∠COD=∠CDO，
∴CD=CO；
②解：过A作AM⊥OB于M，过M作MN⊥y轴于N，如图：
∵M在直线l：y=38x上，设M(m,38m)，
∴MN=|m|=-m，ON=|38m|=-38m，
而OA//MN，
∴∠AOM=∠OMN，
∴△AOM∽△OMN，
ONMN=AMMO=38，
设AM=3n，则OM=8n，
Rt△AOM中，AM2+OM2=OA2，
又A的坐标为(- 73,0)，
∴OA= 73，
∴(3n)2+(8n)2=( 73)2，
解得n=1(n=-1舍去)，
∴AM=3，OM=8，
∵∠CBO=45°，CO⊥BO，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∵BC⊥AB，∠CBO=45°，
∴∠ABM=45°，
∵AM⊥OB，
∴△ABM是等腰直角三角形，
∴AM=BM=3，BO=CO=OM-BM=5，
∴等腰直角三角形△ABM中，AB= 2AM=3 2，
等腰直角三角形△BOC中，BC= 2BO=5 2，
∴S△ABC=12AB⋅BC=15，S△BOC=12BO⋅CO=252，
∴S四边形ABOC=S△ABC+S△BOC=552；
(2)解：存在点B，使得以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，理由如下：
过A作AM⊥OB于M，
a)当点B位于线段OM上，如图：
由(1)②可知：AM=3，OM=8，
设OB=x，则BM=8-x，AB= 9+(8-x)2，
∵CO⊥BO，AM⊥BO，AB⊥BC，
∴∠AMB=∠BOC=90°，∠ABM=90°-∠OBC=∠BCO，
∴△AMB∽△BOC，
∴OCBM=OBAM，即OC8-x=x3，
∴OC=x3(8-x)，
Rt△BOC中，BC= OB2+OC2=x3 9+(8-x)2，
∵∠ABC=∠BOC=90°，
∴以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，分两种情况：
①若ABOB=BCOC，则 9+(8-x)2x=x3 9+(8-x)2x3(8-x)，
解得x=4，
∴此时OB=4；
②若ABOC=BCOB，则 9+(8-x)2x3(8-x)=x3 9+(8-x)2x，
解得x1=4+ 7，x2=4- 7，
∴此时OB=4+ 7或OB=4- 7；
b)当点B位于线段OM延长线上，如图，
设OB=x，则BM=x-8，AB= 9+(8-x)2，
与a)类似，可得OC=x3(x-8)，
Rt△BOC中，BC= OB2+OC2=x3 9+(8-x)2，
∵∠ABC=∠BOC=90°，
∴以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，分情况讨论：
③若ABOB=BCOC，则 9+(8-x)2x=x3 9+(8-x)2x3(x-8)，
此时，x无解；
④若ABOC=BCOB，则 9+(8-x)2x3(x-8)=x3 9+(8-x)2x，
解得x3=9，x4=-1(舍去)，
∴此时OB=9；
c)点B位于线段MO延长线上，如图：
设OB=x，则BM=x+8，AB= 9+(8+x)2，
类似的，可得OC=x3(x+8)，
Rt△BOC中，BC= OB2+OC2=x3 9+(8+x)2，
∵∠ABC=∠BOC=90°，
∴以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，分情况讨论：
⑤若ABOB=BCOC，则 9+(8+x)2x=x3 9+(8+x)2x3(x+8)，
此时，x无解；
⑥若ABOC=BCOB，则 9+(8+x)2x3(x+8)=x3 9+(8+x)2x，
解得x5=-9(舍去)，x6=1，
∴此时OB=1．
综上所述，以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，则OB的长度为：4或4+ 7或4- 7或9或1．
【解析】本题考查一次函数综合，涉及等腰三角形性质与判定，相似三角形性质与判定，勾股定理等知识，解题的关键是根据已知用含未知数的代数式表达相关线段的长度，(2)中要注意分情况讨论，避免漏解．
(1)①由BC⊥AB，CO⊥BO，可得∠BAD+∠ADB=∠COD+∠DOB=90°，而根据已知有∠BAD=∠DOB，故∠ADB=∠COD，从而可得∠COD=∠CDO，于是有CD=CO；
②过A作AM⊥OB于M，过M作MN⊥y轴于N，设M(m,38m)，可得△AOM∽△OMN，ONMN=AMMO=38，设AM=3n，则OM=8n，利用勾股定理求出AM=3，OM=8，由∠CBO=45°可知△BOC是等腰直角三角形，△ABM是等腰直角三角形，从而有AM=BM=3，BO=CO=OM-BM=5，AB= 2AM=3 2，BC= 2BO=5 2，即可求出S四边形ABOC=S△ABC+S△BOC=552；
(2)过A作AM⊥OB于M，
a)当点B位于线段OM上，设OB=x，则BM=8-x，AB= 9+(8-x)2，
由△AMB∽△BOC，对应边成比例可得OC=x3(8-x)，Rt△BOC中，BC=x3 9+(8-x)2，
以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，
分两种情况：
①若ABOB=BCOC，则 9+(8-x)2x=x3 9+(8-x)2x3(8-x)，可得OB=4；
②若ABOC=BCOB，则 9+(8-x)2x3(8-x)=x3 9+(8-x)2x，解得OB=4+ 7或OB=4- 7；
b)当点B位于线段OM延长线上；
c)点B位于线段MO延长线上时，可类似求解．
22.【答案】解：(1)存在“加倍”矩形，则“加倍”矩形的周长为(3+2)×2×2=20．
设“加倍”矩形的一边长为x，则它的另一边长为(10-x)．
由题意，得x(10-x)=3×2×2，解得x1=5+ 13，x2=5- 13．
所以10-x1=5- 13，10-x2=5+ 13．
故存在“加倍”矩形，且“加倍”矩形的长为5+ 13，宽为5- 13．
(2)不存在．
理由如下：
因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为2时，则它们的面积比必定是4．
所以不存在“加倍”正方形．
【解析】本题考查了新定义问题，解题的关键是理解新定义，根据题意并找到等量关系，难度不大．
(1)根据给出的两边长得到周长，然后设出其中一边，表示出另一边，根据题意列出方程求解，若能求得答案即存在，否则就不存在；
(2)根据所有的正方形的面积比和周长比的关系可做出判断．
23.【答案】证明；∵∠GEA=∠EAF=∠GFA=90°，
∴四边形EAFG为矩形．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AC平分∠DAB．
又∵GE⊥AD，GF⊥AB，
∴GE=GF．
∴四边形EAFG为正方形．
∴四边形AFGE与四边形ABCD相似．
【解析】由正方形的性质可知；AC平分∠DAB，然后由角平分线的性质可知GE=GF，从而可证明四边形EGFA为正方形，故此四边形AFGE与四边形ABCD相似．
本题主要考查的是相似多边形的判定、正方形的判定、角平分线的性质，证得四边形EAFG为正方形是解题的关键．
24.【答案】解：(1)①将△AOB绕点O顺时针旋转90°得△A1OB1如图所示；
②以O为位似中心，在第一象限内把△A1OB1按相似比2∶1放大得△A2OB2如图所示；
(2)①如图，由旋转的性质可得△AOA3∽△BOB3，
∴AA3BB3=OAOB=12，
即AA3=12BB3．
②如图，
由旋转的性质可知在整个旋转过程中，始终都有AA3⊥BB3，
即∠AMB始终保持为90∘．
∴点M在以AB为直径的圆上．
易得以AB为直径的圆的圆心N的坐标为(-12,1)，
且⊙N的半径为12AB= 52，
∴当点M满足MN//x轴，且点M在点N的右侧时，其横坐标取得最大值，为 5-12．
【解析】本题主要考查了坐标与图形的性质，旋转作图，位似作图及旋转的性质，相似三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
(1)①根据旋转作图的步骤作出各对应点，再进行连接即可；
按照位似作图的步骤作出各对应点，再进行连接即可；
(2)①根据性质的性质可知在旋转的过程中△AOA3∽△BOB3，则根据相似三角形的性质可得出AA3与BB3之间存在的数量关系；
②根据旋转的性质知AA3⊥BB3，由此可得∠AMB始终保持为90∘，所以点M总是在以AB为直径的圆上，且圆心的坐标为(-12,1)，则当MN//x轴时可得M的横坐标的最大值．
25.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；
(2)如图，△A2B2C2即为所求．
(3)OB= 32+22= 13，
点B所经过的路径长为：90×π× 13180= 13π2．
【解析】(1)把点A、B、C的横纵坐标都乘以2得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
(2)利用网格特点和旋转的性质画出点A、B，C的对应点A2、B2、C2即可得到△A 2 B 2C2；
(3)利用弧长公式求解即可．
本题考查了作图-位似变换以及旋转变换，正确掌握图形变换的性质是解题关键．
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