新高考数学二轮复习易错题专练易错点13 排列组合与二项式定理（含解析）

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易错点13 排列组合与二项式定理
易错题【01】求解“至少”问题计数重复
排列组合中有一类“至少”问题,若使用分步计数很容易出现计数重复,如从1,2,3,4中任取2个数字,至少有1个偶数,问有多少种不同取法,若先取1个偶数,再从另外3个 数中任取1个,计数会重复,这是因为先2后4或先4后2的结果是一样的,求解此类问题,一般是分类求解,如该问题可分2类：仅有1个偶数及有2个偶数.
易错题【02】利用分步乘法原理计数,分步标准错误
仔细区分是“分类”还是“分步”是运用两个原理的关键.两个原理的区别在于一个与分类有关,一个与分步有关.如果完成一件事有n类办法,这n类办法彼此之间是相互独立的,无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事,求完成这件事的方法种数,就用分类加法计数原理；如果完成一件事需要分成n个步骤,缺一不可,即需要依次完成n个步骤,才能完成这件事,而完成每一个步骤各有若干种不同的方法,求完成这件事的方法种数,就用分步乘法计数原理.
易错题【03】分组问题混淆“均分”与“非均分”
平均分配给不同人的分法等于平均分堆的分法乘以堆数的全排列.分堆到位相当于分堆后各堆再全排列,平均分堆不到指定位置,其分法数为：.对于分堆与分配问题应注意：①处理分配问题要注意先分堆再分配.②被分配的元素是不同的(像“名额”等则是相同元素,不适用),位置也应是不同的(如不同的“盒子”).③分堆时要注意是否均匀.如6分成(2,2,2)为均匀分组,分成(1,2,3)为非均匀分组,分成(4,1,1)为部分均匀分组.
易错题【04】计数时混淆有序与定序
有序是指元素排列有顺序的区别,元素相同,位置不同是不同的结果,定序是指不同元素的相对位置固定,不同元素的定序排列可看作组合问题,此外对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一同进行排列,然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数.
易错题【05】混淆二项式系数与系数
要注意二项展开式中二项式系数与某一项系数的区别. (a＋b)n的展开式中第r+1项的系数是,其值只与有关,与无个,系数是该项中的常数,在(a＋b)n的展开式中,系数最大的项是中间项；但当a,b的系数不是1时,系数最大的项的位置就不一定在中间,需要利用通项公式,根据系数的增减性具体讨论而定.

01
(2021年高考全国乙卷理科)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球
和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,
则不同的分配方案共有 (　　)
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
【警示】本题出错的主要原因是重复计数：先让其中4名志愿者各分一个项目,结果有中,最后一名志愿者再任选一个项目,所有不同的分配方案共有480种,故选D.
【答案】C
【问诊】根据题意,有一个项目中分配2名志愿者,其余各项目中分配1名志愿者,可以先从5名志愿者中任选2人,组成一个小组,有种选法；然后连同其余三人,看成四个元素,四个项目看成四个不同的位置,四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种,根据乘法原理,完成这件事,共有种不同的分配方案,故选C．
【叮嘱】求解至少问题,一般是先分组,后排列.

1. (2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每
项工作由1人完成,则不同的安排方式共有 (　　)
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
【答案】D
【解析】解法一：分组分配之分人
首先分组将三人分成两组,一组为三个人,有种可能,另外一组从三人在选调一人,有种可能；其次排序两组前后在排序,在对位找工作即可,有种可能；共计有36种可能．
解法二：分组分配之分工作
工作分成三份有种可能,在把三组工作分给3个人有可能,共计有36种可能．
解法三：分组分配之人与工作互动
先让先个人个完成一项工作,有种可能,剩下的一项工作在有3人中一人完成有
种可能,但由两项工作人数相同,所以要除以,共计有36种可能．
解法四：占位法
其中必有一个完成两项工作,选出此人,让其先占位,即有中可能；剩下的两项工作
由剩下的两个人去完成,即有种可能,按分步计数原理求得结果为36种可能．
解法五：隔板法和环桌排列
首先让其环桌排列,在插两个隔板,有种可能,在分配给3人工作有种可能,按分
步计数原理求得结果为36种可能．
2. (2018年高考数学课标卷Ⅰ(理))从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少
有1位女生入选,则不同的选法共有种．.(用数字填写答案)
【答案】16
【解析】方法一：直接法,1女2男,有,2女1男,有
根据分类计数原理可得,共有12+4=16种,
方法二,间接法：种．
02
把3个不同的小球投入到4个盒子,所有可能的投法共有(　　)
A．24种B．4种C．43种D．34种
【警示】本题错误解法是：因为每个盒子有三种投入方法,共4个盒子,所以共有3×3×3×3＝34(种)投法．
【问诊】错误原因是没有考虑每个球只能投入一个盒子中,导致错误
【答案】第1个球投入盒子中有4种投法；第2个球投入盒子中也有4种投法；第3个球投入盒子中也有4种投法．只要把这3个球投完,就做完了这件事情,由分步乘法计数原理可得共有43种方法,故选C.
【叮嘱】利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的,并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的,只有各个步骤都完成了,才算完成这件事．分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立,互不干扰；二是步与步确保连续,逐步完成．

1．已知某教学大楼共有四层,每层都有东、西两个楼梯,则从一层到四层不同的走法种数为( )
A．32 B．23
C．43 D．24
【答案】B
【解析】根据题意,教学大楼共有四层,每层都有东、西两个楼梯,则从一层到二层,有2种走法,同理从二层到三层、从三层到四层也各有2种走法,
则从一层到四层共有2×2×2＝23种走法．故选B.
2.在生物学研究过程中,常用高倍显微镜观察生物体细胞．已知某研究小组利用高倍显微镜观察某叶片的组织细胞,获得显微镜下局部的叶片细胞图片,如图所示,为了方便研究,现在利用甲、乙等四种不同的试剂对、、、、、这六个细胞进行染色,其中相邻的细胞不能用同种试剂染色,且甲试剂不能对细胞染色,则共有______种不同的染色方法(用数字作答)．

【答案】
【解析】不考虑甲试剂不能对细胞染色,则细胞的染色试剂有种选择.
①若、细胞的染色试剂相同,有种选择,、细胞可以用剩余种试剂进行染色,有种方法,则细胞的染色试剂有种选择,
此时,共有种不同的染色方法；
②若、细胞的染色试剂不同,有种不同的染色方法,细胞的染色方法只有种,
若、细胞的染色试剂不同,则细胞的染色试剂只有种,细胞的染色试剂只有种；
若、细胞的染色试剂相同,则细胞的染色试剂有种.
此时,共有种不同的染色方法；
综上所述,不考虑甲试剂不能对细胞染色,染色方法种数为种；
现在考虑用甲试剂对细胞染色,则细胞的染色试剂有种选择.
①若、细胞的染色试剂相同,则、细胞可以用剩余种试剂进行染色,有种方法,细胞的染色试剂有种,
此时,共有种不同的染色方法；
②若、细胞的染色试剂不同,则细胞的染色试剂有种选择,细胞的染色试剂只有种.
若、细胞的染色试剂不同,则细胞的染色试剂只有种,细胞的染色试剂只有种,
若、细胞的染色试剂相同,则细胞的染色试剂有种.
此时,共有种不同的染色方法.
综上所述,当用甲试剂对细胞染色时,染色方法种数为种.
因此,符合条件的染色方法种数为种.
03
某校高二年级共有六个班,现从外地转入名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排名,则不同的安排方案种数为()
A． B． C． D．
【警示】本题若混淆均分与非均分,会误选A
【问诊】因为是均分,要除以.
【答案】先将4名学生均分成两组方法数为,再分配给6个年级中的2个分配方法数为,根据分步计数原理合要求的安排方法数为．故选B．
【叮嘱】要注意均分与非均分的区别.

1．(2022届江苏省南京市高三上学期期中)集合,,以为定义域,为值域的函数的个数为( )
A．60 B．150 C．540 D．
【答案】B
【解析】由题意可知求以为定义域,为值域的函数的个数相当于把5个不同的球放入3个不同的盒子中,且盒子不能空的放法,先将5个不同的球分成3组,不同的分法有种,然后每个盒子中放一组即可,所以共有种,所以以为定义域,为值域的函数的个数为150,
故选B
2．(多选题)(2022届重庆市实验中学高三上学期开学考试)有本不同的书,按下列方式进行分配,其中分配种数正确的是( )
A．分给甲､乙､丙三人,每人各本,有种分法；
B．分给甲､乙､丙三人中,一人本,另两人各本,有种分法；
C．分给甲乙每人各本,分给丙丁每人各本,有种分法；
D．分给甲乙丙丁四人,有两人各本,另两人各本,有种分法；
【答案】BD
【解析】对于A,本不同的书分给甲､乙､丙三人,每人各本,共有种分法,A错误；对于B,本不同的书分给甲､乙､丙三人,一人本,另两人各本,共有种分法,B正确；对于C,本不同的书分给甲乙每人各本,丙丁每人各本,共有种分法,C错误；对于D,本不同的书,分给甲乙丙丁四人,有两人各本,另两人各本,共有种分法,D正确；
故选BD.
04
身高互不相同的七名学生排成一排,从中间往两边越来越矮,不同的排法有()
A．5040种 B．720种 C．240种 D．20种
【警示】本题错误解法是：最高个子站在中间,只需排好左右两边,第一步：先排左边,有种排法,第二步：排右边,有 种排法,根据分步乘法计数原理,共有种,故选B．
【问诊】错误原因是混淆有序与定序
【答案】最高个子站在中间,只需排好左右两边,第一步：先排左边,因顺序固定有种排法,第二步：排右边,因顺序固定,有1种排法,根据分步乘法计数原理,共有种,故选．
【叮嘱】这里的“有序”是指元素的位置可以有不同的顺序,有序问题是排列问题；“定序”是指元素的相对顺序固定,定序问题可看作组合问题,如本题先选3人排左边,排法是,不是

1.某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单,开演前又增加了3个新节目,如果将这3个新节目插入节目单中,那么不同的插法种数为( )
A．504 B．210 C．336 D．120
【答案】A
【解析】将3个新节目插入节目单中,共有9个节目,原来的6个节目顺序不变.
分两步：先从这9个位置中任选3个位置安排插入的3个新节目,共有种方法；再把原来的6个节目按原来顺序安排到剩余的6个位置,共有1种方法. 故共有种不同的方法.故选A
2．某班级有一个7人小组,现任选其中3人相互调整座位,其余4人座位不变,则不同的调整方案的种数有(　　)
A．35 B．70 C．210 D．105
【答案】A
【解析】根据题意,由于班级有一个7人小组,现任选其中3人相互调整座位,那么其余的4人的位置不变,则可知从7个中任意选3个,所有的情况有 ,其余4个人的位置只有一种,那么可知一共有35种,故选A.
05
(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理))的展开式中的系数为 (　　)
A． B． C． D．
【警示】本题错误解法是：展开式的通项公式为,令,解得,故含的系数为,故选A．
【答案】C
【问诊】错误解法是混淆二项式系数与系数,正确解法是：展开式的通项公式为,令,解得,故含的系数为,故选C．
【叮嘱】系数展开项中字母前的常数.

1．(2022届上海市奉贤区高三一模)已知的二项展开式中,前三项系数成等差数列,则的值为( )
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【解析】依题意,的二项展开式通项：,,于是有：,整理得,即,而,解得,所以的值为8.故选B
2.(2022届重庆市南开中学高三上学期12月月考)已知二项式的展开式中共有8项,则下列说法正确的有( )
A．所有项的二项式系数和为128 B．所有项的系数和为1
C．二项式系数最大的项为第5项 D．有理项共3项
【答案】AB
【解析】二项式的展开式中共有8项,则,
选项A：所有项的二项式系数和为,故A正确；
选项B：令,则,所以所有项的系数的和为1,故B正确；
选项C：二项式系数最大的项为第4项和第5项,故C不正确；
选项D：二项式的展开式的通项为,
当时,二项式的展开式中对应的项均为有理项,所以有理项有4项,故D不正确．
故选AB﹒
错
1．已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( )
A．512 B．210
C．211 D．212
【答案】A
【解析】∵的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,∴,解得n＝10,对于二项式,令x＝,可得其展开式的奇数项和偶数项的二项式系数之和为0,即奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和相等,又因为所有二项式系数之和为,∴的展开式中奇数项的二项式系数和为,
故选A．
2．疫情期间,有6名同学去社区做防疫志愿者,根据需要,要安排这6名同学去甲､乙两个核酸检测点,每个检测点至少去2名同学,则不同的安排方法共有( )
A．10种 B．20种 C．50种 D．70种
【答案】C
【解析】根据题意,分2种情况,
(1)①将6人分为人数为2和4的2组,有种分组方法,
②将分好的2组全排列,安排到2个核酸点,有种情况,则有种不同的安排方法；
(2)①将6人分为人数为3和3的2组,有种分组方法,
②将分好的2组全排列,安排到2个核酸点,有种情况,则有种不同的安排方法；
∴不同的安排方法有,故选C．
3．(2022届云南省三校高三联考)昆明市博物馆十一期间同时举办“滇池地区青铜文化精品展”､“恐龙化石展”､“清代云南名家扇面精品展”､“馆藏明代民窑青花瓷展”四个展览,某代表团决定在十一黄金周期间某一天的上､下午各参观其中的一个,且“滇池地区青铜文化精品展”､“恐龙化石展”至少参观一个,则不同的参观方案共有( )
A．6种 B．8种 C．10种 D．12种
【答案】C
【解析】根据题意,分2种情况讨论
①该代表团只参观一个,在“滇池地区青铜文化精品展”､“恐龙化石展”中任选1个,
有种选法,
可以在“清代云南名家扇面精品展”､“馆藏明代民窑青花瓷展”中任选1个,
有种选法,
将选出的2个展览安排在十一的上､下午,有种情况,
则只参观一个的方案有种；
②该代表团参观两个,将“滇池地区青铜文化精品展”､“恐龙化石展”全排列,安排在十一某天的上､下午,
有种情况,即参观两个有2种方案,
综上所述：不同的参观方案共有个.
故选C.
4．(2022届山西省大同市高三上学期12月月考)为迎接第届冬季奥林匹克运动会,某校安排甲、乙、丙、丁、戍共五名学生担任冰球、冰壶和短道速滑三个项目的志愿者,每个比赛项目至少安排人,则学生甲被安排到冰球比赛项且做志愿者的概率为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先考虑全部的情况,即将名学生分为三组,每组的人数分别为、、或、、,所有将名学生担任冰球、冰壶和短道速滑三个项目的志愿者,每个比赛项目至少安排人,不同的排法种数为种；接下来考虑学生甲被安排到冰球比赛项且做志愿者,则做冰球志愿者的人数可为或或,若做冰球志愿者的人数为且为甲,共有种；若做冰球志愿者的人数为且包含甲,共有种；若做冰球志愿者的人数为且包含甲,共有种.因此,所求概率为.故选A.
5．(多选题)已知(a＋b)n的展开式中第5项的二项式系数最大,则n的值可以为( )
A．7 B．8
C．9 D．10
【答案】ABC
【解析】若展开式只有第五项的二项式系数最大,则,解得：n＝8；若展开式第四项和第五项的二项式系数最大,则,解得：n＝7；若展开第五项和第六项的二项式系数最大,则,解得：n＝9；故选ABC
6．(多选题)(2022届河北省邯郸市高三上学期强化训练)在二项式的展开式中,下列结论正确的是( )
A．第5项的二项式系数最大 B．所有项的系数和为
C．所有奇数项的二项式系数和为 D．所有偶数项的二项式系数和为
【答案】ABD
【解析】选项A：二项式展开式式共有9项,有二项式系数的性质可知第5项的二项式系数最大,故A正确；
选项B：令,可得所有项的系数和为,可知B正确；
选项C：所有奇数项的二项式系数和为,C错误；
选项D：所有偶数项的二项式系数和为,D正确.
故选ABD
7．(多选题)甲、乙、丙、丁、戊五只猴子在一棵枯树上玩耍,假设它们均不慎失足下落,已知：(1)甲在下落的过程中依次撞击到树枝A,B,C；(2)乙在下落的过程中依次撞击到树枝D,E,F；(3)丙在下落的过程中依次撞击到树枝G,A,C；(4)丁在下落的过程中依次撞击到树枝B,D,H；(5)戊在下落的过程中依次撞击到树枝I,C,E,则下列结论正确的是( )
A．最高处的树枝为G,I中的一个
B．最低处的树枝一定是F
C．这九根树枝从高到低不同的顺序共有33种
D．这九根树枝从高到低不同的顺序共有32种
【答案】AC
【解析】由题判断出部分树枝由高到低的顺序为,还剩下,,,且树枝比高,树枝在树枝,之间,树枝比低,最高可能为G或I,最低为F或H,故选项正确,B错误；
先看树枝,有4种可能,若在,之间,
则有3种可能：①在,之间,有5种可能；
②在,之间,有4种可能；
③在,之间,有3种可能,
此时树枝的高低顺序有(种).
若不在,之间,则有3种可能,有2中可能,
若在,之间,则有3种可能,
若在,之间,则有三种可能,
此时树枝的高低顺序有(种)可能,
故这九根树枝从高到低不同的顺序共有种,故选项正确.
故选AC.
8．(多选题)2020年3月,为促进疫情后复工复产期间安全生产,某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到,,三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作,每名医生只能到一家企业工作,则下列结论正确的是( )
A．所有不同分派方案共种
B．若每家企业至少分派1名医生,则所有不同分派方案共36种
C．若每家企业至少分派1名医生,且医生甲必须到企业,则所有不同分派方案共12种
D．若企业最多派1名医生,则所有不同分派方案共32种
【答案】BC
【解析】对于选项A：所有不同分派方案共有34种,故错误；
对于选项B：若每家企业至少分派1名医生,则有种,故正确；
对于选项C：若每家企业至少分派1名医生,且医生甲必须到企业,若A企业分2人,则有种；若A企业分1人,则有种,所以共有种,故正确；
对于选项D：若企业没有派医生去,每名医生有2种选择,则共有种,若企业派1名医生则有种,所以共有种,故错误；
故选BC．
9．甲,乙,丙,丁,戊五人并排站成一排照相,下列说法正确的是( )
A．如果甲,乙必须相邻,那么不同的排法有24种
B．甲不站在排头,乙不站在正中间,则不同的排法共有78种
C．甲乙不相邻且乙在甲的右边,则不同的排法共有36种
D．若五人已站好,后来情况有变,需加上2人,但不能改变原来五人的相对顺序,则不同的排法共有42种
【答案】BCD
【解析】对A,如果甲,乙必须相邻,则可将甲乙先捆绑,考虑左右位置,共有2种情况,再将4个位置全排列,共有种排法,故A错误；
对B,分两种情况,①甲站中间时,共有种排法；②甲不站中间,先排甲,有3种情况,中间位置3选1,有3种情况,剩下3人全排列,有种情况,则共有种情况,甲不站在排头,乙不站在正中间,不同的排法共有种情况；
对C,甲乙不相邻且乙在甲的右边,按中间人数多少分类,当中间有1人时,有种；当中间有两人时,有种；当中间有3人时,有种排法,则共有36种排法；
对D,五人站好后,有6个空,剩下两人再逐一插空,共有种情况；
故答案为BCD
10．(2022届河北省邯郸市高三上学期期末)2021年7月下旬河南省多地遭遇了暴雨洪涝灾害,社会各界众志成城支援河南,邯郸市某单位组织4辆救援车随机前往河南省的A,B,C三个城市运送物资,则每个城市都至少安排一辆救援车的概率为______．
【答案】
【解析】四辆车前往三个城市安排方式有种,每个城市都至少安排一辆车共种,
因此每个城市都至少安排一辆救援车的概率为．