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新高考数学二轮复习易错题专练易错点03 指数函数与对数函数及函数与方程(含解析)
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易错点03 指数函数与对数函数及函数与方程易错题【01】研究对数型函数忽略定义域研究函数的性质,或求解与有关的函数与方程及不等式问题,不少同学常因忽略的隐含条件出现错误。易错题【02】不会利用中间量比较大小在比较数与式的大小时常利用指数函数、幂函数及对数函数单调性比较大小,若比较指数式与对数式的大小,或同是指数式(对数式)但底数不相同,这些情况下常利用中间量比较大小,常用的中间量是,有时也可借助等中间量来比较大小.易错题【03】不会构造函数比较大小比较两个式子的大小,若两个式子结构比较复杂,但结构类似,这种情况下常式子的结构构造函数,然后利用函数单调性比较大小。易错题【04】确定函数零点所在区间,或零点个数或已知函数零点情况求参数满足条件,常通过数形结合转化为两个函数图象的交点个数问题,故提醒同学们研究函数与方程问题不要得“意”忘“形”。 01若在上是减函数,则的取值范围是 【警示】本题出错的主要原因是忽略定义域,不会由得出.【答案】【问诊】因为由,所以,此时在上是减函数,由复合函数单调性得,由,解得,所以的取值范围是。【叮嘱】研究对数型函数的性质,一定不要忽略真数大于零的限制。1. 函数在单调递增,求a的取值范围( )A. B. C. D.【答案】C【解析】令,二次函数抛物线的对称轴方程为,由复合函数的单调性可知,.又在上恒成立,所以,即,所以,解可得,.故选C2.(2021湖北武汉市第一中学高三月考)函数在区间上单调递增,则实数的取值范围为( ).A. B.C. D.【答案】C【解析】设,可得,则是减函数,要使得函数为上的增函数,只需为减函数,且满足对于恒成立,所以,解得:,所以实数的取值范围为,故选C. 02(2019全国Ⅰ卷理T3)已知,则( )A. B. C. D.【警示】比较指数式与对数式的大小要重视利用中间量比较大小。【答案】A【问诊】由题意,可知,,,所以最大,,都小于1,因为,,而,所以,即,所以,故选A.【叮嘱】比较数与式的大小,当不能直接利用函数单调性时,要注意使用中间量。1.(2021新高考2卷T7)已知,,,则下列判断正确的是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】,即.故选C.2.(2020全国Ⅲ文T10)设,则 ()A. B. C. D.【答案】A【解析】因为,,所以,故选A. 03(2021全国卷乙卷理T12)设,,,则 A. B. C. D.【警示】不会观察式子的结构通过构造函数求解。【答案】B【问诊】解法一:,,,令,,令,则,,,在上单调递增,(1),,,同理令,再令,则,,,在上单调递减,(1),,,.故选:.解法二:由,则排除AD,结合选项BC,只需判断a,c的大小,故设,∴,又∵∴,∴,∴在上单增,∴,∴,∴,故选B【叮嘱】比较几个复杂式子的大小,常通过构造函数,利用函数性质求解。1.(2020全国Ⅰ理T12)若,则 ()A. B. C. D.【答案】B【解析】设,则为增函数,∵,∴,∴,∴.∴,当时,,此时,有;当时,,此时,有,∴C、D错误,故选B.2.(2020全国Ⅱ理T11)若,则 ()A. B. C. D.【答案】A【解析】由得:,令,为上的增函数,为上的减函数,为上的增函数,,,,,则A正确,B错误;与的大小不确定,故CD无法确定,故选A. 04(2018全国卷Ⅰ)已知函数.若存在2个零点,则的取值范围是A. B. C. D.【警示】不会利用图象求解,导致解题失败.【答案】C【问诊】函数存在 2个零点,即关于的方程有2 个不同的实根,即函数的图象与直线有2个交点,作出直线与函数的图象,如图所示,由图可知,,解得,故选C.【叮嘱】求解与零点个数有关问题,常利用函数图象的直观性求解。1.(2021河南大学附属中学高三月考)定义在R上的奇函数,当时,,则关于x的函数的所有零点之和为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】当时,,由于函数为奇函数,所以作出函数图象如图所示,由图象可知,即有5个零点,其中有2个关于直线对称,还有2个关于直线对称,所以4个零点的和为零,第5个零点是直线与函数交点的横坐标,即方程的解,解得,故选C2.(2021天津市第四十七中学高三月考)已知函数,(其中e是自然对数的底数),若关于x的方程恰有三个不等实根,且,则的最大值为___________.【答案】【解析】由题意设,根据方程恰有三个不等实根,即必有两个不相等的实根,不妨设,则,方程或有三个不等实根,且,作出图象如图所示:那么,可得,,所以,构造新函数,则,所以在上单调递增,在上单调递减,所以,所以的最大值为. 错1.(2021江苏省泰兴中学高三期中)已知a=,,则a,b,c的大小关系为( )A.a<b<c B.b<a<c C.c<a<b D.c<b<a【答案】B【解析】因为在上为增函数,且,所以,得,即,因为在上为增函数,且,所以,得,即,因为在上为减函数,,所以,得,即,因为,故选B.2.(2021山东烟台高三期中)设,,,则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】,,,所以,故选D.3.(2020江西省信丰中学高三月考)若函数在区间内单调递增,则实数的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】解不等式,即,解得,内层函数在区间上单调递增,在区间上单调递减,而外层函数在定义域上为减函数,由复合函数法可知,函数的单调递增区间为,由于函数在区间上单调递增,所以,,解得.因此,实数的取值范围是.故选C.4.(2021河南高三月考)设,,,则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】,∵,∴,设,则,则在区间上,,为增函数,在区间上,,为减函数,∴,即,∴,又∵,∴,∴,∴.故选D.5.(2021黑龙江高三期中)已知,,,则( )A. B.C. D.【答案】D【解析】令,则,在上单调递增,,即,,,即;令,则,当时,;当时,;在上单调递增,在上单调递减,,(当且仅当时取等号),,即(当且仅当时取等号),,即;综上所述:.故选D.6.(2021四川攀枝花高三月考)定义在上的函数满足,且,给出如下四个结论:①的值域为;②当时,;③图象的对称轴为直线;④方程恰有个实数解,其中正确的结论个数是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由可得,所以是周期为的函数,作出函数的图象如图所示:由图知:或时,,当时,,根据周期性可得的值域为,故①正确;,当时,,,因为是周期为的函数,所以,故②正确;由图象以及周期性可知:、为函数的对称轴,所以图象的对称轴为直线,故③不正确;方程恰有个实数解,可得与图象有个交点,当时,,而,所以当时,方程无实根,当时,由图知与图象有个交点,所以与图象有个交点,即方程恰有个实数解,当时,,此时与图象没有交点,故④不正确;所以①②正确,正确的有个,故选B.7.(2021吉林·高三月考)已知函数,,若关于的方程恰有个不同实数根,则实数的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】设,可得,因为最多有两个实根,若恰有个不同实数根,则恰有三个实根,作出的图象,如图由或可得:或或,且,由即,,由可得,由即,,由可得,由即,,由恒成立,综上所述:,实数的取值范围为,故选A.8.(多选题)已知函数,,则下列说法正确的是( )A.若函数的定义域为,则实数的取值范围是B.若函数的值域为,则实数C.若函数在区间上为增函数,则实数的取值范围是D.若,则不等式的解集为【答案】AC【解析】对于A,由题意知对恒成立,由于当时,不等式不恒成立,所以.当时,由解得,所以A正确;对于B,若函数的值域为,则,显然不为0,则函数的最小值为4,则当时,,解得,所以B错误;对于C,若函数在区间上为增函数,则在上为增函数,且在内的函数值为正,所以解得,所以C正确;对于D,若,则不等式等价于,则,解得,所以D不正确.故选AC.9.(多选题)(2021重庆九龙坡高三期中)已知函数,方程有两个不等实根,则下列选项正确的是( )A.点是函数的零点B.,,使C.是的极大值点D.的取值范围是【答案】BC【解析】当时,,则,当时,,单调递增,当时,,单调递减,且;当时,,则,当时,,单调递减,当时,,单调递增,且,且恒成立,画出函数图象如下:对A,由函数图象可得0是函数的零点,故A错误;对B,由图可得,故,,使,故B正确;对C,由图可得是的极大值点,故C正确;对D,方程等价于或,由图可得有1个实数根,所以方程有两个不等实根等价于有1个非零实根,则由图可得或,故D错误.故选BC.10.(2021天津静海一中高三月考)已知,若的图象与轴有3个不同的交点,则实数的取值范围为______.【答案】【解析】由题设,上,故值域为且单调递增;上,故值域为且单调递减;∴在上值域为且单调递减;在上值域为且单调递增;要使与轴有3个不同的交点,即与有3个不同交点,它们的图象如下:∴由图知:要使函数图象有3个交点,则与在上至少有2个交点,由,,则,此时,若与相切时,切点为,∴,可得,当过时,有,得,∴.
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