【单元知识点归纳】（北师大版）2023-2024学年九年级数学上册 第2章 一元二次方程（知识归纳+题型突破）

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第2章 一元二次方程（知识归纳+题型突破）

1.了解一元二次方程及有关概念；
2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；
3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．

一、一元二次方程的有关概念
1. 一元二次方程的概念：
　　通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．
2. 一元二次方程的一般式：
3.一元二次方程的解：
　　使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
要点：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.
对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．
二、一元二次方程的解法
1．基本思想
一元二次方程一元一次方程
2．基本解法
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．
要点：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解
法，再考虑用公式法．
三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
1.一元二次方程根的判别式
一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即.
（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；
（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；
（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.
2.一元二次方程的根与系数的关系
如果一元二次方程的两个实数根是，
那么，.
注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.
要点：1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：
　　 (1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题．
2. 一元二次方程根与系数的应用很多：
　　(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；
　　(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；
　　(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．
四、列一元二次方程解应用题
1.列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；
　 　三是正确求解方程并检验解的合理性.
2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.
3.解决应用题的一般步骤：
　　　审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；
　　　设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；
　　　列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；
　　　解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；
验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）；
　　　答 (写出答案，切忌答非所问).
4.常见应用题型
　　数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.
要点：　列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.


题型一 一元二次方程的相关概念
【例1】下面关于x的方程中：，，，，，，其中一元二次方程的个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】含有个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，叫做一元二次方程；或能化为（）的整式方程是一元二次程；据此进行逐一判断，即可求解．
【解析】解：是一元一次方程，此项错误；
符合定义，是一元二次方程，此项正确；
含有两个未知数，不是一元二次方程，此项错误；
不是整式方程，此项错误；
是一元二次方程，此项正确；
，当时，不含未知数的二次项，不符合一元二次方程的定义，此项错误；
其中一元二次方程的个数为：2；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，理解定义是解题的关键．
巩固训练：
1．已知一个一元二次方程的二次项系数是1，一次项系数是3，它的一个根是2，则这个方程为 ．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义即可求出答案．
【解析】解：由题意可设：，
将代入，得
，
，
故该方程为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义，本题属于基础题型．
2．将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为，一次项系数、常数项分别是（    ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【分析】要确定二次项系数，一次项系数，常数项，首先要把方程化成一般形式，根据一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a，b，c是常数，且a≠0)即可解答．
【解析】将化为一般形式为：，
∴一次项系数、常数项分别是-8，-10
故选A
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a，b，c是常数，且a≠0)，特别要注意a≠0，在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项，掌握a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项是解决本题的关键．
3．关于x的方程是一元二次方程，则a的值是 ．
【答案】2
【分析】根据二次方程的定义解题即可，注意二次项系数不为0．
【解析】解：由题意得，解得：
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查二次方程的定义，根据定义解方程与不等式是解题关键．
4．若关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是(    )
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【分析】将代入方程得：，解得：，再把代入原方程求解．
【解析】解：将代入方程得：，
解得：，
∴原方程为：，
则，
解得：或，
∴另一个根为1．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根，因式分解法解一元二次方程，属于基础题．
5．若是关x的方程的解，则的值为 ．
【答案】2019
【分析】将代入方程，得到，利用整体思想代入求值即可．
【解析】解：∵是关x的方程的解，
∴，即：，
∴




；
故答案为：2019．
【点睛】本题考查方程的解，代数式求值．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键．
6．若实数，分别满足，，且，则的值为 ．
【答案】
【分析】先根据题意可以把、看作是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系得到，再代入代数式进行求解即可．
【解析】解：∵、分别满足，
∴可以、看作是一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
7．设，是方程的两个根，则 ．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的解的定义可得，，然后代入式子求值即可．
【解析】解：由题意知，，，



．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键．
题型二 一元二次方程的解法
【例2】用适当的方法解下列一元二次方程
（1）4（x-1）2-36=0（直接开平方法）
（2）x2+2x-3=0（配方法）
（3）x（x-4）=8-2x（因式分解法）
（4）（x+1）（x-2）=4（公式法）
【答案】（1），；（2），；（3），;（4），
【分析】（1）方程整理后，利用直接开平方法求出解即可；
（2）方程整理后，利用配方法求出解即可；
（3）方程整理后，利用因式分解法求出解即可；
（4）方程整理为一般形式，找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解．
【解析】（1）方程整理得：，
开方得：或，
解得：，；
（2）方程整理得：，
配方得：，即，
开方得：或，
解得：，；
（3）方程整理得：，
分解因式得：，
解得：，；
（4）方程整理得：，
这里，，，
∵，
∴，
解得：，．
【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
巩固训练：
1．用适当方法解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)，
(2)，
(3)，
(4)，
(5)
(6)，
【分析】利用直接开平方法，配方法、因式分解法，公式法解出方程的解．
【解析】（1）解：
直接开平方可得：，
或
∴原方程的解为：，；
（2）解：

因式分解得：，
∴原方程的解为：，；
（3）解：，
平方差因式分解得：，
整理得：，
∴原方程的解为：，；
（4），
提取公因式可得：，
整理得：，
∴原方程的解为：，；
（5）解：∵方程，
，
∴原方程的解为：；
（6），
，
因式分解得：，
∴原方程的解为：，
【点睛】本题主要考查利用恰当的方法求解一元二次方程，解题时注意对方法的合理选择．
2．用配方法解方程，则方程可变形为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据配方法解一元二次方程的一般步骤对选项进行判断即可．
【解析】解：，
，
，
，
故选D.
【点睛】本题考查了配方法，掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．
3．x＝是用公式法解一元二次方程得到的一个根，则满足要求的方程是（    ）
A．2x2﹣2x﹣1＝0 B．2x2﹣2x＋1＝0 C．2x2＋2x＋1＝0 D．2x2＋2x﹣1＝0
【答案】D
【分析】根据一元二次方程求根公式，对照x＝得出一元二次方程的字母系数即可得出答案．
【解析】解：∵一元二次方程的根为，
∵x＝是用公式法解一元二次方程得到的一个根，
∴，
∴满足要求的方程为：，
故选：D．
【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，熟记求根公式是解本题的关键．
4．解下列方程：①  ②  ③  ④．较简便的方法依次是（    ）
A．直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法
B．因式分解法，公式法，配方法，直接开平方法
C．直接开平方法，公式法，公式法，因式分解法
D．直接开平方法，公式法，因式分解法，因式分解法
【答案】D
【分析】根据各方程的特点逐一判别即可．
【解析】解：①适合直接开平方法；
②适合公式法；
③适合因式分解法；
④适合因式分解法；
故选：D．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
5．若，则的值为（    ）
A． B．4 C．或4 D．3或4
【答案】B
【分析】根据题意，采用换元法，令，将转化为，即，得到，解得或，再结合，即可确定，从而确定答案．
【解析】解：令，
将转化为，
，即，解得或，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查代数式求值，涉及换元法、解一元二次方程等知识，熟练掌握换元法、因式分解法解一元二次方程是解决问题的关键．
题型三 一元二次方程根的判别式
【例3】关于x的方程（m-2）x2-4x+1=0有实数根，则m的取值范围是（    ）
A．m≤6 B．m<6 C．m≤6且m≠2 D．m<6且m≠2
【答案】A
【分析】当，关于的方程有一个实数根，当时，列出关于根的判别式不等式即可得到结论．
【解析】解：当，即时，关于的方程有一个实数根，
当时，
关于的方程有实数根，
△，
解得：，
的取值范围是，
故选：．
【点睛】本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，能根据根的判别式和已知得出不等式是解此题的关键．
巩固训练：
1．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围（　　）
A． B． 且 C．且 D．
【答案】B
【分析】利用且求解即可．
【解析】解：∵一元二次方程有实数根，
∴且，
∴且，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的情况，解题关键是掌握一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，本题易忽略二次项系数不为0的条件．
2．若关于x的一元二次方程有实数根，则整数a的最大值是 ．
【答案】2
【分析】根据一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出a的范围，确定出所求即可．
【解析】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴△=4-4（a-1）≥0，且a-1≠0，
解得：a≤2且a≠1，    
则整数a的最大值为2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
3．关于的一元二次方程有两个实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若的两条直角边的长恰好是此方程的两个实数根，斜边，求的周长．
【答案】(1)
(2)14
【分析】（1）由一元二次方程有两个实数根，结合根的判别式可得出，解之即可得出结论；
（2）根据题意，设的两条直角边分别为，由根与系数的关系可得出、，结合勾股定理可得出关于的一元二次方程，解之可得出的值，由方程的两根是对应的直角边长，均为正值，可确定的值，再根据三角形的周长公式即可求出结论．
【解析】（1）解：关于的一元二次方程有两个实数根，

，解得：；
（2）解：设的两条直角边分别为，
，是方程的两个实数根，
，，
，即，解得或，
由于是直角三角形的两条直角边，从而有，即，
，
这个三角形的周长为．
【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及勾股定理，解题的关键是：（1）由方程有两个实数根找出；（2）利用根与系数的关系结合勾股定理找出．
4．已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围：
（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值及该方程的根．
【答案】（1）k＜；（2）k＝2，方程的有整数根为x1＝0，x2＝﹣2．
【分析】（1）根据判别式的意义得到△＝22﹣4（2k﹣4）＞0，然后解不等式即可得到k的范围；
（2）先确定整数k的值为1或2，然后把k＝1或k＝2代入方程得到两个一元二次方程，然后解方程确定方程有整数解的方程即可．
【解析】（1）依题意得△＝22﹣4（2k﹣4）＞0，
解得：k＜
（2）因为k＜且k为正整数，
所以k＝l或2，
当k＝l时，方程化为x2+2x﹣2＝0，△＝12，此方程无整数根；
当k＝2时，方程化为x2+2x＝0 解得x1＝0，x2＝﹣2，
所以k＝2，方程的有整数根为x1＝0，x2＝﹣2．
【点睛】此题考查了根的判别式，解题关键在于掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．
题型四 一元二次方程根与系数的关系
【例4】．已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意根据解一元二次方程的概念和根与系数的关系对选项逐次判断即可．
【解析】解：∵，
∴，选项A不符合题意；
∵是一元二次方程的实数根，
∴，选项B不符合题意；
∵是一元二次方程的两个实数根，
∴，，选项D符合题意，选项C不符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查解一元二次方程的解、根与系数的关系，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键．
巩固训练：
1．若，是一元二次方程的两根，则的值为(  　)
A．2020 B．2019 C．2018 D．2017
【答案】B
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出以及的值即可得出结果.
【解析】解：∵，是一元二次方程的两根，
∴，，
∴=
=
=
=2019，
故选B.
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是得出以及的值，并且将待求代数式化成合适的形式.
2．已知，是方程的两根，则的值为（   ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程个与系数的关系得出，将代数式因式分解，然后代入值即可求解．
【解析】解：∵，是方程的两根，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，．
3．关于的方程有实数根，方程的两根分别是、，且，则值是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据韦达定理可知，，利用完全平方公式可得 ，整体代入解方程即可．
【解析】解：关于的方程有实数根，方程的两根分别是、，
，，
，
，
，

，
整理得：，
解得，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了根与系数的关系、解一元二次方程，掌握根与系数的关系并利用完全平方公式变形是解题关键．
4．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若，且该方程的两个实数根的平方和为10，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)

【分析】（1）由题意及一元二次方程根的判别式可直接进行求证；
（2）设关于的一元二次方程的两实数根为，，然后根据一元二次方程根与系数的关系可得，，再根据两个实数根的平方和为10，可得，由此可解．
【解析】（1）证明：由题意得：，，，
∴，
∵，
∴，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：设关于的一元二次方程的两实数根为，，
则有，，
∵，
∴，
解得：，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．
题型五 配方法的应用
【例5】．已知，(m为任意实数)，则M、N的大小关系为（　　）
A． B． C． D．不能确定
【答案】B
【分析】求出的结果，再判断即可．
【解析】根据题意，可知，
所以．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了整式的加减运算，配方法的应用，掌握配方法是解题的关键．
巩固训练：
1．若，则p的最小值是（    ）
A．2021 B．2015 C．2016 D．没有最小值
【答案】C
【分析】将等式右边分组，配成两个完全平方式，即可根据平方的非负性进行解答．
【解析】解：


，
∵，，
∴p的最小值为2016，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了配方法的应用，解题的关键是将原式分组配方．
2．已知实数的最大值为 .
【答案】4
【解析】变形的配方试题，


+1
所以当时的最大值为4
3．已知，则的值是 ．
【答案】
【分析】把已知条件式相加得到，利用非负数的性质求出a、b、c的值即可得到答案．
【解析】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：0．
【点睛】本题主要考查了配方法的应用，正确根据已知条件式推出是解题的关键．
4．阅读如下材料，完成下列问题：
材料一：对于二次三项式求最值问题，有如下示例：
．因为，所以，所以，当时，原式的最小值为2．
材料二：对于实数a，b，若，则．
完成问题：
（1）求的最小值；
（2）求的最大值；
（3）若实数m，n满足．求的最大值．
【答案】（1）-5；（2）（3）
【分析】（1）按照材料一配方即可求最值；
（2）把原式化成，求最小值即可；
（3）根据已知得到，即或，代入求最值即可．
【解析】解：（1），因为，所以，所以，当时，原式的最小值为-5．
（2），
当取最小值时，原式最大，
由（1）可知，最小值为2，
此时的最大值为；
（3）∵，
∴，
，
或，
或，
=，
最大值是，的最大值为；
或=，
最大值是，的最大值为；
综上，的最大值为
【点睛】本题考查了配方法求最值，解题关键是熟练运用配方法求代数式的最值．
题型六 一元二次方程的实际应用
【例6】．某超市一月份的营业额为3万元，第一季度的营业额共为15万元，如果每个月的平均增长率为，则由题意可列方程为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意，先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额=15，把相关数值代入即可．
【解析】解：∵一月份的营业额为3万元，平均每月增长率为x，
∴二月份的营业额为，
∴三月份的营业额为，
∴可列方程为．
故选：D．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，求平均变化率，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为，得到第一季度的营业额的等量关系是解决本题的关键．
巩固训练：
1．有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（    ）
A．8人 B．9人 C．10人 D．11人
【答案】B
【分析】根据题意设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，那么由题意可列出方程，解方程即可求解．
【解析】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，
第一轮过后有（1+x）个人感染，第二轮过后有（1+x）+x（1+x）个人感染，
那么由题意可知1+x+x（1+x）=100，
整理得，x2+2x-99=0，
解得x=9或-11，
x=-11不符合题意，舍去．
那么每轮传染中平均一个人传染的人数为9人．
故选：B．
【点睛】本题考查增长问题，应理解“增长率”的含义，并可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，注意要舍去不合题意的解．
2．在“文博会”期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长，宽．中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．若丝绸花边的面积为，设丝绸花边的宽为，根据题意，可列方程为（  ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】找出丝绸花边的总面积与丝绸花边的宽之间的关系式即可列出方程．
【解析】解：由题意知：三条丝绸花边的面积和-两个重叠部分的面积=丝绸花边的总面积，
∴设丝绸花边的宽为 xcm ，根据题意，可列方程为：
2×40x+60x-2x×x=650,即2x⋅40+x⋅(60−2x)=650，
故选D．
【点睛】本题考查方程的列法，仔细分析题中含有未知数所表示的量之间的数量关系并把各数量正确地表示出来是解题关键．
3．如图，王师傅要建一个矩形羊圈，羊圈的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的彩钢围成，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边要留出安装木门．若要使羊圈的面积为，则所围矩形与墙垂直的一边长为 ．

【答案】/8米
【分析】设所围矩形与墙垂直的一边长为时，羊圈面积为，此时所围矩形与墙平行的一边长为米，利用矩形的面积计算公式，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合住房墙的长度为，即可确定所围矩形与墙垂直的一边长的长度．
【解析】解：设所围矩形与墙垂直的一边长为时，羊圈面积为，此时所围矩形与墙平行的一边长为米，
由题意得：，
整理得：，
解得：或，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意，
当所围矩形与墙垂直的一边长为时，羊圈面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4．某商场销售一批衬衣，平均每天可售出30件，每件衬衣盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衣降价10元，商场平均每天可多售出20件．若商场平均每天盈利2000元．每件衬衣应降价（　　）元．
A．10 B．15 C．20 D．25
【答案】D
【分析】利用衬衣平均每天售出的件数每件盈利每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可．
【解析】解：设每件衬衫应降价元．
根据题意，得：，
整理，得，
解得，．
“增加盈利，减少库存”，
应舍去，
．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数每件盈利每天销售的利润是解题关键．
5．《田亩比类乘除捷法》是我国南宋数学家杨辉的著作，其中记载了一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步，”意思是：一个矩形的面积为平方步，宽比长少步，问宽和长各多少步？如果设矩形的长为步，由题意，可列方程为 ．
【答案】
【分析】由矩形的宽及长与宽之间的关系可得出矩形的宽为步，再利用矩形的面积公式即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【解析】解：∵矩形的长为步，且宽比长少12步，
∴矩形的宽为步．
依题意，得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个两位数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来两位数的乘积为736，求原来的两位数．
【答案】23或32
【分析】设原来两位数的十位数字为x，则个位数字为5－x，然后可表示出两个两位数，然后根据它们的乘积为736，可列一元二次方程，然后解方程即可．
【解析】解：设原来两位数的十位数字为x，则个位数字为5－x，
根据题意，得[10x＋（5－x）]·[10（5－x）＋x]＝736
解得x1＝2，x2＝3
当x＝2时，5－x＝3，符合题意，原来的两位数是23．
当x＝3时，5－x＝2，符合题意，原来的两位数是32
答：原来的两位数是23或32
【点睛】本题考查理解题意能力，可看出本题是数字问题，数字问题关键是设法，设个位上的数字或十位上的数字，然后根据题目所给的条件列方程求解．
7．2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用小方框圈出四个数（如图所示），圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积能否为33或65，若能求出最小数：若不能请说明理由．

【答案】最小的数是5，理由见解析
【分析】设这个最小数为x，则最大数为(x+8)，根据最小数与最大数的乘积为65或33，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解析】解：设最小的数为x，则最大数为(x+8)，
由题意得x(x+8)=33，
解得x1=-11，x2=3．由表格知不符合实际舍去；
由题意得x(x+8)=65，
解得x1=-13（舍去），x2=5，
所以当最大数与最小数乘积为65时，最小的数是5．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．全球疫情爆发时，口罩极度匮乏，中国许多企业都积极地生产口罩以应对疫情，经调查发现：1条口罩生产线最大产能是78000个/天，每增加1条生产线，每条生产线减少1625个/天，工厂的产线共x条
（1）该工厂最大产能是_____个/天（用含x的代数式表示）．
（2）若该工厂引进的生产线每天恰好能生产口702000个，该工厂引进了多少条生产线？
【答案】（1）；（2）12或36
【分析】（1）根据题意，根据代数式的性质计算，即可得到答案；
（2）结合（1）的结论，列一元二次方程并求解，即可得到答案．
【解析】（1）根据题意，得该工厂最大产能是：个/天
故答案为：；
（2）根据题意，得：
或
∴即该工厂引进了12或36条生产线．
【点睛】本题考查了一元二次方程、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解．
题型七 一元二次方程的几何应用
【例7】．将一个边长为4的正方形分割成如图所示的9部分，其中全等，也全等，中间小正方形的面积与面积相等，且是以为底的等腰三角形，则的面积为（   ）
  
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】连结并向两端延长分别交于点连结，证明为等腰三角形，证得，，设，则，根据正方形的面积与面积相等，列出即可解得．
【解析】解：如图，连结并向两端延长分别交于点连结，
    
∵四边形为正方形，
∴，
∵是以为底的等腰三角形，
∴，则点E在AB的垂直平分线上，
∵≌，
∴为等腰三角形，
∴，则点G在的垂直平分线上，
∵四边形为正方形，
∴的垂直平分线与的垂直平分线重合，
∴即为或的垂直平分线，
则，，
∵正方形的边长为4，即，
∴，
设，则，
∵正方形的面积与面积相等，
即，解得：，
∵不符合题意，故舍去，
∴，则，
∵，，，全等，
∴，
∵正方形的面积，，，，也全等，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是求得的面积．
巩固训练：
1．如图，点是直角坐标系中的一个动点，直线与 x轴，y轴分别交于点， ，直线经过点B和点并与x轴交于点C．

(1)求直线和的表达式及点C的坐标；
(2)点P会落在直线上吗？说明原因；
(3)当点P在的内部时．
①求a的范围；
②是否存在点P，使得，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，
(2)会，见解析
(3)①，②

【分析】（1）设直线的的表达式为，根据直线与 x轴，y轴分别交于点， ，推出，得到，得到；设的表达式为，根据直线经过点和点，推出，得到，得到，根据直线与x轴交于点C，得到，得到，得到点C的坐标；
（2）根据点落在直线上，得到，解得，推出当时，点落在直线：上；
（3）①根据点在的内部，，，推出，，，，得到，，，，推出；②根据，，，推出，，，根据，推出，得到，推出时，，得到点P的坐标为．
【解析】（1）解：设直线的的表达式为，
将点， 代入，
得，，
解得，，
∴，
设的表达式为，
将和点代入，
得，，
解得，，
∴；
将代入，解得，，
∴点C的坐标为；
（2）点P会落在直线上，理由：
将代入，
得，，
解得，，
∴当时，点落在直线：上；
（3）∵点在的内部，，，
∴，解得，，
∴，
∴当点P在的内部时，a的取值范围为；
②存在点P，使得，理由：
∵，，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
整理，得，，
解得，，（不符合题意，舍去），
当时，，
∴存在点P，使得，此时点P的坐标为．
【点睛】本题主要考查了一次函数，一元一次不等式组，勾股定理，一元二次方程等，解决问题的关键是熟练掌握用待定系数法求函数关系式，由一元一次方程的解求一次函数图象与x轴的交点，解一元一次不等式组，用勾股定理解直角三角形，以及公式法解一元二次方程．
2．如图（1），正方形中，P为边上的一个动点，作等腰直角，，连接．

(1)在点P的运动过程中，点E的运动是有规律的，试说明点E运动的方向路线，并证明你的结论；
(2)若交于点F，连接，小红在研究这个图形时，经过思考，发现这道题目里面包含有一个什么角模型，请你在她的基础上，证明；
(3)如图（2），连接，H为的中点，连接，若的长是方程的一个实数根，求线段的最小值．
【答案】(1)点E在的平分线上沿CE方向运动，证明见解析
(2)见解析
(3)当a＝时，HE的最小值为

【分析】（1）由“”可证，可得，可证，可得，可得平分，即可求解；
（2）由“”可证，可得，由余角的性质可得结论；
（3）建立平面直角坐标系，求出点E，点H坐标，即可求解．
【解析】（1）解：点E在的平分线上沿方向运动，理由如下：

如图（1），作交的延长线于G，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴（），
∴，
∴，
∴，
∴，
∴平分，
∴点E在的平分线上运动；
（2）解：题目包含半角模型，
证明：如图（1-1），延长至H，使，连接，

∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴（），
∴，
∴，
在和中，，
∴（），
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：∵的长是方程的一个实数根，
∴，
如图（2），以点B为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，

∴点，点，
设点，
∴，
∵，
∴，
∴点，
∵H为的中点，
∴点，
∴，
∴当时，的最小值为．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，建立平面直角坐标系求出点E，点H坐标是解题的关键．
3．如图1，在坐标系中的，点A、B在x轴，点C在y轴，且，，，D是的中点，

(1)求直线的表达式．
(2)如图2，若E、F分别是边的中点，矩形的顶点都在的边上．
①请直接写出下列线段的长度：______，______．
②将矩形沿射线AB向右平移，设矩形移动的距离为m，矩形与重叠部分的面积为S，当时，请直接写出平移距离m的值．
(3)如图3，在矩形平移过程中，当点F在边上时停止平移，再将矩形绕点G按顺时针方向旋转，当点H落在直线上时，此时矩形记作，由向x轴作垂线，垂足为Q，则______．
【答案】(1)直线的表达式为；
(2)①2，；②m的值为或；
(3)．
【分析】（1）根据已知，由直角三角形的性质可知，求得B、C的坐标，利用待定系数法即可求解；
（2）①利用中位线的性质可得，在中，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理可得；
②首先利用分类讨论的思想，分析当矩形与重叠部分为三角形时才满足条件，分和两种情况，利用三角形的面积公式，列出方程解得m；
（3）设，则，求得，，，利用勾股定理可得n，即可求解．
【解析】（1）解：在中，
∵，，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴点B的坐标为，点C的坐标为，
设直线的表达式为．
∴，
∴，
∴直线的表达式为；
（2）解：①∵D是的中点，
∴，
又∵E、F分别是边的中点，
∴是的中位线，
∴，，
在中，，
∴，，
在中，，
∴，
故答案为：2，；
②设矩形移动的距离为m，
当时，如图，

∴．
∴，
依题意得，
∴(负值已舍)；
当时，如图，

此时G、D重合，
∴，
∴，此情况不存在；
∴当重叠部分为多边形时，都不存在；
当时，如图，

∴．
∴，
依题意得，
∴(舍)或；
综上，m的值为或；
（3）解：当点F在边上时，
在中，，
∴，，

设，则，
∵，，
∴，
在中，根据勾股定理得，，
∴，
解之得（负值已舍），
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了直角三角形的性质，矩形的性质，中位线的性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理等，利用分类讨论的思想，构建直角三角形是解答此题的关键．
题型八 材料信息题
【例8】．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论：设其中一根为t，则另一个根为2t，因此，所以有；我们记“”即时，方程为倍根方程；下面我们根据此结论来解决问题：
(1)若是倍根方程，求的值；
(2)关于x的一元二次方程是倍根方程，且点在一次函数的图像上，求此倍根方程的表达式．
【答案】(1)0
(2)
【分析】（1）根据是倍根方程，且，得到或，从而得到，，进而得到；
（2）设其中一根为t，则另一个根为2t，可以得出，从而得倍根方程满足，据此求解即可．
【解析】（1）整理得：，
∵是倍根方程，
∴，
∴．
（2）∵是倍根方程，
∴，
整理得：．
∵在一次函数的图像上，
∴，
∴，，
∴此方程的表达式为
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，根的判别式，一次函数图像上点的坐标特征，正确理解“倍根方程”的定义是解题的关键．
巩固训练：
1．已知关于x的方程，其中p，q都是实数．
(1)若时，方程有两个不同的实数根，，且，求实数p的值．
(2)若方程有三个不同的实数根，，，且，求实数p和q的值．
(3)是否同时存在质数p和整数q使得方程有四个不同的实数根，，，且？若存在，求出所有满足条件的p，q．若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)或，
(3)存在，时，；当时，

【分析】（1）根据根与系数的关系可得，，，代入可得关于的方程，解方程即可；
（2）由方程有三个不同的实数根、、，可得，、是方程的两根；由根与系数的关系可得，，．，进而得到关于的方程，解出即可求出的值；
（3）方程有四个不同的实数根，，，，由（2）知，不妨设，是方程的两根，，是方程的两根，可得，进行讨论即可求解．
【解析】（1）解：若，则方程为．
因该方程有两个不同的实数、，
可得，，，
解得；
由，得，
解得或．（注意
因为，所以．
（2）显然．方程可写成．
因该方程有三个不同的实数根，
即函数与的图象有三个不同的交点，
可得：，，即，
因为、是方程的两根，
即．
则，，．
，
解得．
由，得，
解得，
∴或，．
（3）存在．
方程有四个不同的实数根，，，，由（2）知，
不妨设，是方程的两根，，是方程的两根，
则，，，，
则，，
因为，
所以，
因为是质数，，，
所以，
，
则，
则无解，
则，
则无解，
则，
则，
解得，
则，
则，
解得，2，5，
则，
则，
解得．
故，5，
所以存在满足条件的，．当时，；当时，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的整数根与有理根，根与系数的关系，牢记两根之和等于、两根之积等于是解题的关键．
2．相传，大禹治水时，洛水中出现了一个“神龟背上有妙的图案，史称“洛书”，用现在的数字翻译出来，就是三级幻方．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数．如图1，是由1、2、3、4、5、6、7、8、9所组成的一个三阶幻方，其幻和为15，中心数为5．

(1)如图2也是由1、2、3、4、5、6、7、8、9所组成的一个三阶幻方，则x的值为______．
(2)由1、2、3、4、5、6、7、8、9生成的幻方称为基本三阶幻方，在此基础上各数再加或减一个相同的数，可组成新三阶幻方，新三阶幻方的幻和也随之变化，如图3，是由基本三阶幻方中各数加上m后生成的新三阶幻方，该新三阶幻方的幻和为的4倍，且，求的值．
(3)由1、2、3、4、5、6、7、8、9生成的基本三阶幻方中每个数都乘以或除以一个不为0的数也可组成一个新三阶幻方，如图4，是由基本三阶幻方中各数乘以p再减2后生成的新三阶幻方，其中为9个数中的最大数，且满足求P及的值．
【答案】(1)
(2)15
(3)，

【分析】（1）由题意可知，，解方程即可．
（2）由题意新三阶幻方是由图1生成的，可得中心数，幻和为：，进而可得，解方程即可．
（3）由数中最大的数，可得， ，，，根据，可得，由， 得，可得②由，得，进而得，则带入②得，求得，进而可求得， ，可得， ．
【解析】（1）由题意可知，，解得，
故答案为：4；
（2）解：由题意得：中心数，幻和为：，
又∵新三阶幻方的幻和为的4倍，
∴，
∴，
又∵，
∴
∴，
即，
∴ ，
∴
（3）∵数中最大的数，
∴， ，，
∴，
∵，
∴，即：，
又∵，
∴
又∵①
∴②
又∵，
∴即
∴，
∴带入②得
∴，
∴，
∴，
∴， ，
∴，
∴， ．
【点睛】本题考查规律型问题，幻方图等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
3．阅读理解以下内容，解决问题：
解方程：．
解：，
方程即为：，
设，原方程转化为：
解得，，，
当时，即，，；
当时，即，不成立．
综上所述，原方程的解是，．
以上解方程的过程中，将其中作为一个整体设成一个新未知数，从而将原方程化为关于的一元二次方程，像这样解决问题的方法叫做“换元法”（“元”即未知数）．
(1)已知方程：，若设，则利用“换元法”可将原方程化为关于的方程是______；
(2)仿照上述方法，解方程：．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据完全平方公式由，得，再变形原方程便可；
（2）设，则，得，再解一元二次方程，最后代入所设代数式解方程便可．
【解析】（1）设，
则，
可化为：，
即，
故答案为：；
（2）设，则，
原方程可化为：，
整理得，
，
或，
或，
当时，，
解得，
当时，无解，
检验，当时，左边右边，
是原方程的解，
故原方程的解为：．
【点睛】本题主要考查了换元法，无理方程，关键掌握换元法的思想方法．