湖北省黄冈市黄梅国际育才高级中学2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题

这是一份湖北省黄冈市黄梅国际育才高级中学2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题，共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高二九月月考数学试卷
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）

A. B.
C. D.
2.若向量，，则（ ）
A. B.
C. D.
3.已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列四个点中在平面内的是（ ）
A. B. C. D.
4.给出下列命题：
①若A，B，C，D是空间任意四点，则有；
②是，共线的充要条件；
③若，则，共线；
④对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若且（其中x，y，），则P，A，B，C四点共面．
其中不正确命题的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
5.已知，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
6.有个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立
7.已知正四面体的棱长为1，的重心为G，则线段的长为（ ）
A. B. C. D.
8.已知正方体的棱长为2，E，F，G分别是棱，，的中点，给出下列四个命题：
①；
②直线与直线所成角为60°；
③过E，F，G三点的平面截该正方体所得的截面为六边形；
④三棱锥的体积为．
其中，正确命题的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.在下列命题中，错误命题是（ ）
A.若向量，共线，则向量，所在的直线平行
B.若向量，所在的直线为异面直线，则向量，一定不共面
C.若三个向量，，两两共面，则向量，，共面
D.已知空间的三个向量，，不共面，则对于空间的任意一个向量总存在实数x，y，z使得
10.如图，和所在平面垂直，且，，则（ ）

A.异面直线与所成角的大小为60°
B.异面直线与所成角的余弦值为
C.直线与平面所成角的大小为45°
D.直线与平面所成角的大小为60°
11.某展会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能的随机顺序前往酒店接送嘉宾.某嘉宾突发奇想，设计了两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为，，则（ ）
A. B. C. D.
12.正方体的棱长为2，M为的中点，下列命题中正确的是（ ）
A.与成60°角
B.若，面交于点E，则
C.P点在正方形边界及内部运动，且，则P点的轨迹长等于
D.E，F分别在，上，且，直线与，所成角分别是，，则
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知点A在基底下的坐标为，其中，，，则点A在基底下的坐标为______．
14.已知点关于原点的对称点为，关于平面的对称点为，关于z轴的对称点为，则线段的中点M的坐标为______．
15.驾驶员“科目一”考试，又称科目一理论考试、驾驶员理论考试，是机动车驾驶证考核的一部分．根据《机动车驾驶证申领和使用规定》，考试内容包括驾车理论基础、道路安全法律法规、地方性法规等相关知识．考试形式为上机考试100道题，90分及以上过关．考试规则是：若上午第一次考试未通过，当场可以立刻补考一次；如果补考还没过，那么出了考场缴费后，下午可以再考，若还未通过可再补考一次．已知小王每一次通过考试的概率均为0.5，且每一场考试与补考是否通过相互独立，则当天小王通过“科目一”考试的概率为______．
16.如图，在直三棱柱中，，，已知G和E分别为和的中点，D和F分别为线段和上的动点（不包括端点），若，则线段长度的取值范围为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题10.0分）
如图，已知M、N分别为四面体中与的重心，且G为上一点，且，设，，，试用，，表示，．

18.（本小题12.0分）
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，E是棱上的一点．

（1）证明：平面平面；
（2）已知，，若E，F分别是，的中点，求点B到平面的距离．
19.（本小题12.0分）
如图，在四棱锥中，四边形为矩形，且E，F分别为棱，的中点，，．

（1）证明：平面．
（2）求平面与平面的夹角的余弦值．
20.（本小题12.0分）
如图，在长方体中，E，M分别是，的中点，，．

（1）若在线段上存在一点，使平面，试确定N的位置；
（2）在（1）的条件下，试确定直线与平面的交点F的位置，并求的长．
21.（本小题12.0分）
为了普及垃圾分类知识，某校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响。已知每题甲、乙两人同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为．
（1）求p和q的值；
（2）求甲、乙两人共答对3道题的概率。
22.（本小题12.0分）
如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，．

（1）求直线与平面所成角的正切值；
（2）点Q是线段上的动点，当直线与所成的角最小时，求线段的长．
高二九月月考数学试卷
【答案】
1.A 2.D 3.B 4.B 5.D 6.B 7.A 8.C
9.ABC 10.BC 11.ACD 12.ACD
13. 14. 15. 16.
17.解：


，

.
18.（1）证明：∵平面，平面，
∴.
又，，、平面，
∴平面，而平面，
∴平面上平面.
（2）解：如图所示，建立空间直角坐标系，

，，，
，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，
则，且，
取，
∴点B到平面的距离.
19.（1）证明；取的中点H，连接，取的中点O，连接.
因为E，H分别是，的中点，且O是的中点，
所以O是矩形的中心.
因为，所以平面，
因为平面，所以.
因为，且为棱的中点，所以.
因为平面，平面，且，所以平面.
因为，所以平面.
因为平面，所以.
由题中数据可得，，，则，从而.
因为平面，平面，且，所以平面.

（2）解：取的中点G，连接，由题意可知，，两两垂直，故以O为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，
因为F为棱的中点，所以，所以，，.
设平面的法向量为，
则，令，得.
设平面的法向量为
则令，得
设平面与平面的夹角为，则.
20.N为的中点：F是棱上靠近点B的一个三等分点，
解：（1）如图，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，所以
，，.
设，
则，
，
由题意知是平面的一个法向量，
所以，即，解得.
因为平面，
所以当N为的中点时，平面.

（2）由已知，得点在直线上，因为直线与z轴平行，可设，，又点F在平面内，所以存在实数，，使得，即，
整理得，所以，解得
所以，故F是棱上靠近点B的一个三等分点，.
21.解：（1）设，，
则，，
设，，
则，，
∵二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，
∴A与B相互独立，与相互互斥，
∴，
，
由题意得：，
解得或，
∵，∴，.
（2）设，，，1，2，
由题意得：
， ，
， ，
设，则，
∴，
∴甲乙两人共答对3道题的概率为.
22.解：以A为坐标原点，以、、所在直线分别为x、y、z轴建系如图，

由题可知，，，.
（1）∴，设直线与平面所成角为，
∵，，
设平面的法向量为，
由得，
取，得，
∴，
∴；
（2）∵，设，
又，则，
又，从而，
设，，
则，
当且仅当，即时，的最大值为，
因为在上是减函数，此时直线与所成角取得最小值.
又∵，∴.

【解析】
1.【分析】
本题考查了空间向量的加法，三角形法则，属基础题题.
利用空间向量的三角形法则，，结合平行六面体的性质分析解答.
【解答】
解：由题意，




故选A.
2.【分析】
本题考查空间向量的坐标运算，属于基础题.
根据已知条件逐项计算检验即可.
【解答】
解：若，，
则，，故D正确；
，所以B错误；
，故A错误；
显然与不平行，故C错误；
故选D.
3.【分析】
本题考查空间向量点的坐标，向量数量积的概念.
根据平面内内一点坐标，求出四个选项中所给点形成的向量，利用与垂直，数量积为0，可得到正确答案.
【解答】
解：由题意可知符合条件的点P应满足，
A：，
，故不在平面内，
同理可得：
B：，，故在平面内，
C：，，故不在平面内，
D：，，故不在平面内.
故选B.
4.【分析】
本题考查了向量共线的条件，空间向量的加法，空间向量共面问题，属于基础题.
直接利用向量共线的条件，空间向量的加法，空间向量共面定理对各个选项逐一验证即可.
【解答】解：根据空间向量的加法法则，显然①正确；
若，共线，则或，故②错误；
若直线与平行，则，共线，故③正确；
只有当时，P，A，B，C四点才共面，故④错误.
故选B.
5.【分析】
本题考查了向量模的计算公式，属于基础题.
利用向量模的计算公式即可得出.
【解答】
解：，
∴

当且仅当时取等号.
∴的最小值为.
故选D.
6.【分析】
本题考查相互独立事件的应用，要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，属于中档题.
分别列出甲、乙、丙、丁可能的情况，然后根据独立事件的定义判断即可.
【解答】
解：由题意可知，两次取出的球的数字之和是8的所有可能为：，，，，，
两次取出的球的数字之和是7的所有可能为，，，，，，
，，，，
A：，
B：，
C：，
D：，
故选：B.
7.连接并延长，交于点M，连接.∵G是的重心，∴，∴，
则，
又，∴，即线段的长为.故选A.
8.【分析】
本题主要考查两直线垂直的判定，利用空间向量求线线的夹角，棱雉体积，平面的法向量，属于拔高题.
逐个进行判断即可求出答案.
【解答】解：如图所示：

①作，连接，平面，
所以，
又因为F，M是，的中点，
所以，
∵，∴，
又因为，平面，平面，
上平面，
∴，
所以①正确
②以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
，，
所以，
，，
所以，
设直线与直线所成角为，，
所以，
所以②正确.

③

由图可知E，F，G三点的平面截该正方体所得的截面为五边形，所以③不正确.
④
边上的高
，
，，
设平面的法向量为，
，，
解得，，
设，
所以，，
所以，
，，
，
，
所以④正确，
综上所述①②④正确.
故选C.
9.【分析】
本题为判断命题的真假，涉及向量共线与空间向量基本定理，属基础题.
逐个判断：向量是可自由平移的，命题①错误、②不正确；举反例，可证③不正确，由空间向量基本定理，可知，命题④不正确.
【解答】解：A：由于向量是可自由平移的，所以向量，共线，则，所在的直线平行或重合，故命题A错误；
B：同样因为向量是可自由平移的，向量，所在的直线为异面直线，则向量，也可能共面，故命题B错误；
C：三个向量，，两两共面，如直角坐标系的三个基向量，它们不共面，故命题C错误；
D：由空间向量基本定理，可知，只有当三个向量，，不共面的时候，由它们做基底，才有后面的结论，故命题D正确.
故选ABC.
10.以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.设，则
，，，，所以，，，.
因为，所以，即异面直线与所成角的大小为90°，故A错误.因为
，所以异面直线与所成角的余弦值为，故B正确.
设直线与平面所成的角为，，因为是平面的一个法向量，所以
，所以，即直线与平面所成角的大小为45°，故C正确，D错误.故选BC.
11.【分析】
本题考查概率的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，属于中档题.
利用列举法求出方案一坐到“3号”车的概率，利用古典概型求出方案二坐到“3号”车的概率，由此能求出结果.
【解答】
解：分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾，基本事件有：，，，，，，共6种，
设计两种乘车方案.方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车，
方案一坐到“3号”车包含的基本事件有：，，，有3种，
方案一坐到“3号”车的概率，
方案二：直接乘坐第一辆车，则方案二坐到“3号”车的概率为.
∴，，，
故选ACD.
12.【分析】
本题考查了命题的真假判断，涉及空间向量，直线夹角计算，线面垂直的证明，属于较难题.
A根据异面直线所成的角进行求解.B建立坐标系，利用四点共面建立方程关系进行求解，C根据线面垂直确定P的运动轨迹，D建系求解即可.
【解答】
解：连接，，则，则与所成的角即为与成的角，
因为是正三角形，
则与成60°角，故A正确：

建立以为坐标原点，，，分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：

则，，，
设，则，
∵，M，N，E四点共面，∴存在实数x，y使，
即，
则，得，
则，，故B错误，
取的中点H，的中点K，连接，，，
平面，平面，则，
又、为平面内两条相交直线，
所以平面，在平面内，
则，同理，、为平面内两条相交直线，
则平面，
若，则P在平面中，则，
，
即P点在正方形边界及内部运动，且，则P点轨迹长等于，故C正确；

由B选项中坐标系可知，，，，，
则，，
∵E，F分别在和上，且，
∴，
则，
，
则，
则，
则，，
，，
即，故D正确.
故选ACD.
13.【分析】
本题主要考查空间向量的坐标运算，空间向量基本定理，属于基础题.
由题意化简，即可求解.
【解答】
解：由题意知点A对应向量为，
故点A在基底下的坐标为.
14.由题意知，则关于平面的对称点的坐标为，所以关于z轴的对称点的坐标为，可得
15.【分析】
本题主要考查相互独立事件的概率计算公式、对立事件的概率，属于中档题.
先利用相互独立事件的概率计算公式求出小王当天没有通过“科目一”考试的概率，再用1减去此概率，即为所求.
【解答】
解：小王当天没有通过考试的概率为，
则小王当天通过考试的概率为.
故答案为.
16.【分析】
本题考查线段长的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题.
以A为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出线段的长度的取值范围.
【解答】解：以A为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，
，，
∵，
∴，即
∴，
∵，，
∴，
当时，线段长度的最小值，
当时，线段长度的最大值是1，
而不包括端点，故不能取1.
∴线段的长度的取值范围是.
故答案为.
17.本题着重考查了空间向量的线性运算等知识，属于基础题，根据向量加减运算和数乘运算，直接计算即可.
18.本题考查了面面垂直的判定，点面距离的求解，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.
（1）由平面，可得，又，利用线面、面面垂直的判定定理即可证明结论.
（2）建立空间直角坐标系，求得平面的法向量为，利用点B到平面的距离，即可得出.
19.本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题.
（1）证明，结合，推出平面，即可证明平面.
（2）取的中点G，连接，由题意可知，，两两垂直，故以O为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量，平面的法向量，利用空间向量的数量积求解平面与平面的夹角的余弦值.
20.解：（1）如图，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，所以
，，.
设，
则，
，
由题意知是平面的一个法向量，
所以，即，解得.
因为平面，
所以当N为的中点时，平面.

（2）由已知，得点F在直线上，因为直线与z轴平行，可设，，
又点F在平面内，所以存在实数，，使得，即，
整理得，所以解得
所以，故F是棱上靠近点B的一个三等分点，.
21.本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.
（1）设，，则，，设，，则，，则，，利用相互.独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式列出方程组，能求出p和q的值.
（2）设，，，1，2，
设，则，利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出甲乙两人共答对3道题的概率.
22.本题考查求二面角的三角函数值，考查用空间向量解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题.
以A为坐标原点，以、、所在直线分别为x、y、z轴建系.
（1）所求值即为平面的一个法向量与向量夹角的余弦的绝对值，进一步计算即可；
（2）利用换元法可得，结合函数在上的单调性，计算即得结论.