【单元压轴题专练】（北师大版）2023-2024学年八年级数学上册 第1章 勾股定理（压轴题专练）

第1章 勾股定理（压轴题专练）

题型1：全等三角形、等腰三角形、勾股定理综合

1．如图1，在中，，，M是边上一点，N是延长线上一点，．

(1)求证；

(2)如图2，延长交于D点，连接，当M点在上运动（不与B、C点重合）时，试探究线段间是否存在确定的数量关系？写出结论并说明理由．

(3)如图3，延长交于D点，过B作的垂线，垂足为E，若，，直接写出的长．

2．如图，在中，，，为边的一点，为边上一点，连接，交于点且，平分交于点．

(1)求证：；

(2)延长交于，连接，过点作交的延长线于点，求证：；

(3)在(2)问的条件下，当时，若，求的长．

3．平面内，点B为外一点，连接，，．

(1)如图1，和的角平分线交于点M，直接写出的度数为　 　．

(2)如图2，点E在的延长线上，的平分线和平分线交于点F，求的大小．

(3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点I，且，过点D作射线，交射线于点E，交于点G，当，，，时，求的长．

4．在四边形中，，对角线平分．

(1)如图1，若，且，试探究边、与对角线的数量关系为_________．

(2)如图2，若将（1）中的条件“”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由．

(3)如图3，若，若，求线段的长和四边形的面积．

5．解答下列各题

(1)如图1，是等边三角形，点D为边上的一动点（点D不与B，C重合），以为边在右侧作等边，连接，线段与的数量关系是 ， ．

(2)如图2，在中，，点D为上的一动点（点D不与B，C重合），以为边作等腰直角三角形，连接，请求解下列问题并说明理由：①的度数；②线段之间的数量关系；

(3)如图3，在（2）的条件下，若D点在的延长线上运动，以为边作等腰直角，连接，若，请直接写出的值．

题型2：最值问题

6．如图，在中，，，是边上一点，连接，以为直角边向右作等腰直角三角形，其中．

(1)连接，求证：≌；

(2)当为何值时，的周长最小；

(3)若交于点，求为何值时，为等腰三角形．

7．是边长为2的等边三角形，点P是直线上的一点（不与B、C重合），以为边向右侧作等边，连接．

(1)如图1，点P在边上．

①请说明：；

②求出周长的最小值；

(2)当点P在点B的左侧时，在图2中画出符合题意的图形，并直接写出之间的数量关系；

(3)直接写出当为直角三角形时，的长．

8．如图，三角形中，，，为线段上任意一点，是的中点，连接，作垂直于且满足（点与点在直线同侧），连接，直线交于点．

(1)根据题意补全图1；若，则的长为______；

(2)若点恰好是线段的中点，连接，证明：且．

(3)作点关于直线的对称点．连接，，当取最小值时，直接写出此时的面积．

题型3：坐标系与勾股定理

9．在平面直角坐标系中，已知点A是x轴负半轴上一点，B点是y轴正半轴上一点，将线段绕A点顺时针旋转90°，得到线段，连接交x轴于一点P．

(1)如图1，试判断线段之间的数量关系，并证明你的结论；

(2)如图2，D为的中点，交于点E，若，求证：；

(3)已知 ，在（2）的条件下，请求出点C的坐标．

10．已知点，，a与b满足．点C为AB的中点．

(1)如图1，求的长；

(2)如图2，E、F分别为上的动点，且，求证：

(3)如图3，点D在y轴正半轴上运动，以AD为腰向下作等腰，，T为线段的中点，连并延长至点N，使，连，求的最小值．

11．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B、C在x轴上，，.

(1)如图1，求点A、B、C的坐标；

(2)如图2，若点D在第一象限且满足，，线段BD交y轴于点G，求线段BG的长；

(3)如图3，在（2）的条件下，若在第四象限有一点E，满足.请探究BE、CE、AE之间的数量关系，并证明.

题型4：方程与勾股定理

12．如图，已知中，，，，、是边上的两个动点，其中点从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒．

(1)出发2秒后，求的长；

(2)从出发几秒钟后，第一次能形成等腰三角形？

(3)当点在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间．

题型5：动点问题

13．如图，在直角坐标系中，点A的坐标为，以线段为边在第四象限内作等边，点为x轴正半轴上一动点，连接，以线段为边在第四象限内作等边，直线交y轴于点E，则四边形的面积是            ．（结果用含a的式子表示）

14．如图，在中，，，，为边的中点，为边上一动点，连接，作关于直线的轴对称图形，点的对应点为，连接，设的长度为，则的取值范围为      ．

题型6：以弦图为背景的计算题

15．（1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积得到的等式：________

（2）图2是由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？说明理由；

（3）根据上面两个结论，解决下面问题：

① 在直角中，，三边分别为a、b、c，，，求c的值：

② 如图3,五边形中，线段，，四边形为长方形，在直角中，，，其周长为n，当n为何值时，长方形的面积为定值，并说明理由．

16．综合与实践

【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．

【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为，，，，显然．

(1)请用，，分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理．

(2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为______．

(3)如图4，在中，是边上的高，，，，设，求的值．

17．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．

(1)①勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）；

②如图1，大正方形的面积是17，小正方形的面积是5，如果将如图1中的四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，求图2中最大的正方形的面积．

(2)如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个；

(3)如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为、，直角三角形面积为，请判断、、的关系______．

题型7：勾股定理的折叠问题

18．在中，，点是的中点，点在边上，连接，把沿翻折得到．当与中的一边平行时的长为          ．

19．如图，在三角形纸片ABC中，，，点E是AB上一点，连接CE，将沿CE折叠，点B的对应点落在CA的延长线上，展开铺平．过点A作于D．若，，则BE的长为      ．

20．如图①，在中，，，点C沿折叠与上的点D重合，连接，可以探究得到：；请在这一结论的基础上继续思考：如图②，在中，，，若，点G是边上的动点，则的最小值为     ．