湖北省孝感市部分学校2023-2024学年高一上学期9月月考数学试题

2023年湖北省高一9月月考—高一数学试卷

命制单位：新高考试题研究中心 命题人：张德政

考试时间：2023年9月26日上午8：00-10：00     试卷满分：150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．下列各组对象不能构成集合的是（    ）

A．参加杭州亚运会的全体电竞选手 B．小于的正整数

C．2023年高考数学难题  D．所有无理数

2．下列关系中，（1）；（2）；（3）；（4）；（5），正确的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

3．已知全集，则（    ）

A． B． C． D．

4．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．设，给出下列四个结论：（1）；（2）；（3）；（4）．其中正确的结论的序号为（    ）

A．（1）（2） B．（1）（3）（4） C．（2）（3）（4） D．（1）（2）（3）

6．定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数．已知集合，，则的真子集个数为（    ）

A．7 B．15 C．31 D．63

7．集合，，之间的关系是（    ）

A． B． C． D．

8．关于的不等式，的解集中恰有2个整数，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．

9．下列说法中正确的有（    ）
A．命题，则命题的否定是

B．“”是“”的必要条件

C．命题“”的是真命题

D．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件．

10．若，且，则下列不等式恒成立的（    ）

A． B． C． D．

11．已知关于的不等式的解集是，则（    ）

A． B． C． D．

12．已知为正实数，且，则（    ）

A．的最小值为8  B．的最小值为

C．的最大值为8  D．的最小值为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知集合，且，则的值为_________．

14．已知，则的取值范围是_________．

15．一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站处建仓库，则和分别为4万元和9万元，为了能使两项费用之和最小，这家公司应该把仓库建在距离车站_________千米处．

16．若命题：“任意实数使得不等式成立”为假命题，则实数的范围是_________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）设集合，求：

（1）；

（2）；

（3）

18．（12分）在（1），（2）这二个条件中任选一个，补充在下列横线中，求解下列问题．设集合_________，集合．

（1）若集合的子集有2个，求实数的值；

（2）若，求实数的取值范围．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分．

19．（12分）设，解关于的不等式：

20．（12分）为了丰富学生的课余生活、给学生更好的校园生活体验，某高中决定扩大学校规模，为学生打造一所花园式的校园．学校决定在原有的矩形花园的基础上，拓展建成一个更大的矩形花园．为了方便施工，建造时要求点在上，点在上，且对角线过点，如图所示．

已知．设（单位：），矩形的面积为．

（1）写出关于的表达式，并求出为多少米时，有最小值；

（2）要使矩形的面积大于，则的长应在什么范围内？

21．（12分）已知集合，，．

（1）若命题“，都有”为真命题，求实数的取值集合；

（2）若，且“”是“”的必要条件，求实数的取值集合．

22．（12分）已知函数

（1）若恒成立，求的取值范围．

（2）已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围．

2023年湖北省高一9月月考

参考答案

13．0  14．  15．  16．

1．C  选项具有不确定性

3．，所以①正确；，所以②正确；，所以③错误；Z指的整数，包括负整数、0、正整数，所以④错误；，所以⑤正确

3．，所以

4．可得，不能得到，反之同理，所以既不充分也不必要

5．因为，所以，所以①对；不妨取，则，所以②错；因为，则，所以，所以③对；因为，则，故，即，所以④正确．

6．，所以8是自恋数；，所以23不是自恋数；因为，所以81不是自恋数；因为，所以153是自恋数；，所以254不是自恋数；因为，所以370是自恋数；所以集合，所以真子集个数：个

7．∵，，，

∴，，，故，

8．可得；若，则不等式无解；若，则不等式的解集为，此时要使不等式解集中恰有2个整数，则这两个整数为2、3，则；若，则不等式的解集为，此时要使不等式解集中恰有2个整数，则这两个整数为；所以；综上或

9．命题的否定是，A正确；不能推出，例如，但；也不能推出，例如，而；所以“”是“”的既不充分也不必要条件，B错误；当时，，所以C错误；关于x的方程有一正一负根，所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，故D选项正确．

10．因为，且，则，当且仅当时，等号成立，所以，，A对；，当且仅当时，等号成立，B对；，当且仅当时，等号成立，C错；因为，则，故，当且仅当时，等号成立，D对．

11．的解集是，所以，且和4是方程等于0的两个解．所以对称轴，则，则，即，所以A，C对，B错；当时由图像可知为正数，所以D错

12．由得，所以

，当且仅当，即时取等号，此时取得最小值8，A对；，

当且仅当时取等号，此时取得最小值，B错；因为，当且仅当时取等号，解不等式得，即，故的最大值为8，C对；

当且仅当即时取等号，此时取得最小值，D正确；

13．因为，所以，解得或，又集合的元素具有互异性，所以

14．．设

又

15．，则

，则

当且仅当，取“=”，此时

16．因为存在实数使得不等式成立，

所以不等式的解集非空，

①当时，，得，符合题意，

②当时，不等式的解集非空，符合题意，

③当时，因为不等式的解集非空，

所以，即，解得或，

所以或，

综上或，

即实数的取值范围是

17．（1）由集合并集的定义可知，

（2）由集合补集的定义可知，

所以

（3）由（2）可知，又

∴

18．（1）集合的子集有2个，集合元素个数为1

，即解得：

（2）选①：集合

对集合B讨论：

当时，即时，，满足条件；

当时，即，此时，满足条件；

当时，要满足条件，必有，

由根与系数的关系有：，此方程组无解，不满足条件舍去．

综上所述，实数的取值范围是

选②：集合，

对集合B讨论：

当时，即时，，满足条件；

当时，即，此时，满足条件；

当时，要满足条件，必有，

由根与系数的关系有：，此方程组无解，不满足条件舍去

综上所述，实数的取值范围是

19．

（1）当时，原不等式为：

（2）当时，则或

①当时，或

②当时，

③当时，

④当时，

综上：当时，；当或；当；当；当

20．解：（1），，

．

由基本不等式得：

当且仅当时，取“=”

当时，

（2）由（1）得，即

∴，

∴或

的范围在

21．由题意，

（1）时，满足题意

时，，

则，都有，

的取值集合是；

（2）“”是“”的必要条件，．

若，即时，或均不合题意，

又，因此，又，

因此不妨设，则．

的取值集合是．

解：（1）由题意得，对于恒成立

即在恒成立．

①当时，，恒成立．

②当时，此时

则．在恒成．

∴在上的最小值

，当且仅当，即的时候取等

．

（2）当时，

当时，

则值域为

，总存在，使

的值域为值域的子集．

①当时，

则

②当时，

则

③当时，，不符合题意

综上，或．