2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题24任意角和弧度制及三角函数的概念（Word版附解析）

这是一份2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题24任意角和弧度制及三角函数的概念（Word版附解析），共21页。试卷主要包含了【知识梳理】，【题型归类】，【培优训练】，【强化测试】等内容，欢迎下载使用。


专题24 任意角和弧度制及三角函数的概念
知识梳理
考纲要求
考点预测
常用结论
方法技巧
题型归类
题型一：象限角及终边相同的角
题型二：弧度制及其应用
题型三：三角函数的定义
题型四：三角函数值符号的判定

培优训练
训练一：
训练二：
训练三：
训练四：
训练五：
训练六：
强化测试
单选题：共8题
多选题：共4题
填空题：共4题
解答题：共6题
一、【知识梳理】
【考纲要求】
1.了解任意角的概念和弧度制的概念.
2.能进行弧度与角度的互化.
3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
【考点预测】
1．角的概念
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
(2)分类
(3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.
(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示．
(2)公式
角α的弧度数公式
|α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
1°＝ rad；1 rad＝°
弧长公式
弧长l＝|α|r
扇形面积公式
S＝lr＝|α|r2


3.任意角的三角函数
(1)设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，
则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)．
(2)任意角的三角函数的定义(推广)：
设P(x，y)是角α终边上异于原点的任意一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．
(3)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图．

【常用结论】
1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.
2.角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用.
3.象限角

4.轴线角

【方法技巧】
1.利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角．
2.确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法
先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在位置．
3.应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
4.利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出角α终边的位置．
5.判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．
二、【题型归类】
【题型一】象限角及终边相同的角
【典例1】(多选)下列与角的终边相同的角是(　　)
A． B．2kπ－(k∈Z)
C．2kπ＋(k∈Z) D．(2k＋1)π＋(k∈Z)
【解析】与角的终边相同的角为2kπ＋(k∈Z)，k＝2时，4π＋＝π.
故选AC.
【典例2】集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　)

【解析】当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋，此时α表示的范围与π＋≤α≤π＋表示的范围一样，故选C．
【典例3】若角α是第二象限角，则是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角
【解析】因为α是第二象限角，所以＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，
所以＋kπ<<＋kπ，k∈Z.
当k为偶数时，是第一象限角；
当k为奇数时，是第三象限角．
所以是第一或第三象限角．故选C．
【题型二】弧度制及其应用
【典例1】(多选)已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则下列选项正确的有(　　)
A．扇形的半径为2 B．扇形的半径为1
C．圆心角的弧度数是1 D．圆心角的弧度数是2
【解析】设扇形半径为r，圆心角的弧度数为α，则由题意得解得或可得圆心角的弧度数是4或1，扇形的半径是1或2.
故选ABC.
【典例2】一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的，面积等于圆面积的，则扇形的弧长与圆周长之比为________．
【解析】设圆的半径为r，则扇形的半径为，记扇形的圆心角为α，则＝，所以α＝.所以扇形的弧长与圆周长之比为＝＝.
【典例3】已知扇形的圆心角是α ，半径为R，弧长为l.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；
(2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
【解析】(1)α＝60°＝，l＝10×＝(cm)．
(2)由已知得，l＋2R＝20，则l＝20－2R，0 所以扇形的面积S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，
所以当R＝5时，S取得最大值最大值为25 cm2，
此时l＝10 cm，α＝2 rad.
【题型三】三角函数的定义
【典例1】已知角α的终边上一点P(－，m)(m≠0)，且sin α＝，则cos α＝________，tan α＝________.
【解析】设P(x，y).由题设知x＝－，y＝m，
所以r2＝OP2＝(－)2＋m2(O为原点)，即r＝，
所以sin α＝＝＝，
所以r＝＝2，
即3＋m2＝8，解得m＝±.
当m＝时，cos α＝＝－，
tan α＝－；
当m＝－时，cos α＝＝－，tan α＝.
【典例2】已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为(　　)
A.－ B.－ C. D.
【解析】由题意得点P(－8m，－3)，
r＝，
所以cos α＝＝－，
所以m>0，解得m＝.
故选C.
【典例3】若点P(cos θ，sin θ)与点Q关于y轴对称，写出一个符合题意的θ＝________.
【解析】∵P(cos θ，sin θ)与
Q
关于y轴对称，
即θ，θ＋关于y轴对称，
θ＋＋θ＝π＋2kπ，k∈Z，
则θ＝kπ＋，k∈Z，
当k＝0时，可取θ的一个值为.
【题型四】三角函数值符号的判定
【典例1】若sin θ·cos θ<0，>0，则角θ是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【解析】由>0，得>0，
所以cos θ>0.又sin θ·cos θ<0，
所以sin θ<0，所以θ为第四象限角．
故选D.
【典例2】点P从(1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为(　　)
A． B．
C． D．
【解析】由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)满足x＝cos＝－，y＝sin＝.
所以Q点的坐标为.
故选A.
【典例3】若角α的终边落在直线y＝－x上，则＋＝________．
【解析】因为角α的终边落在直线y＝－x上，所以角α的终边位于第二或第四象限．当角α的终边位于第二象限时，＋＝＋＝0；当角α的终边位于第四象限时，＋＝＋＝0.所以＋＝0.
三、【培优训练】
【训练一】如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P的位置在(0，0)，圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2，1)时，的坐标为________.

【解析】如图所示，设滚动后的圆的圆心为C，

过点C作x轴的垂线，垂足为A，过点P作x轴的垂线与过点C所作y轴的垂线交于点B.
因为圆心移动的距离为2，所以劣弧＝2，
即圆心角∠PCA＝2，则∠PCB＝2－，
所以|PB|＝sin＝－cos 2，
|CB|＝cos＝sin 2，
所以xP＝2－|CB|＝2－sin 2，
yP＝1＋|PB|＝1－cos 2，
所以＝(2－sin 2，1－cos 2).
【训练二】在一块顶角为120°、腰长为2的等腰三角形厚钢板废料OAB中，用电焊切割成扇形，现有如图所示两种方案，既要充分利用废料，又要切割时间最短，问哪一种方案最优？

【解析】因为△AOB是顶角为120°、腰长为2的等腰三角形，
所以A＝B＝30°＝，AM＝BN＝1，AD＝2，
所以方案一中扇形的弧长＝2×＝；方案二中扇形的弧长＝1×＝；
方案一中扇形的面积＝×2×2×＝，方案二中扇形的面积＝×1×1×＝.
由此可见，两种方案中可利用废料的面积相等，方案一中切割时间短．因此方案一最优．
【训练三】若角α的终边落在直线y＝x上，角β的终边与单位圆交于点，且sin α·cos β<0，则cos α·sin β＝________.
【解析】由角β的终边与单位圆交于点，得cos β＝，又由sin α·cos β<0知，sin α<0，因为角α的终边落在直线y＝x上，所以角α只能是第三象限角．记P为角α的终边与单位圆的交点，设P(x，y)(x<0，y<0)，则|OP|＝1(O为坐标原点)，即x2＋y2＝1，又由y＝x得x＝－，y＝－，所以cos α＝x＝－，因为点在单位圆上，所以2＋m2＝1，解得m＝±，所以sin β＝±，所以cos α·sin β＝±.
【训练四】《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2)，弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径长为4的弧田(如图所示)，按照上述公式计算出弧田的面积为________．

【解析】由题意可得∠AOB＝，OA＝4.在Rt△AOD中，易得∠AOD＝，∠DAO＝，OD＝OA＝×4＝2，可得矢＝4－2＝2.由AD＝AOsin ＝4×＝2，可得弦AB＝2AD＝4.所以弧田面积＝(弦×矢＋矢2)＝×(4×2＋22)＝4＋2.
【训练五】在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sin α＝，则cos(α－β)＝(　　)
A．－1 B．－
C． D．
【解析】因为角α与角β均以Ox为始边，且它们的终边关于y轴对称，所以β＝π－α＋2kπ，k∈Z，则cos(α－β)＝cos(α－π＋α－2kπ)＝cos(2α－π)＝cos(π－2α)＝－cos 2α，又sin α＝，所以cos 2α＝1－2sin2α＝，所以cos(α－β)＝－，故选B.
【训练六】已知圆O与直线l相切于点A，点P，Q同时从A点出发，P沿着直线l向右运动，Q沿着圆周按逆时针方向以相同的速度运动，当Q运动到点A时，点P也停止运动，连接OQ，OP(如图)，则阴影部分面积S1，S2的大小关系是________．

【解析】设运动速度为m，运动时间为t，圆O的半径为r，
则＝AP＝tm，根据切线的性质知OA⊥AP，
所以S1＝tm·r－S扇形AOB，S2＝tm·r－S扇形AOB，
所以S1＝S2恒成立．
四、【强化测试】
【单选题】
1. 下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是(　　)
A.2kπ＋45°(k∈Z)
B.k·360°＋(k∈Z)
C.k·360°－315°(k∈Z)
D.kπ＋(k∈Z)
【解析】与角的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)或k·360°＋45°(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，排除A、B，易知D错误，C正确.
故选C.
2. 给出下列四个命题：
①－是第二象限角；
②是第三象限角；
③－400°是第四象限角；
④－315°是第一象限角.
其中正确命题的个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】①中－是第三象限角，从而①错.
②中＝π＋，则是第三象限角，从而②正确.
③中－400°＝－360°－40°，从而③正确.
④中－315°＝－360°＋45°，从而④正确.
故选C.
3. 已知点P(sin(－30°)，cos(－30°))在角θ的终边上，且θ∈[－2π，0)，则角θ的大小为(　　)
A.－ B. C.－ D.－
【解析】因为P(sin(－30°)，cos(－30°))，所以P，
所以θ是第二象限角，又θ∈[－2π，0)，所以θ＝－.
故选D.
4. 若角α的终边在直线y＝－x上，则角α的取值集合为(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】角α的取值集合为
∪

＝.
故选D.
5. 已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】由题意知tan α<0，cos α<0，根据三角函数值的符号规律可知，角α的终边在第二象限．故选B.
6. 若扇形的面积为、半径为1，则扇形的圆心角为(　　)
A. B. C. D.
【解析】设扇形的圆心角为α，
∵扇形的面积为、半径为1，
∴＝α·12，∴α＝.
故选B.
7. 在平面直角坐标系中，，，，是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边，若tan α
A. B. C. D.
【解析】由题意知，四段弧是单位圆上的第一、二、三象限的弧，在AB上，tan α>sin α，不满足；
在CD上，tan α>sin α，不满足；
在EF上，sin α>0，cos α<0，tan α<0，且cos α>tan α，满足；
在GH上，tan α>0，sin α<0，cos α<0，不满足．
故选C.
8. 在直角坐标系xOy中，角α的始边为x轴的非负半轴，顶点为坐标原点O，已知角α的终边l与单位圆交于点A(0.6，m)，将l绕原点逆时针旋转与单位圆交于点B(x，y)，若tan α＝－，则x＝(　　)
A.0.6 B.0.8 C.－0.6 D.－0.8
【解析】已知角α的终边l与单位圆交于点A(0.6，m)，且tan α＝－，则tan α＝＝－，解得m＝－0.8，所以A(0.6，－0.8)在第四象限，角α为第四象限角.
由l绕原点逆时针旋转与单位圆交于点B(x，y)，可知点B(x，y)在第一象限，则∠BOx＝＋α，所以cos∠BOx＝cos＝－sin α，即＝－，解得x＝0.8.
故选B.
【多选题】
9. 下列说法正确的有(　　)
A．经过30分钟，钟表的分针转过π弧度
B．1°＝ rad
C．若sin θ>0，cos θ<0，则θ为第二象限角
D．若θ为第二象限角，则为第一或第三象限角
【解析】对于A，经过30分钟，钟表的分针转过－π弧度，不是π弧度，故A错误；
对于B,1°化成弧度是 rad，故B错误；
对于C，由sin θ>0，可得θ为第一、第二象限及y轴正半轴上的角；
由cos θ<0，可得θ为第二、第三象限及x轴负半轴上的角．
取交集可得θ是第二象限角，故C正确；
对于D，若θ是第二象限角，
则2kπ＋<θ<2kπ＋π(k∈Z)，
则kπ＋< 所以为第一或第三象限角，故D正确．
故选CD.
10. 角α的终边在第一象限，则＋＋的值为(　　)
A．－1 B．1 C．－3 D．3
【解析】∵角α的终边在第一象限，
∴角的终边在第一象限或第三象限．
∴当角的终边在第一象限时，
＋＋＝1＋1＋1＝3，
当角的终边在第三象限时，
＋＋＝－1－1＋1＝－1.
故选AD.
11. 在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点在原点O，以x正半轴为始边，终边经过点P(1，m)(m<0)，则下列各式的值恒大于0的是(　　)
A. B．cos α－sin α
C．sin αcos α D．sin α＋cos α
【解析】由题意知sin α<0，cos α>0，tan α<0.
选项A，>0；选项B，cos α－sin α>0；
选项C，sin αcos α<0；选项D，sin α＋cos α符号不确定．故选AB.
12. 已知角α的终边过点P(－4m，3m)(m≠0)，则2sin α＋cos α的值可能是(　　)
A．1 B．
C．－ D．－1
【解析】因为角α的终边过点P(－4m，3m)(m≠0)，所以r＝＝5|m|，所以sin α＝＝，cos α＝＝.
①当m>0时，sin α＝＝，cos α＝＝－，
2sin α＋cos α＝2×－＝；
②当m<0时，sin α＝＝－，cos α＝＝，2sin α＋cos α＝2×＋＝－.
综上知，2sin α＋cos α的值可能是或－.故选BC.
【填空题】
13. 若角α的终边经过点P(3m，－4m)(m<0)，则sin α＋cos α＝________.
【解析】由题意得
r＝|OP|＝＝5|m|＝－5m(O为坐标原点)，
则sin α＝＝＝，
cos α＝＝＝－，
故sin α＋cos α＝－＝.
14. 已知扇形的圆心角为120°，弧长为2π，则扇形面积为________．
【解析】∵120°＝，l＝αr，
∴r＝＝＝3，
∴S＝lr＝×2π×3＝3π.
15. 函数y＝的定义域为________．
【解析】因为2sin x－1≥0，所以sin x≥.
由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图中阴影部分所示)．

所以x∈(k∈Z)．
16. 已知点P(sin θ，cos θ)是角α终边上的一点，其中θ＝，则与角α终边相同的最小正角为________．
【解析】因为θ＝，故P，故α为第四象限角且cos α＝，所以α＝2kπ＋，k∈Z，所以与角α终边相同的最小正角为.
【解答题】
17. 已知＝－，且lg(cos α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点M，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．
【解析】(1)由＝－，得sin α<0，
由lg(cos α)有意义，可知cos α>0，
所以α是第四象限角．
(2)因为|OM|＝1，所以2＋m2＝1，
解得m＝±.
又α为第四象限角，故m<0，从而m＝－，
sin α＝＝＝＝－.
18. 已知sin α<0，tan α>0.
(1)求角α的集合；
(2)求的终边所在的象限；
(3)试判断tan sin cos 的符号．
【解析】(1)由sin α<0，知α在第三、四象限或y轴的负半轴上，
由tan α>0，知α在第一、三象限，故角α在第三象限，
其集合为.
(2)由(1)知2kπ＋π<α<2kπ＋，k∈Z，
故kπ＋< 故的终边在第二、四象限．
(3)当在第二象限时，tan <0，
sin >0，cos <0，
所以tan sin cos >0，
当在第四象限时，tan <0，
sin <0，cos >0，
所以tan sin cos >0，
综上，tan sin cos 的符号为正．
19. 若角θ的终边过点P(－4a,3a)(a≠0)．
(1)求sin θ＋cos θ的值；
(2)试判断cos(sin θ)·sin (cos θ)的符号．
【解析】(1)因为角θ的终边过点P(－4a,3a)(a≠0)，
所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|，
当a>0时，r＝5a，sin θ＋cos θ＝－＝－.
当a<0时，r＝－5a，sin θ＋cos θ＝－＋＝.
综上，sin θ＋cos θ＝±.
(2)当a>0时，sin θ＝∈，
cos θ＝－∈，
则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos ·sin<0；
当a<0时，sin θ＝－∈，
cos θ＝∈，
则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos·sin >0.
综上，当a>0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；
当a<0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为正．
20. 已知角α是第三象限角，试判断：(1)π－α是第几象限角？(2)是第几象限角？(3)2α是第几象限角？
【解析】(1)因为α是第三象限角，
所以2kπ＋π<α<2kπ＋，k∈Z.
所以－2kπ－<π－α<－2kπ，k∈Z.
所以π－α是第四象限角．
(2)因为kπ＋< 所以是第二或第四象限角．
(3)因为4kπ＋2π<2α<4kπ＋3π，k∈Z，
所以2α是第一或第二象限角或y轴非负半轴上的角．

21. 如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．
(1)若点B的横坐标为－，求tan α的值；
(2)若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合．
【解析】(1)由题意可得B，
根据三角函数的定义得tan α＝＝－.
(2)若△AOB为等边三角形，则∠AOB＝，
故与角α终边相同的角β的集合为
.
22. 已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.
(1)若α＝，R＝10 cm，求扇形的弧长l.
(2)若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
(3)若α＝，R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积.
【解析】(1)因为α＝，R＝10 cm，
所以l＝|α|R＝×10＝(cm).
(2)由已知得，l＋2R＝20，
所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25.
所以当R＝5时，S取得最大值，
此时l＝10，α＝2.
(3)设弓形面积为S弓形，由题意知l＝ cm，
所以S弓形＝××2－×22×sin ＝cm2.