数学-2023—2024学年河南省焦作市博爱一中高二上学期9月月考数学试卷及详解答案

这是一份数学-2023—2024学年河南省焦作市博爱一中高二上学期9月月考数学试卷及详解答案，共18页。试卷主要包含了圆的圆心到直线的距离为，已知幂函数的图像经过点，则等内容，欢迎下载使用。
 焦作市博爱一中2023—2024学年高二上学期9月月考数       学 考生注意：1.开考前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，用橡皮檫干净后，再涂选其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在试卷上无效。3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。  一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，则的最小值为(   )A.4 B.5 C.6 D.82.已知，.设，，，则(   )A. B. C. D.3.是虚数单位，则的虚部是（   ）A. -2 B. -1 C.  D. 4.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥侧面积的一半，那么其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为(   )A. B. C. D.5.圆的圆心到直线的距离为(   )A. B. C. D.6.若对任意正实数x，y都有，则实数m的取值范围为(   )A. B. C. D.7.设抛物线的焦点为,直线过点且与交于两点.若,则的方程为(   )A.或 B.或C.或 D.或8.一组数据按照从小到大的顺序排列为1，2，3，5，6，8，记这组数据的上四分位数为n，则二项式展开式的常数项为(   ).A. B.60 C.120 D.240 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知幂函数的图像经过点，则(   )A.函数是偶函数 B.函数在定义域内是增函数C.函数的图像一定经过点 D.函数的最小值为010.欧拉公式(其中i为虚数单位，)是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数理论里占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥，依据欧拉公式，下列选项正确的是(   )A.复数对应的点位于第三象限 B.为纯虚数C.复数的模长等于 D.的共轭复数为11.已知直线与圆交于A，B两点，且，其中O为原点，则实数a的值可能为(   )A.2 B.-2 C. D.12.已知函数，则下列说法正确的是(   )A.函数在处取得极大值 B.方程有两个不同的实数根 C. D.若不等式在上恒成立，则 三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素，但互不为对方的子集，则称两个集合构成“偏食”.对于集合，，若这两个集合构成“全食”或“偏食”，则实数a的值为__________.14.已知函数，若函数有四个不同的零点，则m的取值范围为_________.15.中国古代有一块著名的“传国玉玺”，印文为“受命于天既寿永昌”，是中国历代正统皇帝的信物，相传西汉末年王莽篡汉，进宫索要玉玺，太后怒而掷之，破其一角，王莽令工匠以黄金补之.现有人想利用“3D打印”技术还原“传国玉玺，做的模型图如图.已知黄金的比重是（20℃），若使用黄金（约）50g修补破损的一角（假设破损部分为圆锥体），则该部分底面半径约为_________.（结果保留小数点后一位）.16.如图，已知四边形ABCD为圆柱的轴截面，，E，F为上底面圆上的两个动点，且EF过圆心G，当三棱锥的体积最大时，直线AC与平面BEF所成角的正弦值为_________.  四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知，且.（1）证明：；（2）证明：.      18.（12分）对于函数，若在其定义域内存在实数x，满足，则称为“局部奇函数”.（1）若是定义在区间上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围.（2）若为定义域R上的“局部奇函数”，求实数n的取值范围.        19.（12分）如图，在三棱锥中，，PA上底面ABC.（1）求证：平面平面PBC；（2），M是PB的中点，求AM与平面PBC所成角的正切值.       20.（12分）国庆节期间某商场开展了一项促销活动，凡在商场消费金额满200元的顾客可以免费抽奖一次，抽奖的规则如下：箱子内装有10张大小、形状、材质完全相同的卡片，其中写有“喜”“迎”“国”“庆”的卡片各两张，另两张是没有写汉字的空白卡片；顾客抽奖时，一次性抽取4张卡片，抽完后卡片放回，记抽出的四张卡片上的汉字的个数为n（若出现两个相同的汉字，则只算一个，如抽出“迎”“迎”“国”“庆”，则），若则中一等奖，则中二等奖，则中三等奖，时没有奖励.商场规定：一等奖奖励20元购物券，二等奖奖励10元购物券，三等奖奖励5元购物券.（1）求某位顾客中一等奖的概率；（2）若某位顾客可以抽奖2次，记2次抽奖所获购物券的总金额为X，求X的数学期望.        21.（12分）生活中，椭圆有很多光学性质，如从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点.现椭圆C的焦点在y轴上，中心在原点，从下焦点射出的光线经过椭圆镜面反射到上焦点，这束光线的总长度为4，且反射点与焦点构成的三角形面积的最大值为，已知椭圆的离心率.（1）求椭圆C的标准方程.（2）若从椭圆C的中心O出发的两束光线OM，ON，分别穿过椭圆上的A，B两点后射到直线上的M，N两点，若AB连线过椭圆的上焦点，试问，直线BM与直线AN能交于一定点吗？若能，求出此定点；若不能，请说明理由.       22.（12分）已知函数.若函数在处有极值-4.（1）求的单调递减区间；（2）求函数在上的最大值和最小值.
 参 考 答 案 一、单项选择题 1. 答案：C解析：因为，所以，由均值不等式得，当且仅当时等号成立，故选C.2. 答案：A解析：由，而，，即；，，，，，，，，综上，.故选：A.3. 答案：B解析：由题意得，所以复数的虚部是．故选B．4. 答案：D解析：设正四棱锥的高为h，底面边长为a，侧面三角形底边上的高为，则由题意可知，，因此有，即，解得，因为，所以.所以侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为.故选：D.5. 答案：A解析：圆圆心坐标为.点到直线的距离.故选：A.6. 答案：A解析：因为，所以，设，，则，，令恒成立，故单调递减，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；故所以，得到.7. 答案：C解析：由抛物线方程知焦点,准线,由题可设直线,代入中消去,得.设.由根与系数的关系得,.设,由解得.,直线的方程为.由对称性知,这样的直线有两条,即.8. 答案：B解析：因为，所以.所以展开式的通项为，令得，所以展开式的常数项为.故选B. 二、多项选择题9. 答案：BD解析：依题意，得，解得.所以.所以的定义域是，不关于原点对称，所以是非奇非偶函数，所以A错误.易知在上单调递增，所以B正确.因为，所以C错误.因为，所以D正确.故选BD.10. 答案：BC解析：A项，，因为，所以，，即复数对应的点位于第二象限，故A项错误；B项，，为纯虚数，故B项正确；C项，，所以，C正确；D项，的共轭复数为，故D项错误.11. 答案：AB解析：由，得，所以，即，解得.故选AB.12. 答案：AC解析：易知函数的定义域为，，令，则，解得，当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以当时，函数有极大值，选项A正确；因为，且当时，，当时，所以方程不可能有两个不同的实数根，选项B错误；因为函数在上单调递增，且，所以，选项C正确；不等式在上恒成立即不等式在上恒成立，令，则，令，则，解得，当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以当时，函数有最大值，，所以，选项D错误.故选AC. 三、填空题13. 答案：0或1或4解析：若，则，满足B为A的子集，此时A与B构成“全食”；若，则，由A与B构成“全食”或“偏食”，得或，解得或.综上，实数a的值为0或1或4.14. 答案：解析：当时，，故函数在，单调递增，在单调递减，当时，，，，由于最多有3个零点，最多只有一个零点，故要使函数有四个不同的零点，则需，解得.故答案为：.15. 答案：1.8cm解析：设该部分底面半径为rcm，则其体积为，又，，.16. 答案：解析：连接AG，BG，因为，的值不变，所以当EF垂直CD时，三棱锥的体积最大.设下底面中心为O，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，.设平面BEF的一个法向量为，则可得令，则.设直线AC与平面BEF所成角为，则. 四、解答题17.（10分）答案：（1）证明见解析（2）证明见解析解析：（1），当且仅当时取等号，所以.（2）由，得，又由基本不等式可知当a，b，c均为正数时，，，，当且仅当时，上述不等式等号均成立，所以，即，所以，当且仅当时等号成立.
18.（12分）（1）答案：解析：解：因为是定义在区间上的“局部奇函数”，所以，即，所以，于是问题转换成方程在有解，令，，则，所以在上有解，根据在为减函数，在为增函数，且，，所以，即，解得，所以实数m的取值范围为；（2）答案：解析：因为是定义在区间R上的“局部奇函数”，所以，即，整理可得：，令，则，又，所以方程在上有解，设，，当时，在上有解，此时，解得：，当时，在上有解，此时，解得：；综上所述：实数n的取值范围.19.（12分）答案：（1）见解析；（2）解析：（1）底面ABC，底面ABC，.又，即.，平面PAC.平面PBC，平面平面PBC.（2）取PC的中点D，连接AD，DM...由（1）知，平面PAC，又平面PAC，.而，平面PBC.DM是斜线AM在平面PBC上的射影.就是AM与平面PBC所成的角，目.设，则由M是PB中点得，..即AM与平面PBC所成角的正切值为.20.（12分）答案：（1）（2）分布列见解析，解析：（1）由题意设获一等奖的概率为P，则；（2）设一次抽奖所获奖励为Y，则Y的可能取值为20，10，5，0，，，，所以Y的分布列为：Y201050P，因为两次抽奖相互独立，所以.21.（12分）答案：（1）（2）直线BM与直线AN能交于一定点，且该定点为解析：（1）由题意设椭圆方程为，则，，.又，所以，，.故椭圆C的标准方程为.（2）设直线AB的方程为.联立得方程组消去y并整理，得，则.设，，则，.由对称性知，若定点存在，则直线BM与直线AN必相交于y轴上的定点.由得，则直线BM的方程为.令，则.又，则，所以直线BM过定点，同理直线AN也过定点.故直线BM与直线AN能交于一定点，且该定点为.22.（12分）（1）答案：解析：，，依题意有即，解得.，由，得，函数的单调递减区间.（2）答案：最大值和最小值分别为8和解析：由(1)知，，令，解得，.当x变化时，，的变化情况如下表：x-112 -0+ 8极小值-42由上表知，函数在上单调递减，在上单调递增.，.故可得，.综上可得函数在上的最大值和最小值分别为8和.