2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题17导数与函数的极值、最值（Word版附解析）

这是一份2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题17导数与函数的极值、最值（Word版附解析），共28页。试卷主要包含了【知识梳理】，【题型归类】，【培优训练】，【强化测试】等内容，欢迎下载使用。

专题17导数与函数的极值、最值
知识梳理
考纲要求
考点预测
常用结论
方法技巧
题型归类
题型一：根据函数图象判断极值
题型二：求已知函数的极值
题型三：已知函数的极值求参数值(范围)
题型四：利用导数求函数的最值
题型五：构造法解决抽象函数问题

培优训练
训练一：
训练二：
训练三：
训练四：
训练五：
训练六：
强化测试
单选题：共8题
多选题：共4题
填空题：共4题
解答题：共6题
一、【知识梳理】
【考纲要求】
1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.
2.会用导数求函数的极大值、极小值.
3.会求闭区间上函数的最大值、最小值．
【考点预测】
1.函数的极值
(1)函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0.则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.
(2)函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0.则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.
(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.
2.函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.
(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
【常用结论】
1.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.
2.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.
【方法技巧】
1.由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：
(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；
(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性.两者结合可得极值点.
2.运用导数求函数f(x)极值的一般步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；
(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号；
(5)求出极值.
3.已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.
4.导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验.
5.利用导数求函数f(x)在[a，b]上的最值的一般步骤：
(1)求函数在(a，b)内的极值.
(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b).
(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
6.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.
二、【题型归类】
【题型一】根据函数图象判断极值
【典例1】(多选)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数g(x)＝xf′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)

A．f(x)有两个极值点
B．f(0)为函数的极大值
C．f(x)有两个极小值
D．f(－1)为f(x)的极小值
【解析】由题图知，当x∈(－∞，－2)时，g(x)>0，
∴f′(x)0，x－10，f(x)单调递增；
当x∈(3，＋∞)时，y0⇒f′(x)0)，
当a－1≤0，即a≤1时，f′(x)>0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无极小值．
当a－1>0，即a>1时，由f′(x)1时，f(x)极小值＝1＋ln(a－1)．
【典例2】已知函数f(x)＝x3＋6ln x，f′(x)为f(x)的导函数．
(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)求函数g(x)＝f(x)－f′(x)＋的单调区间和极值．
【解析】(1)因为f(x)＝x3＋6ln x，所以f′(x)＝3x2＋.可得f(1)＝1，f′(1)＝9，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－1＝9(x－1)，即y＝9x－8.
(2)依题意，g(x)＝x3－3x2＋6ln x＋，x∈(0，＋∞)．从而可得g′(x)＝3x2－6x＋－，整理可得g′(x)＝.令g′(x)＝0，解得x＝1.
当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如表所示：
x
(0，1)
1
(1，＋∞)
g′(x)
－
0
＋
g(x)

极小值

所以函数g(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)；g(x)的极小值为g(1)＝1，无极大值．
【典例3】已知函数f(x)＝x2－1－2aln x(a≠0)，求函数f(x)的极值．
【解析】因为f(x)＝x2－1－2aln x(x>0)，
所以f′(x)＝2x－＝.
①当a0，且x2－a>0，所以f′(x)>0对x>0恒成立．所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f(x)无极值．
②当a>0时，令f′(x)＝0，解得x1＝，x2＝－(舍去)．
所以当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0，)

(，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
↘
极小值
↗

所以当x＝时，f(x)取得极小值，且f()＝()2－1－2aln ＝a－1－aln a．无极大值．
综上，当a0时，函数f(x)在x＝处取得极小值a－1－aln a，无极大值．
【题型三】已知函数的极值求参数值(范围)
【典例1】函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a＋b等于(　　)
A．－7 B．0
C．－7或0 D．－15或6
【解析】由题意知，函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2，
可得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
因为f(x)在x＝1处取得极值10，
可得
解得或
检验知，当a＝－3，b＝3时，
可得f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，
此时函数f(x)单调递增，函数无极值点，不符合题意；
当a＝4，b＝－11时，可得f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)，
当x1时，
f′(x)>0，f(x)单调递增；
当－1的解集为(ln 2，＋∞)．
故选C.
【典例3】f(x)是定义在R上的偶函数，当x