新高考数学二轮复习易错题专练易错点11 直线与圆（含解析）

这是一份新高考数学二轮复习易错题专练易错点11 直线与圆（含解析），共12页。
易错点11 直线与圆易错题【01】写直线的截距式方程忽略截距为零的情况直线的截距式方程为，其中分别为该直线在x轴、y轴上的截距，用截距式方程表示直线，首先保证直线在x轴、y轴上的截距都存在，且不为零，当截距不存在，或截距为零，不能使用截距方程表示直线。易错题【02】利用斜率判断直线的垂直忽略斜率不存在的情况若直线的斜率分别为，则，另外还要注意当一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零，这两条直线也垂直，因此用斜率判断直线的垂直，不要忽略斜率不存在的情况，此外为了避免讨论直线的斜率是否存在，可利用直线的方向向量，若 分别为直线的方向向量，则。易错题【03】忽视方程表示圆的条件致误圆的标准方程为，圆的一般方程为，在用圆的一般方程解题时要注意这一条件。易错题【04】忽略三角形三顶点不共线致误求解与△ABC与直线与圆的交汇问题，要注意三点不共线。 01直线l过点,且在两坐标轴上的截距相等,则直线l的方程为      【警示】本题错误解法是：因为直线l过点,且在两坐标轴上的截距相等,设直线l的方程为,则,所以,故直线l的方程为,即.【答案】或【问诊】错误原因是忽略直线l过原点,截距为零的情况.正确解法为：若直线l过原点,满足题意,此时直线l的方程为；若直线l不过原点,设直线l的方程为,则,所以,故直线l的方程为,即.所以直线l的方程为或.【叮嘱】直线l的方程可以表示为的条件是直线l在两坐标轴上的截距存在且不为零.  1.过点，且横、纵截距的绝对值相等的直线共有(    )A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】C【解析】当直线经过原点时，横、纵截距都为0，符合题意，当直线不经过原点时，设直线方程为.由题意得解得或综上，符合题意的直线共有3条.故选C．2. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为(    )A． B．C．或 D．或【答案】D【解析】当直线过原点时，满足题意，方程为，即2x－y＝0；当直线不过原点时，设方程为，∵直线过(1，2)，∴，∴，∴方程为，故选D﹒  02a为何值时,(1)直线l1：x＋2ay－1＝0与直线l2：(3a－1)x－ay－1＝0平行？(2)直线l3：2x＋ay＝2与直线l4：ax＋2y＝1垂直？【警示】本题错误解法是：(1)直线x＋2ay－1＝0与直线(3a－1)x－ay－1＝0的方程可变形为y＝－x＋与y＝x－,∴当－＝且≠－,即a＝时,两直线平行．(2)当－＝－1时,两直线垂直,此方程无解,故无论a为何值时,两直线都不垂直．【问诊】(1)没考虑斜率不存在即a＝0的情况；(2)没有考虑l3的斜率不存在且l4的斜率为0也符合要求这种情况．【答案】(1)①当a＝0时,两直线的斜率不存在,直线l1：x－1＝0,直线l2：x＋1＝0,此时,l1∥l2.②当a≠0时,l1：y＝－x＋,l2：y＝x－,直线l1的斜率为k1＝－,直线l2的斜率为k2＝,要使两直线平行,必须解得a＝.综合①②可得当a＝0或a＝时,两直线平行．(2)方法一　①当a＝0时,直线l3的斜率不存在,直线l3：x－1＝0,直线l4：y－＝0,此时,l3⊥l4.②当a≠0时,直线l3：y＝－x＋与直线l4：y＝－x＋,直线l3的斜率为k3＝－,直线l4的斜率为k4＝－,要使两直线垂直,必须k3·k4＝－1,即－·＝－1,不存在实数a使得方程成立．综合①②可得当a＝0时,两直线垂直．方法二　要使直线l3：2x＋ay＝2和直线l4：ax＋2y＝1垂直,根据两直线垂直的充要条件,必须A1A2＋B1B2＝0,即2a＋2a＝0,解得a＝0,所以,当a＝0时,两直线垂直．【叮嘱】求直线方程,特别是研究含参数的直线方程问题时,一定要对直线斜率的存在性进行讨论,这是避免出错的重要方法．1．已知直线与直线垂直，则实数a的值为(    )A． B． C．或 D．不存在【答案】C【解析】当时，直线，直线，两直线垂直，符合题意；当时，由两直线垂直可得，解得或1(舍去)，综上所述，或.故选C2. (2022届“四省八校”高三上学期期中)直线和直线垂直，则实数的值为(    )A．或 B．C． D．【答案】A【解析】因为直线和直线垂直，所以，或．故选A.  03已知圆C的方程为x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0,过点A(1,2)作圆的切线有两条,求a的取值范围．【警示】本题错误解法是：将圆C的方程配方有(x＋)2＋(y＋1)2＝.∴圆心C的坐标为(－,－1),半径r＝.当点A在圆外时,过点A可以作圆的两条切线,∴|AC|>r,即  >,化简得a2＋a＋9>0,Δ＝1－4×9＝－35<0,∴a∈R.【问诊】错解中只考虑了点A在圆C外部,而忽视了圆C的方程是圆的一般式方程,x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0表示圆的条件没有考虑．【答案】将圆C的方程配方有(x＋)2＋(y＋1)2＝,∴>0,①∴圆心C的坐标为(－,－1),半径r＝.当点A在圆外时,过点A可作圆的两条切线,∴|AC|>r,即  >,化简得a2＋a＋9>0.②由①②得－<a<,∴a的取值范围是－<a<.【叮嘱】二元二次方程表示圆是有条件的,必须有D2＋E2－4F>0.本题的失分原因是忽视了这个条件．在解决此类问题时,可以直接判断D2＋E2－4F>0,也可以配方后,判断方程右侧大于0,因为右侧相当于r2.对于曲线方程中含有参数的,都要考虑参数的条件．1．若点在圆的外部，则实数的取值范围是(    )A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意得，解得，故选C． 2. 经过点可做圆的两条切线，则的范围是(    )A． B．C． D．【答案】B【解析】圆，即为，或；由题意知点A在圆外，，解得． 所以或.故选B  04已知Rt△ABC的斜边为AB,点A(－2,0),B(4,0),求点C满足的方程．【警示】本题错误解法是：设C(x,y),由于直角三角形斜边上的中线长是斜边长的一半,如图,这样直角三角形斜边上的中点为M(1,0),则半径为,即得所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝9.【问诊】因为忽视结论的检验,没有注意到点C是直角三角形的顶点,即C点不能在直线AB上,因此造成错解．【答案】设C(x,y),由于直角三角形斜边上的中点为M(1,0),如图所示,则半径为,即得圆的方程为(x－1)2＋y2＝9.但是顶点C不能在直线AB上,因此y≠0,也就是要除去两个点,即(－2,0),(4,0),因此C点满足的方程为(x－1)2＋y2＝9(y≠0)．【叮嘱】要注意一些轨迹问题中包含的某些隐含条件,也就是曲线上点的坐标的取值范围.1．在△ABC中，B(－2，0)，C(2，0)，A(x，y)，给出△ABC满足的条件，就能得到动点A的轨迹方程.下表给出了一些条件及方程：条件方程①△ABC周长为10C1：y2＝25②△ABC面积为10C2：x2＋y2＝4(y≠0)③△ABC中，∠A＝90°C3：＝1(y≠0)则满足条件①，②，③的轨迹方程依次为(    )A．C3，C1，C2 B．C1，C2，C3C．C3，C2，C1 D．C1，C3，C2【答案】A【解析】对于①，△ABC的周长为10，则，又，所以，此时动点A的轨迹为椭圆(不与A、B重合)，与C3对应；对于②，△ABC的面积为10，所以，即，与C1对应；对于③，因为，所以点A在以为直径的圆上(不与A、B重合)，与C2对应.故选A.2. 已知一个等腰三角形ABC的一个顶点是A(4,2)，底边的一个端点B(3,5)，底边另一个端点C的轨迹方程是___________.【答案】(去掉(3,5)，(5,-1)两点)【解析】由题意知：设另一个端点，腰长为，∴C的轨迹方程：，又由A、B、C构成三角形，即三点不可共线，∴需要去掉重合点(3,5)，反向共线点(5,-1)，故答案为：(去掉(3,5)，(5,-1)两点)错1．(2022届重庆市第一中学高三上学期期中)过点作直线l，满足在两坐标轴上截距相等的直线l有(    )条．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】若截距都为零，则直线过，则直线方程为；若截距都不为零，则设直线方程为，则，解得，所以直线方程为：，故满足在两坐标轴上截距相等的直线l有条；故选B2．若方程表示圆，则实数m的取值范围为(    )A． B． C． D．【答案】D【解析】由方程表示圆，则，解得.所以实数m的取值范围为.故选D3．下列四个选项中正确的是(    )A．关于的方程()的曲线是圆B．设复数是两个不同的复数，实数，则关于复数的方程的所有解在复平面上所对应的点的轨迹是椭圆C．设为两个不同的定点，为非零常数，若，则动点的轨迹为双曲线的一支D．双曲线与椭圆有相同的焦点【答案】D【解析】A. 当时，方程()表示的曲线是圆，故错误；B. 设复数所对应的点A，B，复数所对应的点C，方程表示点C到点AB的距离和为2a，当时，轨迹是椭圆，故错误；C.设为两个不同的定点，为非零常数，若，当时，动点的轨迹为双曲线的一支，故错误；D.因为双曲线，所以，所以其焦点坐标为和，椭圆，，所以其焦点坐标为和，故正确；故选D4．已知点在圆的外部(不含边界)，则实数的取值范围为(    )A． B． C． D．【答案】B【解析】圆，即，圆心，半径，因为点在圆的外部，所以点到圆心的距离大于半径，即，解得，故选B.5．下列命题正确的是(    )A．已知点，，若直线与线段有交点，则或B．是直线：与直线：垂直的充分不必要条件C．经过点且在轴和轴上的截距都相等的直线的方程为D．已知直线，：，，和两点，，如果与交于点，则的最大值是.【答案】ABD【解析】对于A，∵直线过定点，又点，，∴，如图可知若直线与线段有交点，则或，故A正确；对于B，由直线：与直线：垂直得，，解得或，故是直线：与直线：垂直的充分不必要条件，故B正确；对于C，当直线过原点时，直线为，当直线不过原点时，可设直线为，代入点，得，所以直线方程为，故经过点且在轴和轴上的截距都相等的直线的方程为或，故C错误；对于D，∵直线，：，又，所以两直线垂直，∴，∴，当且仅当时取等号，故D正确.故选ABD6．下列说法错误的是(    )A．若直线与直线互相垂直，则B．直线的倾斜角的取值范围是C．四点不在同一个圆上D．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为【答案】ACD【解析】当时，直线与直线也互相垂直，所以选项A不正确；直线的倾斜角，可得，，所以的取值范围是；所以B正确；由题得, ，所以,所以四点在同一个圆上，所以选项C不正确；经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为，或，所以D不正确；故选ACD7．(2021届安徽省马鞍山市高三上学期月考)阿波罗尼斯是古希腊数学家，他与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期的“数学三巨匠”，以他名字命名的阿波罗尼斯圆是指平面内到两定点距离之比为定值()的动点的轨迹.已知在中，角的对边分别为，则面积的最大值为__________．【答案】【解析】依题意，，得，即，以边所在的直线为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系，则，设，由，则的轨迹为阿波罗尼斯圆，其方程为，边高的最大值为，∴.8．过点作圆的切线有两条，则的取值范围是________【答案】【解析】表示一个圆，，又由过点作圆的切线有两条，得：P在圆外，所以，解得：或.综上所述：.所以的取值范围是.